Przeczytaj
Zależność między dwiema dodatnimi wielkościami i daną wzorem , gdzie jest liczbą stałą, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Wielkości i nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, a liczbę – współczynnikiem proporcjonalności.
Opiszemy własności funkcji na podstawie jej wykresu i określimy własności wykresu.
Rozwiązanie
Narysujemy wykres funkcji
Własności funkcji:
Dziedzina funkcji: .
Zbiór wartości funkcji: .
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: , .
.
.
Funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.
Własności wykresu funkcji:
Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.
Wykres funkcji nie przecina osi .
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu .
Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej oraz .
Wykres funkcji ma asymptotęasymptotę poziomą o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: , która pokrywa się z osią .
Funkcja jest rosnąca w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , należących do zbioru z nierówności wynika nierówność .
Udowodnimy, że funkcja , jest rosnąca w zbiorze .
Rozwiązanie
Założenie:
, , i
Teza:
Dowód:
Zbadamy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów :
Uzasadnienie:
z założenia, ponieważ ;
ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną;
z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią;
, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.
Otrzymaliśmy nierówność , zatem , co należało udowodnić.
Udowodnimy, że funkcja , jest rosnąca w zbiorze .
Rozwiązanie
Założenie:
, , i
Teza:
Dowód:
Zbadamy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów :
Uzasadnienie:
z założenia, ponieważ ;
ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną;
z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią;
, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.
Otrzymaliśmy nierówność , zatem , co należało udowodnić.
Pokażemy, że funkcja nie jest rosnąca w zbiorze .
Rozwiązanie
Dowód:
Wystarczy podać kontrprzykładkontrprzykład, czyli przykład dwóch takich argumentów , że , ale .
Niech , a , obie liczby należą do zbioru oraz . Obliczamy wartości funkcji dla tych argumentów: , . Zauważmy, że .
Zatem z nierówności nie wynika nierówność , zatem o funkcji nie możemy powiedzieć, że jest rosnąca.
Okazuje się, że funkcja, która jest rosnąca w każdym ze zbiorów , traci tę własność w sumie zbiorów .
Nie można powiedzieć, że funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie, czyli w zbiorze . Można tylko powiedzieć, że funkcja jest rosnąca w każdym ze zbiorów: , .
Ciekawostka
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy:
dla każdego , jeśli , to , gdzie oznacza dziedzinędziedzinę funkcji .
Udowodnimy, że funkcja , jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Rozwiązanie
Założenie:
,
, , czyli
Teza:
Dowód:
Badamy różnicę wartości funkcji dla argumentów ,.
Uzasdnienie:
z założenia;
, ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera;
, ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera.
Wobec tego, że , oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Ciekawostka
Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby należącej do , liczba również należy do oraz . Zatem funkcja jest nieparzysta, gdy dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości.
Dziedzina funkcji nieparzystej musi być zbiorem symetrycznym względem punktu na osi . Tylko wtedy dla każdej liczby , liczba .
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgldem punktu .
Udowodnimy, że funkcja , jest nieparzysta.
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór , czyli zbiór symetryczny względem punktu na osi .
Zbadamy wartość funkcji dla liczby :
Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.
Różnowartościowość i nieparzystość funkcji to treści, które wykraczają poza podstawę programową matematyki w szkole ponadpodstawowej.
Słownik
zbiór argumentów, dla których wzór funkcji ma sens
takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat (definicja) jest fałszywy, używa się go najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających stwierdzenie „dla każdego”
prosta, do której coraz bardziej „zbliża się” wykres pewnej funkcji, w dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą