Dwusieczną kąta można zdefiniować jako prostą. Taka definicja funkcjonuje na przykład w programie GeoGebra. Jednak w większości podręczników dwusieczną kąta definiuje się jako półprostą. Tak postąpimy też w tym opracowaniu. Konsekwencją przyjętej definicji są niekiedy nieco inne własności dwusiecznej.
dwusieczna kąta
Definicja: dwusieczna kąta
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek tego kąta, i która dzieli ten kąt na dwa równe kąty.
R1QpqaH9eoxzK
R8hrGbRL8IcDS
R3JIIcRgkKHKG
Konstrukcja dwusiecznej kąta
Konstrukcja dwusiecznej kąta półpełnego
Konstrukcja dwusiecznej kąta półpełnego sprowadza się do konstrukcji prostej prostopadłej do prostej zawierającej ramiona tego kąta i przechodzącej przez wierzchołek kąta.
RrcedLqNUT37Q
Kolejne etapy tej konstrukcji są następujące:
rysujemy łuki okręgu o środku i dowolnym promieniu tak, żeby przecięły prostą zawierającą ramiona kąta w punktach i ,
rysujemy łuki okręgów o środkach i i tym samym promieniu tak, żeby przecięły się w punkcie należącym do kąta ,
rysujemy półprostą . Jest to dwusieczna kąta .
Uzasadnienie poprawności konstrukcji.
Rs7DdfMoCVhPB
Trójkąty i mają wspólny bok , boki i są tej samej długości i boki i są tej samej długości . Zatem są to trójkąty przystające (cecha bbb przystawania trójkątów). Stąd wynika równość kątów i , a to oznacza, że półprosta jest dwusieczną kąta .
Konstrukcja dwusiecznej kąta wypukłego i mniejszego od kąta półpełnego
R108xpNSScAAV
Kolejne etapy tej konstrukcji są następujące:
rysujemy łuk okręgu o środku i dowolnym promieniu tak, żeby przeciął ramiona kąta w punktach i ,
rysujemy łuki okręgów o środkach i i tym samym promieniu tak, żeby przecięły się w punkcie różnym od punktu (możemy też narysować łuki okręgów o środkach i jakimkolwiek, ale tym samym, promieniu ),
rysujemy półprostą . Jest to dwusieczna kąta .
Poprawność tej konstrukcji wynika, podobnie jak poprawność konstrukcji dwusiecznej kąta półpełnego, z przystawania trójkątów i . Trójkąty te mają wspólny bok , boki i są tej samej długości i boki i są tej samej długości lub . Są to więc, na mocy cechy bbb, trójkąty przystające. Stąd wynika równość kątów i , a to oznacza, że półprosta jest dwusieczną kąta .
Konstrukcja dwusiecznej kąta wklęsłego
R1S7WDmkRLfat
Kolejne etapy tej konstrukcji są takie same jak konstrukcji dwusiecznej kąta wypukłego. Jedyna różnica jest taka, że promień okręgów o środkach i musi być większy od , o ile chcemy, żeby punkt przecięcia łuków był punktem kąta .
Dwusieczna kąta jest odpowiednikiem symetralnej odcinka. Podobnie też jak symetralna odcinka ma ciekawą własność geometryczną. Zanim przejdziemy do tej własności, przypomnijmy, co to jest odległość punktu od figury. W przypadku, gdy tą figurą jest punkt, to odległość punktu od punktu jest po prostu długością odcinka, którego końcami są te punkty. W przypadku, gdy figurą jest prosta – odległością punktu od tej prostej nazywamy długość najkrótszego z odcinków, którego jednym końcem jest ten punkt, a drugim – punkt leżący na tej prostej. Z nierówności trójkąta wynika, że odległość punktu od prostej jest długością odcinka prostopadłego do prostej , którego koniec leży na prostej .
