Warto przeczytać

Jeśli mamy do zaprezentowania kilka lub więcej liczb, które pozostają w jakimś związku lub tworzą jedną całość, albo są wynikiem jakiejś wspólnej przyczyny itd., to najlepiej jest zilustrować te zależności w postaci graficznej. Dotyczy to nie tylko dziedziny nauk przyrodniczych, ale dosłownie wszystkich dziedzin życia, włączając nauki humanistyczne, a nawet politykę i sport.

W tekście poniżej podane będą przykłady głównie z zakresu fizyki. Niech przy tym nie martwi Cię, że niekiedy prezentowane tam wielkości i zależności będą dla Ciebie nie do końca zrozumiałe. Nie jest moim celem wyjaśniać Ci teraz szczegóły eksperymentów czy teorii fizycznych, ale chcę zademonstrować możliwości „narzędzi”, jakimi są różnego rodzaju wykresywykreswykresy i powiązać je z potrzebami, jakie w pracy fizyka, i nie tylko, często się pojawiają.

Podajmy więc kilka konkretnych przykładów:

Wszyscy czujemy lęk przed promieniowaniem, dlatego prezes Państwowej Agencji Atomistyki (PAA) co roku informuje, jakie dawki otrzymują mieszkańcy Polski i jaki jest w tym udział różnych źródeł promieniowania: ile z kosmosu, ile z zastosowań medycznych, ile z awarii w Czarnobylu itd.

Zobacz wykres, który to ilustruje (Rys. 1.). Ma on postać koła, z którego wycięto fragment dotyczący dawki od zastosowań medycznych.

Na wykresie tym pełne koło symbolizuje pełną dawkę. Wycinki pokazują, jaki fragment pochodzi od danego źródła. Zobacz, że największa dawka pochodzi od promieniotwórczego gazu radonu, następną jest dawka od źródeł medycznych. Dawka od Czarnobyla jest bardzo mała.

R1Nh4ZFo7jcbr

Rys. 1. Grafika ta przedstawia skład procentowy dawki promieniowania jonizującego na mieszkańca Polski. Na rysunku widoczny jest procentowy wykres kołowy. Największy wycinek podpisany jest jako RADON i podana jest na nim liczba 37,5%. Drugi co do wielkości wycinek podpisany jest jako PROMIENIOWANIE OD ŹRÓDEŁ SZTUCZNYCH i podana jest na nim liczba 27,1%. Wydzielona jest w nim duża część ZASTOSOWANIA MEDYCZNE z liczbą 26,6% i maleńkie części: AWARIA CZARNOBYLA z liczbą 0,25% oraz INNE DAWNE WYBUCHY JĄDROWE z liczbą 0,25%. Trzeci co do wielkości wycinek podpisany jest jako PROMIENIOWANIE GAMMA i podana jest na nim liczba 14,5%. Kolejne 2 wycinki maja podobną wielkość i są podpisane wycinek jako PROMIENIOWANIE KOSMICZNE z liczbą 8,9% oraz RADIONUKLIDY NATURALNE WEWNĄTRZ ORGANIZMU z liczbą 8,7%. Najmniejszy wycinek podpisany jest jako TORON i podana jest na nim liczba 3,2%. Nad wykresem znajdują się informacje, że ze źródeł naturalnych pochodzi 72,9 procenta promieniowania czyli jest to 2,325 milisiwertów. Promieniowanie od źródeł sztucznych, w tym w medycynie stanowi 27,1 procenta i jest to 0,866 milisiwertów.

Wykresy kołowe stosujemy wtedy, kiedy zależy nam bardziej na pokazaniu, jaką część całości stanowi dana wielkość, niż jaka jest wartość tej wielkości.

Kiedy jednak zależy nam na tym, by zilustrować wartości interesującej nas wielkości i do tego jeszcze pokazać, jak one zmieniały się z biegiem czasu, możemy zastosować wykres słupkowy, którego przykład pokazany jest na Rys. 2.

R1b4BLkaVdCLA

Rys. 2. Na rysunku jest wykres słupkowy, który przedstawia zmiany stężenia izotopów cezu w okresie po katastrofie w Czarnobylu. Na osi poziomej odłożono czas w latach od roku 1988 do roku 2000. Na osi pionowej odłożono stężenia izotopów cezu w kilobekerelach na metr kwadratowy. Przy każdym roku narysowane są słupki. Najwyższy słupek jest przy roku 1988, kolejne słupki są coraz niższe. Z wykresu widać, że zmiany stężenia izotopów cezu po katastrofie w Czarnobylu mają tendencję spadkową od 5,5 kilobekerela na metr kwadrat w roku 1988 do 3 kilobekereli na metr kwadrat w roku 2000.

