Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta można zdefiniować jako prostą. Taka definicja funkcjonuje na przykład w programie GeoGebra. Jednak w większości podręczników dwusieczną kąta definiuje się jako półprostą. Tak postąpimy też w tym opracowaniu. Konsekwencją przyjętej definicji są niekiedy nieco inne własności dwusiecznej.

dwusieczna kąta

Definicja: dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek tego kąta, i która dzieli ten kąt na dwa równe kąty.

R1QpqaH9eoxzK

Rysunek przedstawia kąt ostry $\alpha$, z wierzchołka którego poprowadzono półprostą opisaną jako $d_{\alpha }$, dzielącą kąt na pół, co oznaczono na rysunku: od górnego ramienia kąta wyjściowego do dwusiecznej zaznaczono kąt $\frac{\alpha }{2}$ i od dwusiecznej do dolnego ramienia zaznaczono kąt o tej samej wielkości, czyli $\frac{\alpha }{2}$.

R8hrGbRL8IcDS

Rysunek przedstawia kąt półpełny $\alpha$, z wierzchołka którego poprowadzono półprostą opisaną jako $d_{\alpha }$, dzielącą kąt na pół, co oznaczono na rysunku: od górnego ramienia kąta wyjściowego do dwusiecznej zaznaczono kąt $\frac{\alpha }{2}$ i od dwusiecznej do dolnego ramienia zaznaczono kąt o tej samej wielkości, czyli $\frac{\alpha }{2}$.

R3JIIcRgkKHKG

Rysunek przedstawia kąt wklęsły $\alpha$, z wierzchołka którego poprowadzono półprostą opisaną jako $d_{\alpha }$, dzielącą kąt na pół, co oznaczono na rysunku: od górnego ramienia kąta wyjściowego do dwusiecznej zaznaczono kąt $\frac{\alpha }{2}$ i od dwusiecznej do dolnego ramienia zaznaczono kąt o tej samej wielkości, czyli $\frac{\alpha }{2}$.

Konstrukcja dwusiecznej kąta

Konstrukcja dwusiecznej kąta półpełnego

Konstrukcja dwusiecznej kąta półpełnego sprowadza się do konstrukcji prostej prostopadłej do prostej zawierającej ramiona tego kąta i przechodzącej przez wierzchołek kąta.

RrcedLqNUT37Q

Rysunek przedstawia kąt półpełny $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Jako, że kąt $\alpha$ jest półpełny, to jego ramiona leżą na jednej prostej. W tym przypadku prosta ta jest ukośna. Narysowano linią przerywaną dwa łuki okręgu o środku w punkcie $A$, które przecinają ramiona kąta. W miejscach przecięcia łuków i ramion kąta oznaczono punkty, które znajdują się w odległości $r$ od wierzchołka $A$. Nad wierzchołkiem zaznaczono punkt $K$, a poniżej punkt $L$. Następnie wzięto długość $r_1$ taką, że $r_1>r$ i narysowano linią przerywaną kolejne dwa łuki, tym razem okręgów o promieniu $r_1$, przy czym jeden z nich o środku w punkcie $K$, a drugi o środku w punkcie $L$. Łuki te narysowano między ramionami kąta w taki sposób, aby przecięły się. Punkt ich przecięcia oznaczono jako $M$. Następnie poprowadzono półprostą $AM$, która jest dwusieczną kąta $\alpha$ opisaną jako $d_{\alpha }$.

Kolejne etapy tej konstrukcji są następujące:

• rysujemy łuki okręgu o środku $A$ i dowolnym promieniu $r>0$ tak, żeby przecięły prostą zawierającą ramiona kąta w punktach $K$ i  $L$,

• rysujemy łuki okręgów o środkach $K$ i  $L$ i tym samym promieniu $r_1>r$ tak, żeby przecięły się w punkcie $M$ należącym do kąta $\alpha$,

• rysujemy półprostą $AM$. Jest to dwusieczna $d_{\alpha }$ kąta $\alpha$.

Uzasadnienie poprawności konstrukcji.

