Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli ciąg an jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej liczby naturalnej n+

an=a1+n-1·r

Weźmy pod uwagę wyrazy an-1an+1 tego ciągu.

Wtedy:

an-1=a1+n-2·r
an+1=a1+n·r

Dodajemy stronami zapisane równości.

an-1+an+1=a1+n-2·r+a1+nr=2a1+n-1·r
an-1+an+1=2a1+n-1·r |:2
an-1+an+12=a1+n-1·r
an-1+an+12=an

Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli ciąg an dla n>1 jest ciągiem arytmetycznym, to jego trzy kolejne wyrazy spełniają powyższą równość.

Pokażemy teraz, że jeżeli wyrazy ciągu an spełniają powyższą równość, to ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

an-1+an+12=an |·2
an-1+an+1=2·an
an-1+an+1=an+an
an1an=anan+1

Ostatnia równość oznacza, że dla n>1 różnice między kolejnymi wyrazami ciągu są stałe, zatem ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.

Rozważania doprowadziły nas do sformułowania zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Ciąg an jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:

an=an1+an+12

gdzie n>1n.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy ciąg 1-1+2, 1, -22 jest arytmetyczny,

Środkowy wyraz ciągu to 1, zatem musimy sprawdzić, czy prawdziwa jest równość

1=1-1+2-222

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

2=1-1+2-22

2=1-1+2·1+21+2-22·22

2=1+2-2

21

Odpowiedź:

Dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 2

Liczby 4, x, 10 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczymy x.

Liczba x jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

x=4+102

x=7

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa 7.

Przykład 3

Liczby -5, x, y, 4 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczby x, y.

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

x=-5+y2y=x+42

Mnożymy przez 2 obie strony każdego z równań.

2x=-5+y2y=x+4

Wyznaczamy y z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego równania układu.

y=2x+522x+5=x+4

Wyznaczamy x.

y=2x+54x+10=x+4

y=2x+5x=-2

Obliczamy y.

y=2·-2+5x=-2

y=1x=-2

Odpowiedź:

Szukane liczby to x=-2, y=1.

Przykład 4

Wyznaczmy te wartości t, dla których liczby 6t2-4, t, -t2-6t tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Środkowy wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych. Otrzymujemy równanie:

t=6t2-4 -t2-6t2

Przekształcamy równanie, sprowadzając je do postaci ogólnej.

5t2-6t-4=2t

5t2-8t-4=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

=64+80=144

t1=8-1210=-25

t2=8+1210=2

Odpowiedź:

Dla t=-25 otrzymujemy ciąg arytmetyczny -7625, -1025, 5625, dla t=2 otrzymujemy ciąg arytmetyczny 20, 2, -16.

Wniosek dotyczący zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznegozależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznegozależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, można uogólnić. Zapiszemy to uogólnienie również w postaci wniosku.

Wniosek:

Jeżeli ciąg an jest ciągiem arytmetycznym to dla każdej liczby naturalnej n>k prawdziwa jest równość

an=an-k+an+k2

Wyraz an jest średnią arytmetyczną wyrazów jednakowo od niego odległych.

Przykład 5

Liczby 2, x, y, z, 8 w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny an. Znajdziemy wzór ogólny ciągu i sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Zauważmy, że wyraz y znajduje się w tej samej odległości od 28. Skorzystamy zatem z wniosku zapisanego przed przykładem.

y=2+82

y=5

Wyznaczamy wyrazy x oraz z.

x=2+52=3,5

z=5+82=6,5

Obliczymy różnicę ciągu.

r=3,5-2=1,5

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

an=2+n-1·1,5

an=1,5n+0,5

Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.

S=2+3,5+5+6,5+8=25

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to an=1,5n+0,5, a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 25.

W ostatnim przykładzie pokażemy zastosowanie poznanej zależności między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Przykład 6

Wyznacz taką liczbę dodatnią x, dla której liczby log4x, 1+log4x, log4x3+12 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego.

Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

1+log4x=log4x+log4x3+122 |·2

2+2log4x=log4x+log4x3+12

Przekształcamy otrzymaną równość, korzystając z własności logarytmów.

2+2log4x=12log4x+3log4x+12

32=32log4x

log4x=1

x=4>0

Odpowiedź:

Dla x=4 podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

Słownik

zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

ciąg an jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:

an=an-1+an+12

gdzie n>1n