Jest to także wykres z raportu prezesa PAA i pokazuje średnie stężenie izotopów promieniotwórczego cezu w glebie w pierwszych latach po katastrofie w Czarnobylu, która wydarzyła się w 1986 roku. Widzimy, że w okresie do 2000 roku stężenie zmniejszyło się prawie dwukrotnie, a podane tam wartości rzędu kilku $kBq/m^2$ (kilobekereli na metr kwadratowy) są informacją dla specjalistów, że stężenia takie nie stanowią zagrożenia dla ludzi i zwierząt (bekerel to jednostka aktywności promieniotwórczej). Zmniejszanie się zachodziło oczywiście w sposób ciągły, ale na tym wykresie pokazane jest tylko średnie stężenie w parzystych latach, co wyraźniej ilustruje tendencje zmian.

Wykres słupkowy dobrze ilustruje tendencje zmian wartości jakiejś wielkości dla wybranych wartości lub przedziałów innej wielkości.

A teraz przenosimy się do świata wielkiej nauki i zobaczymy wykres, który wart jest nagrody Nobla. Wykres pokazany na Rys. 3. prezentuje wyniki wielu lat pracy największego urządzenia badawczego na świecie, tj. zderzacza LHC w europejskim laboratorium CERN. Uzyskany został w eksperymencie ATLAS i jest jednym z przejawów istnienia tzw. bozonu Higgsa, zwanego często „boską cząstką”. Po odkryciu tej cząstki w 2013 nagrodę Nobla otrzymał Peter Higgs, który zapostulował jej istnienie w 1964.

Co więc przedstawia ten wykres?

RY1Bz3wUd6GpO

Rys. 3. Na rysunku jest wykres masy niezmienniczej dwóch fotonów zarejestrowanych w eksperymencie ATLAS w CERN. Składa się z dwóch części. W górnej części widać wykres złożony z wielu czarnych punktów, przez które poprowadzona jest czerwona krzywa. Krzywa zaczyna się w górnej części i opada stopniowo w dół. Na opadającej krzywej w środkowej części widać mały wzgórek. Ten fragment pokazany jest w powiększeniu w części dolnej. Na dolnym wykresie czarne punkty rozrzucone są w pobliżu linii poziomej, tylko 4 punkty w środkowej części leżą wyraźnie ponad linią. Poprowadzona przez punkty czerwona linia tworzy pośrodku niewielki wzgórek w przedziale 120 do 130 gigaelektronowoltów.

W górnej części rysunku widzimy wykres złożony z wielu punktów, przez które poprowadzona jest czerwona krzywa. Widzimy też mały wzgórek dla mas zawartych pomiędzy wartościami 120 i 130 GeV. Ten fragment pokazany jest w powiększeniu w części dolnej. Dwa punkty, które wyraźnie „odskoczyły” w górę, świadczą o istnieniu cząstki o masie, która mieści się w tym obszarze.

Wykres ten to najbardziej typowy przykład wykresu, który pokazuje zależność jakiejś wielkości mierzonej $X$ od innej $Y$, którą można zmieniać w kontrolowany sposób. Wykres taki nazywa się też wykresem $\left(X,Y\right)$.

Bywa jednak, że wyniki pomiarów otrzymywane i przedstawiane są w inny sposób.

Ilustruje to Rys. 4., gdzie zmierzone wartości $dE/dx$ w funkcji $p/z$ naniesione są w postaci kolorowych punktów na dwuwymiarowym wykresie. Kolor oznacza tu gęstość punktów na wykresie: niebieski – małą, czerwony – dużą. Przez uformowane z punktów pasma poprowadzone są krzywe teoretyczne. Każde pasmo i odpowiadająca mu krzywa przypisane są innemu typowi cząstek rejestrowanych w detektorze ALICE. (Więcej o eksperymencie ALICE znajdziesz w e‑materiale „Problem badawczy i hipoteza badawcza”.)

R1I8eKSQTXiAy

Rys. 4. Na rysunku jest wykres, który prezentuje zależność strat jonizacyjnych od pędu cząstek rejestrowanych w detektorze ALICE w laboratorium CERN. Jest on symetryczny względem pionowej linii dzielącej wykres na połowy. Wykres wypełniają punkty o różnych barwach ułożone w pasma. Od góry pasma są wąskie, skierowane w dół i składają się z niebieskich punktów. Pasma z lewej strony rysunku opadają łukami w lewo i dół, a na dole łączą się w jedno grubsze, poziome pasmo o barwach żółtej i czerwonej. Pasma z prawej strony rysunku opadają łukami w prawo i dół, a na dole również łączą się w jedno grubsze, poziome pasmo o barwach żółtej i czerwonej. Kolory oznaczają gęstość punktów na wykresie, niebieski małą a czerwony dużą.

