Zapiszemy w postaci iloczynu $a^5-32$.

Ponieważ $32=2^5$, więc do wzoru

$x^5-y^5=\left(x-y\right)\left(x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4\right)$

podstawiamy:

$x=a$, $y=2$

$a^5-2^5=(a-2)(a^4+2a^3+a^2\cdot 2^2+a\cdot 2^3+2^4)$

Wykonujemy wskazane działania w nawiasie.

$a^5-32=\left(a-2\right)\left(a^4+2a^3+4a^2+8a+16\right)$

Zauważmy, że wzór na różnicę $n$–tych potęgwzór na różnicę n–tych potęgZauważmy, że wzór na różnicę $n$–tych potęg dla $n=2$ to znany nam już wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń. Zatem jeśli wykładnik potęgi jest liczbą parzystą, to, rozkładając na czynniki wyrażenie $x^n-y^n$ można skorzystać (w niektórych przypadkach kilkakrotnie) właśnie z tego wzoru.

Zapiszemy w postaci iloczynu: $M=625-k^4$.

Zauważmy, że $625={25}^2$ i $k^4={\left(k^2\right)}^2$.

Aby zapisać podane wyrażenie w postaci iloczynu, korzystamy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$M=625-k^4={25}^2-{\left(k^2\right)}^2=\left(25-k^2\right)\left(25+k^2\right)$

$M=\left(5-k\right)\left(5+k\right)\left(25+k^2\right)$

Zapiszemy iloczyn $\left(b+2c-2\right)\left(b+2c+2\right)$ w postaci różnicy potęg.

Oznaczmy:

$x=b+2c$

Możemy wtedy zapisać:

$\left(b+2c-2\right)\left(b+2c+2\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

Prawa strona równości to iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę – skorzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów

$\left(b+2c-2\right)\left(b+2c+2\right)=x^2-2^2={\left(b+2c\right)}^2-2^2$

Rozwiążemy równanie $\left(x^3+x\right)\left(x^2-1\right)=1-x$.

Przenosimy wyrazy z prawej strony równania na lewą.

$\left(x^3+x\right)\left(x^2-1\right)+x-1=0$

Różnicę kwadratów zapisujemy w postaci iloczynu.

$\left(x^3+x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x-1\right)=0$

Wyłączamy wspólny czynnik poza nawias.

$\left(x-1\right)·\left[\left(x^3+x\right)\left(x+1\right)+1\right]=0$

W nawiasie kwadratowym wykonujemy wskazane działania.

$\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0$

Iloczyn stojący po lewej stronie równania to różnica piątych potęg liczb $x$ oraz $1$.

$x^5-1=0$

Stąd:

$x=1$

Rozwiązaniem równania jest liczba $1$.

Zapiszemy w postaci iloczynu każdą z sum.

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$–tych potęg.

$x^5+32=x^5+2^5=\left(x+2\right)\left(x^4-2x^3+4x^2-8x+16\right)$

$x^3+8=x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$

$m^3+1=\left(m+1\right)\left(m^2-m+1\right)$

${\left(xy\right)}^7+7^7=\left(xy+7\right)\left(x^6{y}^6-7·x^5{y}^5+7^2·x^4{y}^4-7^3·x^3{y}^3+7^4·x^2{y}^2-7^5·xy+7^6\right)$

Korzystając z tożsamości Sophie Germain, zapiszemy każdą z sum w postaci iloczynu.

$a^{18}+8b^{18}=\left(a^6+2b^6\right)\left(a^{12}-2a^6{b}^6+4b^{12}\right)$

$a^{12}+8b^{12}=\left(a^4+2b^4\right)\left(a^8-2a^4{b}^4+4b^8\right)$

Wykażemy, że liczba $M=6^{20}+1$ jest liczbą złożoną.

$M=6^{20}+1=6^{4\cdot 5}+1^5=\left(6^4+1\right)\left(6^{16}-6^{12}+6^8-6^4+1\right)$

Liczba $M$ jest iloczynem dwóch liczb naturalnych, z których każda jest większa od $1$, jest więc liczbą złożoną.

dla liczb rzeczywistych $x$, $y$ i dowolnej liczby naturalnej $n\ge 1$ prawdziwy jest wzór