Rs7DdfMoCVhPB

Rysunek przedstawia kąt półpełny $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Jako, że kąt $\alpha$ jest półpełny, to jego ramiona leżą na jednej prostej. W tym przypadku prosta ta jest ukośna. Narysowano linią przerywaną dwa łuki okręgu o środku w punkcie $A$, które przecinają ramiona kąta. W miejscach przecięcia łuków i ramion kąta oznaczono punkty, które znajdują się w odległości $r$ od wierzchołka $A$. Nad wierzchołkiem zaznaczono punkt $K$, a poniżej punkt $L$. Następnie wzięto długość $r_1$ taką, że $r_1>r$ i narysowano linią przerywaną kolejne dwa łuki, tym razem okręgów o promieniu $r_1$, przy czym jeden z nich o środku w punkcie $K$, a drugi o środku w punkcie $L$. Łuki te narysowano między ramionami kąta w taki sposób, aby przecięły się. Punkt ich przecięcia oznaczono jako $M$. Ze środków $K$ oraz $L$ poprowadzono promienie $r_1$ do punktu $M$. Następnie poprowadzono półprostą $AM$, która jest dwusieczną kąta $\alpha$ opisaną jako $d_{\alpha }$.

Trójkąty $AKM$ i $ALM$ mają wspólny bok $AM$, boki $AK$ i $AM$ są tej samej długości $r$ i boki $KM$ i $LM$ są tej samej długości $r_1$. Zatem są to trójkąty przystające (cecha bbb przystawania trójkątów). Stąd wynika równość kątów $KAM$ i $LAM$, a to oznacza, że półprosta $AM$ jest dwusieczną kąta $\alpha$.

Konstrukcja dwusiecznej kąta wypukłego i mniejszego od kąta półpełnego

R108xpNSScAAV

Rysunek przedstawia kąt ostry $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Linią przerywaną narysowano łuk okręgu o środku w punkcie $A$ i promieniu $r$. Łuk ten przecina ramiona kąta w punktach $K$ i $L$. Następnie linią przerywaną narysowano dwa kolejne łuki okręgów o promieniu $r$. Jeden z okręgów ma środek w punkcie $K$, a drugi w  punkcie $L$. Łuki te narysowano między ramionami kąta w taki sposób, aby się przecięły. Punkt ich przecięcia oznaczono jako $M$. Następnie poprowadzono półprostą $AM$, która jest dwusieczną kąta $\alpha$ opisaną jako $d_{\alpha }$.

Kolejne etapy tej konstrukcji są następujące:

• rysujemy łuk okręgu o środku $A$ i dowolnym promieniu $r>0$ tak, żeby przeciął ramiona kąta w punktach $K$ i  $L$,

• rysujemy łuki okręgów o środkach $K$ i  $L$ i tym samym promieniu $r$ tak, żeby przecięły się w punkcie $M$ różnym od punktu $A$ (możemy też narysować łuki okręgów o środkach $K$ i  $L$ jakimkolwiek, ale tym samym, promieniu $r_1>\frac{1}{2}\left|KL\right|$),

• rysujemy półprostą $AM$. Jest to dwusieczna $d_{\alpha }$ kąta $\alpha$.

Poprawność tej konstrukcji wynika, podobnie jak poprawność konstrukcji dwusiecznej kąta półpełnego, z przystawania trójkątów $AKM$ i $ALM$. Trójkąty te mają wspólny bok $AM$, boki $AK$ i $AM$ są tej samej długości $r$ i boki $KM$ i $LM$ są tej samej długości $r$ lub $r_1$. Są to więc, na mocy cechy bbb, trójkąty przystające. Stąd wynika równość kątów $KAM$ i $LAM$, a to oznacza, że półprosta $AM$ jest dwusieczną kąta $\alpha$.

Konstrukcja dwusiecznej kąta wklęsłego

R1S7WDmkRLfat

Rysunek przedstawia kąt wklęsły $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Linią przerywaną narysowano łuk okręgu o środku w punkcie $A$ i promieniu $r$. Łuk ten przecina ramiona kąta w punktach $K$ i $L$. Następnie wzięto długość $r_1$ taką, że $r_1>r$ i narysowano linią przerywaną kolejne dwa łuki, tym razem okręgów o promieniu $r_1$, przy czym jeden z nich o środku w punkcie $K$, a drugi o środku w punkcie $L$. Łuki te narysowano między ramionami kąta w taki sposób, aby się przecięły. Punkt ich przecięcia oznaczono jako $M$. Następnie poprowadzono półprostą $AM$, która jest dwusieczną kąta $\alpha$ opisaną jako $d_{\alpha }$.