Na Rys. 4. wyraźne pasma widać w części górnej, ale w dolnej punkty się zlewają i oddzielnych pasm wyróżnić się nie da. Dla eksperymentatorów informacja ta wyznacza granice możliwości identyfikacji cząstek w eksperymencie.

Wykresy dwuwymiarowe zawierają więcej informacji niż jednowymiarowe. Umożliwiają w ten sposób wykonanie bardziej szczegółowej analizy danych pomiarowych.

Kolejny dwuwymiarowy wykres przedstawiony na Rys. 5. służy do pokazania nierównomiernej grubości cienkiej warstwy półprzewodnikowego detektora promieniowania. Z prawej strony jest skala, na której widać przyporządkowanie grubości do kolorów. Każdy kwadracik reprezentuje jeden element detektora, tzw. piksel. W dolnej części rysunku pokazany jest jednowymiarowy wykres, na którym widać rozkład liczby pikseli o danej grubości. Do zmierzonego rozkładu dopasowana jest krzywa teoretyczna oraz wyliczona jest wartość średnia (Mean) i jej niepewność (RMS).

RBgkKqU03VaXD

Grafika prezentuje nierównomierne grubości cienkiej warstwy półprzewodnikowego detektora promieniowania. Na rysunku znajduje się prostokąt składający się z małych kwadracików w różnych kolorach. Z prawej strony jest pasek, na którym kolorom przyporządkowane są liczby oznaczające grubość detektora. Największa grubość to kolor czarny, nieco mniejsza – kolor czerwony, dalej mamy kolor beżowy i niebieski. Na prostokącie w górnej części przeważa kolor niebieski, w dolnej czerwony i czarny. Poniżej prostokąta jest wykres, na którego osi poziomej odłożono grubość, a na osi pionowej liczbę pikseli. Wykres ma kształt schodków początkowo wznoszących się, a pod koniec opadających. Do schodkowego wykresu dopasowana jest przerywana linia ciągła, której maksimum przypada w drugiej połowie osi poziomej.

RHRBj5U8H3A3y

Rys. 5. Na rysunku przedstawiono rozkład grubości epitaksjalnego detektora promieniowania jonizującego. Jest to wykres schodkowy prezentujący zależność ilości pikseli, w skali od zera do 140, od grubości podanej w nanometrach w zakresie od 20 do 21,4. Niebieski wykres schodkowy ma maksimum w 20,86 nanometra. Do wykresu dopasowano czerwoną przerywaną linię, która opisuje rozkład grubości epitaksjalnego detektora promieniowania jonizującego. Kształtem przypominającą rozkład gaussa.

Grubość ta oraz jej jednorodność jest bardzo ważnym parametrem detektora.

Jeszcze bardziej szczegółową informację można uzyskać z wykresu trójwymiarowego, którego przykład pokazany jest na Rys. 6. Pokazany tam wykres stanowi element analizy danych w eksperymencie ALICE, o którym więcej napisane jest w e‑materiale „Problem badawczy i hipoteza badawcza”.

RNwbtcIXJhrxJ

Rys. 6. Na rysunku znajduje się trójwymiarowy wykres, który stanowi element analizy danych w eksperymencie ALICE. W płaszczyźnie poziomej są dwie osie prostopadłe do siebie. Trzecia oś jest prostopadła do poziomej płaszczyzny. Wykres to przestrzenny obraz linii ułożonych w siatkę. Obraz przypomina koc w kratkę narzucony na walec leżący z prawej strony i na 2 pionowe słupki stojące z lewej po obu stronach walca. Nad wykresem znajduje się prostokątny wykres dwuwymiarowy, będący rzutem wykresu trójwymiarowego na płaszczyznę poziomą. Na wykresie dwuwymiarowym prawa część jest niebieska, a z lewej strony nad szczytowymi obszarami wykresu trójwymiarowego widoczne są dwa koła w kolorze żółtym otoczone większym kołem w kolorze czerwonym i zielonym. Kolory obrazują maksima i minima prezentowanej zależności.

Wykres ten prezentuje relacje pomiędzy dwoma wielkościami $\Delta \eta$ i $\Delta \phi$, których osie odłożone są w płaszczyźnie poziomej. Oś pionowa pokazuje trzecią wielkość $R_2$ jako funkcję tych dwóch. Rzut tej wielkości na płaszczyznę poziomą pokazany jest w górnej części tego wykresu jako wykres dwuwymiarowy.

Wykres trójwymiarowy umożliwia ilościowe przedstawienie zależności od dwóch niezależnych wielkości $\left(X,Y\right)$, które możemy zmieniać w kontrolowany sposób.

W ten sposób pokazaliśmy różne rodzaje wykresówrodzaj wykresurodzaje wykresów i ich możliwe zastosowania. Wykres to bardzo użyteczne narzędzie analizy danych, dlatego warto z niego często korzystać.

Słowniczek