Przeczytaj
Wzór na różnicę –tych potęg
Zapiszmy kilka różnic kolejnych naturalnych potęg liczb oraz .
Zauważ, że w powyższych wzorach liczba wyrazów w drugim nawiasie jest równa wykładnikowi potęg stojących z lewej strony równości.
Analizując powyższe wzory zauważamy też inne analogie, które można ująć w postaci wzoru ogólnego.
Wzór na różnicę –tych potęgWzór na różnicę –tych potęg:
Dla liczb rzeczywistych , i dowolnej liczby naturalnej prawdziwy jest wzór
Pokażemy teraz kilka zastosowań powyższego wzoru.
Zapiszemy w postaci iloczynu .
Ponieważ , więc do wzoru
podstawiamy:
,
Wykonujemy wskazane działania w nawiasie.
Zauważmy, że wzór na różnicę –tych potęgZauważmy, że wzór na różnicę –tych potęg dla to znany nam już wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń. Zatem jeśli wykładnik potęgi jest liczbą parzystą, to, rozkładając na czynniki wyrażenie można skorzystać (w niektórych przypadkach kilkakrotnie) właśnie z tego wzoru.
Zapiszemy w postaci iloczynu: .
Zauważmy, że i .
Aby zapisać podane wyrażenie w postaci iloczynu, korzystamy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Zapiszemy iloczyn w postaci różnicy potęg.
Oznaczmy:
Możemy wtedy zapisać:
Prawa strona równości to iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę – skorzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów
Rozwiążemy równanie .
Przenosimy wyrazy z prawej strony równania na lewą.
Różnicę kwadratów zapisujemy w postaci iloczynu.
Wyłączamy wspólny czynnik poza nawias.
W nawiasie kwadratowym wykonujemy wskazane działania.
Iloczyn stojący po lewej stronie równania to różnica piątych potęg liczb oraz .
Stąd:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Jeśli jest liczbą naturalną dodatnią, , – to dowolne liczby rzeczywiste, to
Wzór na sumę –tych potęg
Zapiszmy kilka sum kolejnych nieparzystych naturalnych potęg liczb oraz .
Analizując powyższe wzory, zauważamy pewne analogie, które można ująć w postaci wzoru ogólnego.
Wzór na sumę –tych potęg:
Dla liczb rzeczywistych , i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej prawdziwy jest wzór
Pokażemy teraz kilka zastosowań powyższego wzoru.
Zapiszemy w postaci iloczynu każdą z sum.
Korzystamy ze wzoru na sumę –tych potęg.
W niektórych przypadkach w postaci iloczynu można zapisać też sumy potęg o wykładnikach parzystych.
Korzystając z tożsamości Sophie Germain, zapiszemy każdą z sum w postaci iloczynu.
Wykażemy, że liczba jest liczbą złożoną.
Liczba jest iloczynem dwóch liczb naturalnych, z których każda jest większa od , jest więc liczbą złożoną.
Słownik
dla liczb rzeczywistych , i dowolnej liczby naturalnej prawdziwy jest wzór