Kolejne etapy tej konstrukcji są takie same jak konstrukcji dwusiecznej kąta wypukłego. Jedyna różnica jest taka, że promień $r_1$ okręgów o środkach $K$ i  $L$ musi być większy od $r$, o ile chcemy, żeby punkt $M$ przecięcia łuków był punktem kąta $\alpha$.

Dwusieczna kąta jest odpowiednikiem symetralnej odcinka. Podobnie też jak symetralna odcinka ma ciekawą własność geometryczną. Zanim przejdziemy do tej własności, przypomnijmy, co to jest odległość punktu od figury. W przypadku, gdy tą figurą jest punkt, to odległość punktu od punktu jest po prostu długością odcinka, którego końcami są te punkty. W przypadku, gdy figurą jest prosta – odległością punktu od tej prostej nazywamy długość najkrótszego z odcinków, którego jednym końcem jest ten punkt, a drugim – punkt leżący na tej prostej. Z nierówności trójkąta wynika, że odległość punktu $A$ od prostej $k$ jest długością odcinka $AB$ prostopadłego do prostej $k$, którego koniec $B$ leży na prostej $k$.

RT88RDs4fD1tV

Rysunek przedstawia ukośną prostą $k$ oraz umiejscowiony nad nią punkt $A$. Na ilustracji przedstawiono odległość punktu $A$ od prostej $k$ za pomocą prostopadłego do prostej odcinka $AB$, przy czym punkt $B$ leży na prostej. Po prawej stronie punktu $B$ zaznaczono na prostej pukt $B’$ i poprowadzono ukośny odcinek $AB’$.

Rzeczywiście, biorąc jakikolwiek punkt $B\text{'}$ leżący na prostej $k$, różny od punktu $B$, otrzymujemy trójkąt prostokątny $ABB\text{'}$ o kącie prostym przy wierzchołku $B$. Przeciwprostokątna $AB\text{'}$ jest oczywiście dłuższa od przyprostokątnej $AB$. Ogólnie, jeżeli punkt leży na zewnątrz figury i nie leży na brzegu tej figury, to odległość  tego punktu od figury jest równa długości najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z punktem leżącym na brzegu figury; jeżeli natomiast punkt leży wewnątrz figury lub na jej brzegu, to odległość tego punktu od figury jest równa $0$.

własność punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego

Twierdzenie: własność punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego

Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta wypukłego, to jest on równo oddalony od ramion tego kąta. Teza, przy oznaczeniach jak na poniższym rysunku, oznacza równość $\left|PK\right|=\left|PL\right|$.

RSuyhjKmj04Uz

Rysunek przedstawia kąt ostry $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Z wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta opisaną jako $d_{\alpha }$, na której wyróżniono punkt $P$. Z punktu $P$ poprowadzono dwa odcinki prostopadłe do ramion kąta. Są to odcinki $PK$, przy czym punkt $K$ leży na górnym ramieniu kąta oraz odcinek $PL$, przy czym punkt $L$ leży na dolnym ramieniu kąta. Na rysunku zaznaczono kąty proste między tymi odcinkami a ramionami kąta.

Dowód

Trójkąty $AKP$ i $ALP$ są prostokątne. Kąty ostre $KAP$ i $LAP$ tych trójkątów są równe, gdyż półprosta $AP$ jest dwusieczną kąta $\alpha$. Zatem z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że kąty ostre $APK$ i $APL$ tych trójkątów także są równe. Odcinek $AP$ jest wspólną przeciwprostokątną tych trójkątów. Zatem te trójkąty są przystające (cecha kbk przystawania trójkątów). Stąd wynika, że $\left|PK\right|=\left|PL\right|$. To kończy dowód.

odwrotne do twierdzenia o własności punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia o własności punktu leżącego na dwusiecznej kąta wypukłego

Jeżeli punkt leży wewnątrz kąta wypukłego i jest równo oddalony od ramion tego kąta, to punkt ten leży na dwusiecznej tego kąta.

RSuyhjKmj04Uz

Rysunek przedstawia kąt ostry $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Z wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta opisaną jako $d_{\alpha }$, na której wyróżniono punkt $P$. Z punktu $P$ poprowadzono dwa odcinki prostopadłe do ramion kąta. Są to odcinki $PK$, przy czym punkt $K$ leży na górnym ramieniu kąta oraz odcinek $PL$, przy czym punkt $L$ leży na dolnym ramieniu kąta. Na rysunku zaznaczono kąty proste między tymi odcinkami a ramionami kąta.

Dowód

Załóżmy, że punkt $P$ leży wewnątrz kąta wypukłego $\alpha$ i jest równo oddalony od ramion tego kąta, a więc zachodzi równość $\left|PK\right|=\left|PL\right|$, gdzie punkt $K$ leży na jednym ramieniu kąta $\alpha$ i odcinek $KP$ jest prostopadły do tego ramienia, a punkt $L$ leży na drugim ramieniu kąta $\alpha$ i odcinek $LP$ jest prostopadły do tego ramienia. Wówczas trójkąty $AKP$ i $ALP$ są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną $AP$. Wobec tego z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla każdego z tych trójkątów wynika, że $\left|AK\right|=\sqrt{{\left|AP\right|}^2-{\left|KP\right|}^2}$ oraz $\left|AL\right|=\sqrt{{\left|AP\right|}^2-{\left|LP\right|}^2}$. Stąd i z równości $\left|KP\right|=\left|LP\right|$ wynika, że $\left|AK\right|=\left|AL\right|$. Wykazaliśmy więc, że trójkąty $AKP$ i $ALP$ są przystające (cecha bbb przystawania trójkątów). To oznacza, że kąty ostre $KAP$ i $LAP$ tych trójkątów są równe. To z kolei znaczy, że półprosta $AP$ jest dwusieczną kąta $\alpha$, czyli punkt $P$ leży na dwusiecznej kąta $\alpha$. To kończy dowód.

Prześledźmy teraz kilka przykładów, które przybliżą nam wprowadzone pojęcie dwusiecznej kąta oraz wskażą, jak można wykorzystać dwusieczną kąta do rozwiązywania zadań.

Rozwiązanie

R1ccBRwz4RQ5S

Rysunek przedstawia kąt ostry $\alpha$. Wierzchołek kąta wyróżniono zamalowanym punktem i opisano jako $A$. Z wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta opisaną jako $d_{\alpha }$. Od górnego ramienia kąta poprowadzono kąt prosty biegnący na zewnątrz kąta, to znaczy kąty te mają wspólne ramię i nie nachodzą na siebie. Analogicznie poprowadzono kąt prosty od dolnego ramienia kąta $\alpha$. Ramiona obu kątów prostych, które nie są wspólne z ramionami kąta $\alpha$ wyznaczają czwarty kąt. Jest to kąt o mierze $360°-\alpha -2·90°$. Część płaszczyzny odcięta przy czwartym kącie oraz dwusieczna $d_{\alpha }$ są zaznaczone zielonym kolorem.

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od ramion kąta jest zaznaczony kolorem zielonym. Zbiór ten nie jest prostą. To jest właśnie powodem, dla którego dwusieczną kąta wygodniej jest zdefiniować jako półprostą, a nie prostą.

Przykład 1

Rozstrzygnij, czy w ostatnim podanym twierdzeniu można pominąć założenie o tym, że punkt jest punktem kąta, a więc rozstrzygnij, czy prawdziwe jest zdanie:

Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od jego ramion.

Każdy punkt leżący na dwusiecznej kąta jest równo oddalony od jego ramion. Prawdziwość tego zdania udowodniliśmy wcześniej, a w dowodzie zakładaliśmy, że punkt leży wewnątrz kąta wypukłego. Musimy więc rozstrzygnąć, czy są punkty leżące na zewnątrz kąta, które są równo oddalone od jego ramion. Bez trudu zauważamy, że każdy punkt $P$ leżący na prostej zawierającej dwusieczną kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta. Odległość od każdego z ramion jest wtedy równa $\left|PA\right|$, jak na rysunku.

RishqLhRiZUMj

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której zaznaczono dwa punkty: po lewej stronie punkt $P$, a po prawej punkt $A$. Punkt $A$ jest wierzchołkiem kąta ostrego $\alpha$, którego ramiona biegną w prawej części rysunku. Oznacza to, że punkt $P$ leży poza kątem $\alpha$. Część prostej od wierzchołka kąta w prawą stronę wyróżniono kolorem i opisano jako dwusieczna kąta, czyli $d_{\alpha }$.

Czy są w takim razie jeszcze inne punkty leżące na zewnątrz kąta równo oddalone od jego ramion, które nie leżą na prostej zawierającej dwusieczną tego kąta? Poniższy rysunek pokazuje, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca.

RHbqGcfbyxMa9

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której zaznaczono punkt $A$ będący wierzchołkiem kąta ostrego $\alpha$, którego ramiona biegną w prawej części rysunku. Część prostej od wierzchołka kąta w prawą stronę wyróżniono kolorem i opisano jako dwusieczna kąta, czyli $d_{\alpha }$. Po lewej stronie nad prostą zaznaczono punkt $Q$ i poprowadzono od niego odcinek do punktu $A$. Przez wierzchołek kąta poprowadzono ukośną linię przerywaną. Zaznaczono kąt prosty między odcinkiem $QA$ a linią przerywaną.

R8BAsnuGYgSkp

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której zaznaczono punkt $A$ będący wierzchołkiem kąta ostrego $\alpha$, którego ramiona biegną w prawej części rysunku. Część prostej od wierzchołka kąta w prawą stronę wyróżniono kolorem i opisano jako dwusieczna kąta, czyli $d_{\alpha }$. Po lewej stronie nad prostą zaznaczono punkt $Q$ i poprowadzono od niego odcinek do punktu $A$. Przez wierzchołek kąta poprowadzono ukośną linię przerywaną. Zaznaczono kąt prosty między odcinkiem $QA$ a linią przerywaną.

Zaznaczony na tym rysunku punkt $Q$ leży w tej samej odległości od każdego z ramion kąta. Odległość tego punktu od obu ramion kąta jest równa $\left|QA\right|$.

Kolejny rysunek przekonuje nas jednak, że nie każdy punkt leżący na zewnątrz kąta leży w tej samej odległości od jego ramion.

R1VYPiZhefura

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której zaznaczono punkt $A$ będący wierzchołkiem kąta ostrego $\alpha$, którego ramiona biegną w prawej części rysunku. Część prostej od wierzchołka kąta w prawą stronę wyróżniono kolorem i opisano jako dwusieczna kąta $\alpha$, czyli $d_{\alpha }$. Tuż nad górnym ramieniem kąta zaznaczono na płaszczyźnie punkt $R$ i poprowadzono z niego odcinek prostopadły do dolnego ramienia, którego koniec znajduje się w punkcie $K$, gdzie $K$ należy do dolnego ramienia kąta. Między odcinkiem $RK$ a dolnym ramieniem kąta zaznaczono kąt prosty. Następnie z punktu $R$ poprowadzono drugi odcinek, tym razem prostopadły do górnego ramienia, którego koniec znajduje się w punkcie $L$, gdzie $L$ należy do górnego ramienia kąta. Między odcinkiem $RL$ a górnym ramieniem kąta zaznaczono kąt prosty.

Rjyruk6aCZdSi

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której zaznaczono punkt $A$ będący wierzchołkiem kąta ostrego $\alpha$, którego ramiona biegną w prawej części rysunku. Część prostej od wierzchołka kąta w prawą stronę wyróżniono kolorem i opisano jako dwusieczna kąta $\alpha$, czyli $d_{\alpha }$. Tuż nad górnym ramieniem kąta zaznaczono na płaszczyźnie punkt $R$ i poprowadzono z niego odcinek prostopadły do dolnego ramienia, którego koniec znajduje się w punkcie $K$, gdzie $K$ należy do dolnego ramienia kąta. Między odcinkiem $RK$ a dolnym ramieniem kąta zaznaczono kąt prosty. Następnie z punktu $R$ poprowadzono drugi odcinek, tym razem prostopadły do górnego ramienia, którego koniec znajduje się w punkcie $L$, gdzie $L$ należy do górnego ramienia kąta. Między odcinkiem $RL$ a górnym ramieniem kąta zaznaczono kąt prosty.

Odległości zaznaczonego na tym rysunku punktu $R$ od ramion kąta są równe $\left|RK\right|$ i $\left|RL\right|$. Oczywiście $\left|RK\right|<\left|RL\right|$. Czy potrafiłbyś teraz zaznaczyć wszystkie punkty płaszczyzny równo oddalone od ramion tego kąta wypukłego? Jeśli to zrobiłeś i chcesz sprawdzić, czy Twoje rozwiązanie jest poprawne, odkryj rysunek.

Zobacz rysunekRozwiązanieZobacz rysunek

Przykład 2

Wykaż, że jeśli dwusieczna kąta trójkątadwusieczna kąta trójkątadwusieczna kąta trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny.