RT88RDs4fD1tV
Rzeczywiście, biorąc jakikolwiek punkt leżący na prostej , różny od punktu , otrzymujemy trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku . Przeciwprostokątna jest oczywiście dłuższa od przyprostokątnej . Ogólnie, jeżeli punkt leży na zewnątrz figury i nie leży na brzegu tej figury, to odległość tego punktu od figury jest równa długości najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z punktem leżącym na brzegu figury; jeżeli natomiast punkt leży wewnątrz figury lub na jej brzegu, to odległość tego punktu od figury jest równa .
własność punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego
Twierdzenie: własność punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego
Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta wypukłego, to jest on równo oddalony od ramion tego kąta. Teza, przy oznaczeniach jak na poniższym rysunku, oznacza równość .
RSuyhjKmj04Uz
Dowód
Trójkąty i są prostokątne. Kąty ostre i tych trójkątów są równe, gdyż półprosta jest dwusieczną kąta . Zatem z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że kąty ostre i tych trójkątów także są równe. Odcinek jest wspólną przeciwprostokątną tych trójkątów. Zatem te trójkąty są przystające (cecha kbk przystawania trójkątów). Stąd wynika, że . To kończy dowód.
odwrotne do twierdzenia o własności punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia o własności punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego
Jeżeli punkt leży wewnątrz kąta wypukłego i jest równo oddalony od ramion tego kąta, to punkt ten leży na dwusiecznej tego kąta.
RSuyhjKmj04Uz
Dowód
Załóżmy, że punkt leży wewnątrz kąta wypukłego i jest równo oddalony od ramion tego kąta, a więc zachodzi równość , gdzie punkt leży na jednym ramieniu kąta i odcinek jest prostopadły do tego ramienia, a punkt leży na drugim ramieniu kąta i odcinek jest prostopadły do tego ramienia. Wówczas trójkąty i są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną . Wobec tego z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla każdego z tych trójkątów wynika, że oraz . Stąd i z równości wynika, że . Wykazaliśmy więc, że trójkąty i są przystające (cecha bbb przystawania trójkątów). To oznacza, że kąty ostre i tych trójkątów są równe. To z kolei znaczy, że półprosta jest dwusieczną kąta , czyli punkt leży na dwusiecznej kąta . To kończy dowód.
Ważne!
Powyższe dwa twierdzenia często zapisujemy w postaci równoważności:
Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta, które są równo oddalone od jego ramion.
Prześledźmy teraz kilka przykładów, które przybliżą nam wprowadzone pojęcie dwusiecznej kąta oraz wskażą, jak można wykorzystać dwusieczną kąta do rozwiązywania zadań.
Rozwiązanie
R1ccBRwz4RQ5S
Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od ramion kąta jest zaznaczony kolorem zielonym. Zbiór ten nie jest prostą. To jest właśnie powodem, dla którego dwusieczną kąta wygodniej jest zdefiniować jako półprostą, a nie prostą.
Rozwiązanie przedstawione jest na rysunku.
Rysunek przedstawia kąt ostry . Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako . Z wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta opisaną jako . Od górnego ramienia kąta poprowadzono kąt prosty biegnący na zewnątrz kąta, to znaczy kąty te mają wspólne ramię i nie nachodzą na siebie. Analogicznie poprowadzono kąt prosty od dolnego ramienia kąta . Ramiona obu kątów prostych, które nie są wspólne z ramionami kąta wyznaczają czwarty kąt. Jest to kąt o mierze . Część płaszczyzny odcięta przy czwartym kącie oraz dwusieczna są zaznaczone zielonym kolorem.
Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od ramion kąta jest zaznaczony kolorem zielonym. Zbiór ten nie jest prostą. To właśnie jest powodem, dla którego dwusieczną kąta wygodnie jest zdefiniować jako półprostą, a nie prostą.
Przykład 1
Rozstrzygnij, czy w ostatnim podanym twierdzeniu można pominąć założenie o tym, że punkt jest punktem kąta, a więc rozstrzygnij, czy prawdziwe jest zdanie:
Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od jego ramion.
Każdy punkt leżący na dwusiecznej kąta jest równo oddalony od jego ramion. Prawdziwość tego zdania udowodniliśmy wcześniej, a w dowodzie zakładaliśmy, że punkt leży wewnątrz kąta wypukłego. Musimy więc rozstrzygnąć, czy są punkty leżące na zewnątrz kąta, które są równo oddalone od jego ramion. Bez trudu zauważamy, że każdy punkt leżący na prostej zawierającej dwusieczną kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta. Odległość od każdego z ramion jest wtedy równa , jak na rysunku.
RishqLhRiZUMj
Czy są w takim razie jeszcze inne punkty leżące na zewnątrz kąta równo oddalone od jego ramion, które nie leżą na prostej zawierającej dwusieczną tego kąta? Poniższy rysunek pokazuje, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca.
RHbqGcfbyxMa9
R8BAsnuGYgSkp
Zaznaczony na tym rysunku punkt leży w tej samej odległości od każdego z ramion kąta. Odległość tego punktu od obu ramion kąta jest równa .
Kolejny rysunek przekonuje nas jednak, że nie każdy punkt leżący na zewnątrz kąta leży w tej samej odległości od jego ramion.
R1VYPiZhefura
Rjyruk6aCZdSi
Odległości zaznaczonego na tym rysunku punktu od ramion kąta są równe i . Oczywiście . Czy potrafiłbyś teraz zaznaczyć wszystkie punkty płaszczyzny równo oddalone od ramion tego kąta wypukłego? Jeśli to zrobiłeś i chcesz sprawdzić, czy Twoje rozwiązanie jest poprawne, odkryj rysunek.
Wykaż, że jeśli dwusieczna kąta trójkątadwusieczna kąta trójkątadwusieczna kąta trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny.
RZPsQxhDAzyiA
Załóżmy, że odcinek jest dwusieczną kąta trójkąta i jednocześnie jest środkową trójkąta . Zatem oraz . Z własności środkowej wynika, że trójkąty i mają równe pola. Możemy więc zapisać równość , z której otrzymujemy równość . To oznacza, że trójkąt jest równoramienny, co kończy dowód.
Przykład 3
Skonstruuj kąt o mierze .
Krok 1
Krok 1
Skonstruujmy najpierw kąt prosty. Wystarczy w tym celu skonstruować dwie proste prostopadłe.
Rsz64JcYVvQTQ
Krok 2
Krok 2
Konstruujemy następnie dwusieczną jednego ze skonstruowanych czterech kątów prostych i w ten sposób powstały dwa kąty o mierze każdy.
RNcPVtCXIYYvG
Krok 3
Krok 3
Teraz wystarczy skonstruować dwusieczną jednego z tych kątów. Otrzymamy w ten sposób kąt o mierze .
Ra9HFq4MxkwY1
Z ostatniego przykładu wynika, że jeśli mamy dany kąt , to możemy ten kąt podzielić na dwa równe kąty; otrzymaną połówkę kąta znowu możemy podzielić na dwa równe kąty i tak dalej. Możemy więc skonstruować kąty o miarach , ; ogólnie kąt o mierze , gdzie oznacza dodatnią liczbę całkowitą. Pojawia się zatem tutaj pytanie, czy możemy podzielić kąt na trzy równe kąty. Podział kąta na trzy równe kąty nazywa się trysekcją kąta (podział kąta na dwa równe kąty nazywamy też bisekcją kąta). Trysekcja dowolnego kąta jest jednych z trzech wielkich problemów geometrycznych postawionych jeszcze przez starożytnych Greków. Dwa pozostałe problemy to kwadratura kołakwadratura kołakwadratura koła i podwojenie sześcianupodwojenie sześcianupodwojenie sześcianu. Postawienie tych trzech problemów przypisuje się Platonowi. Dopiero w wieku Gauss wykazał, że w przypadku ogólnym trysekcji kątatrysekcja kątatrysekcji kąta nie da się wykonać jedynie za pomocą cyrkla i linijki (bez podziałki). Pozostałe dwa problemy też mają negatywne rozwiązanie.
Słownik
dwusieczna kąta trójkąta
dwusieczna kąta trójkąta
odcinek, który jest częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej kąta wewnętrznego tego trójkąta
trysekcja kąta
trysekcja kąta
podział kąta na trzy równe kąty
kwadratura koła
kwadratura koła
konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła
podwojenie sześcianu
podwojenie sześcianu
konstrukcja odcinka będącego krawędzią sześcianu o objętości dwukrotnie większej od objętości danego sześcianu