Przeczytaj
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy , to dla każdej liczby naturalnej
Weźmy pod uwagę wyrazy i tego ciągu.
Wtedy:
Dodajemy stronami zapisane równości.
Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli ciąg dla jest ciągiem arytmetycznym, to jego trzy kolejne wyrazy spełniają powyższą równość.
Pokażemy teraz, że jeżeli wyrazy ciągu spełniają powyższą równość, to ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Ostatnia równość oznacza, że dla różnice między kolejnymi wyrazami ciągu są stałe, zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Rozważania doprowadziły nas do sformułowania zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:
gdzie i .
Sprawdzimy, czy ciąg jest arytmetyczny,
Środkowy wyraz ciągu to , zatem musimy sprawdzić, czy prawdziwa jest równość
Przekształcamy otrzymane wyrażenie.
Odpowiedź:
Dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.
Liczby , , są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczymy .
Liczba jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:
Odpowiedź:
Szukana liczba jest równa .
Liczby , , , są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczby , .
Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Mnożymy przez obie strony każdego z równań.
Wyznaczamy z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego równania układu.
Wyznaczamy .
Obliczamy .
Odpowiedź:
Szukane liczby to , .
Wyznaczmy te wartości , dla których liczby , , tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
Środkowy wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych. Otrzymujemy równanie:
Przekształcamy równanie, sprowadzając je do postaci ogólnej.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.
Odpowiedź:
Dla otrzymujemy ciąg arytmetyczny , dla otrzymujemy ciąg arytmetyczny .
Wniosek dotyczący zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznegozależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, można uogólnić. Zapiszemy to uogólnienie również w postaci wniosku.
Wniosek:
Jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość
Wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów jednakowo od niego odległych.
Liczby , , , , w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny . Znajdziemy wzór ogólny ciągu i sumę wszystkich wyrazów ciągu.
Zauważmy, że wyraz znajduje się w tej samej odległości od i . Skorzystamy zatem z wniosku zapisanego przed przykładem.
Wyznaczamy wyrazy oraz .
Obliczymy różnicę ciągu.
Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.
Odpowiedź:
Wzór ogólny ciągu to , a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa .
W ostatnim przykładzie pokażemy zastosowanie poznanej zależności między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Wyznacz taką liczbę dodatnią , dla której liczby , , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego.
Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Przekształcamy otrzymaną równość, korzystając z własności logarytmów.
Odpowiedź:
Dla podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
Słownik
ciąg jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:
gdzie i