RZPsQxhDAzyiA

Rysunek przedstawia trójkąt $ABC$. Z wierzchołka $A$ poprowadzono środkową boku $BC$ taką, że podzieliła ona kąt przy wierzchołku $A$ na dwa takie same kąty, każdy równy $\alpha$. Środkowa przecina bok $BC$ w punkcie $D$.

Załóżmy, że odcinek $AD$ jest dwusieczną kąta $BAC$ trójkąta $ABC$ i jednocześnie jest środkową trójkąta $ABC$. Zatem $\sphericalangle BAD=\sphericalangle CAD=\alpha$ oraz $\left|BD\right|=\left|CD\right|$. Z własności środkowej wynika, że trójkąty $ABD$ i $ACD$ mają równe pola. Możemy więc zapisać równość $\frac{1}{2}\left|AB\right|·\left|AD\right|·\sin \alpha =\frac{1}{2}\left|AC\right|·\left|AD\right|·\sin \alpha$, z której otrzymujemy równość $\left|AB\right|=\left|AC\right|$. To oznacza, że trójkąt $ABC$ jest równoramienny, co kończy dowód.

Przykład 3

Skonstruuj kąt o mierze $22°30\text{'}$.

Krok 1

Krok 1

Skonstruujmy najpierw kąt prosty. Wystarczy w tym celu skonstruować dwie proste prostopadłe.

Rsz64JcYVvQTQ

Rysunek przedstawia dwie prostopadłe do siebie proste przecinające się w punkcie $A$, przy którym zaznaczono kąt prosty.

Krok 2

Krok 2

Konstruujemy następnie dwusieczną jednego ze skonstruowanych czterech kątów prostych i w ten sposób powstały dwa kąty o mierze $45°$ każdy.

RNcPVtCXIYYvG

Rysunek przedstawia dwie prostopadłe do siebie proste przecinające się w punkcie $A$. Z punktu $A$ poprowadzono w jednej z ćwiartek płaszczyzny półprostą taką, że podzieliła ona kąt prosty na dwa kąty o wspólnym wierzchołku $A$ i o mierze czterdziestu pięciu stopni każdy.

Krok 3

Krok 3

Teraz wystarczy skonstruować dwusieczną jednego z tych kątów. Otrzymamy w ten sposób kąt o mierze $22°30\text{'}$.

Ra9HFq4MxkwY1

Rysunek przedstawia dwie prostopadłe do siebie proste przecinające się w punkcie $A$. Z punktu $A$ poprowadzono w jednej z ćwiartek płaszczyzny półprostą taką, że podzieliła ona kąt prosty na dwa kąty o wspólnym wierzchołku $A$ i o mierze czterdziestu pięciu stopni każdy. Następnie z punktu $A$ poprowadzono kolejną półprostą dzielącą kąt o mierze czterdziestu pięciu stopni na pół i tak powstał kąt o merze dwudziestu dwóch stopni i trzydziestu minut.

Z ostatniego przykładu wynika, że jeśli mamy dany kąt $\alpha$, to możemy ten kąt podzielić na dwa równe kąty; otrzymaną połówkę kąta znowu możemy podzielić na dwa równe kąty i tak dalej. Możemy więc skonstruować kąty o miarach $\frac{1}{2}\alpha$, $\frac{1}{4}\alpha$; ogólnie kąt o mierze $\frac{1}{2^n}\alpha$, gdzie $n$ oznacza dodatnią liczbę całkowitą. Pojawia się zatem tutaj pytanie, czy możemy podzielić kąt na trzy równe kąty. Podział kąta na trzy równe kąty nazywa się trysekcją kąta (podział kąta na dwa równe kąty nazywamy też bisekcją kąta). Trysekcja dowolnego kąta jest jednych z trzech wielkich problemów geometrycznych postawionych jeszcze przez starożytnych Greków. Dwa pozostałe problemy to kwadratura kołakwadratura kołakwadratura koła i podwojenie sześcianupodwojenie sześcianupodwojenie sześcianu. Postawienie tych trzech problemów przypisuje się Platonowi. Dopiero w $\text{XIX}$ wieku Gauss wykazał, że w przypadku ogólnym trysekcji kątatrysekcja kątatrysekcji kąta nie da się wykonać jedynie za pomocą cyrkla i linijki (bez podziałki). Pozostałe dwa problemy też mają negatywne rozwiązanie.

Słownik