Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego, w którym torem punktu materialnego jest okrąg.
Jeżeli jednocześnie wartość prędkości jest stała, czyli punkt w jednakowych odstępach czasu przebywa taką samą drogę (zakreśla łuk o tej samej długości), to ruch ten jest ruchem jednostajnym po okręgu. Dla takiego ruchu można zdefiniować okres i częstotliwość ruchu.
Okres jest czasem jednego obiegu, czyli czasem, po którym punkt wróci do położenia początkowego.
Jednostką okresu jest sekunda: .
Częstotliwość opisuje liczbę obiegów wykonanych w jednostce czasu, przeważnie w ciągu 1 sekundy. Częstotliwość jest odwrotnością okresu,
Jednostką częstotliwości jest herc: .
Wartość prędkości liniowej definiujemy jako stosunek długości () zakreślonego przez punkt odcinka toru do czasu (), w którym to nastąpiło (Rys. 1.). Jest to oczywiście stosowalne do ruchu po okręgu.
Wartość prędkości kątowej definiujemy jako stosunek przyrostu kąta , jaki zakreślił punkt do czasu , w którym to nastąpiło (Rys. 1.):
Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s):
R4mfB7JcC74Na
W szczególnym przypadku, gdy punkt zakreśla pełny okrąg, mamy
Wówczas wartość prędkości liniowej to
Natomiast wartość prędkości kątowej:
Korzystając ze związku między okresem i częstotliwością , możemy zapisać:
Eliminując z powyższych wyrażeń częstotliwość, otrzymujemy wzór wiążący wartość prędkości liniowej i kątowej:
Każdy punkt materialny poruszający się po okręgu ma przyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie dośrodkowe , którego wartość - w zależności od prędkości liniowej - ma postać
Można je także wyrazić za pomocą prędkości kątowej:
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona () na punkt materialny o masie , który porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, działa siła dośrodkowa , skierowana do środka tego okręgu, o wartości określonej wyrażeniem
lub
Przykład 1. Wentylator
R1QKL5FrGn52V
Długość skrzydła wentylatora (od osi obrotu) wynosi 15 cm. Skrzydła wentylatora wykonują 1200 obrotów na minutę. Możemy obliczyć:
częstotliwość obrotu wentylatora w Hz,
okres obrotu wentylatora,
prędkość kątową,
prędkość liniową końca skrzydła,
przyspieszenie dośrodkowe końców skrzydeł.
Dane:
Rozwiązanie:
Zauważ, że gdyby zwiększyć długość skrzydeł wentylatora dwukrotnie, to prędkość kątowa nie zmieniłaby się, ale prędkość liniowa ich końców wzrosłaby również dwukrotnie - do wartości około 37,6 m/s.
Przykład 2. Diabelski młyn
RNznwIIUQaxBD
Jeden z największych diabelskich młynów (London Eye) znajduje się w Londynie (Rys. 3.). Wysokość to 135 m, pełny obrót trwa około 30 min. Na olbrzymim kole rozmieszczone są 32 klimatyzowane kabiny pasażerskie.
Możemy obliczyć:
okres obrotu London Eye,
częstotliwość jego obrotu,
liczbę obrotów, jaką wykona w ciągu doby przy założeniu, że obraca się bez przerwy,
prędkość kątową diabelskiego młyna,
prędkość liniową kabin pasażerskich,
przyspieszenie dośrodkowe, jakie mają kabiny pasażerskie,
siłę dośrodkową, jaka działa na pasażera o masie 80 kg.
Dane:
promień London Eye:
czas trwania jednego obrotu, czyli okres obrotu:
Rozwiązanie:
liczba obrotów w ciągu doby:
Prędkość jest na tyle mała, że pasażerowie mogą wsiadać do kabiny bez zatrzymywania koła.
Przykład 3. Płyta CD
RQSnBK79CoLh6
Płyta CD (Rys. 4.) ma średnicę 12 cm, grubość 1,2 mm i masę około 15 g.
Płyta obraca się w ten sposób, że jej prędkość kątowa zmienia się. Stała pozostaje prędkość liniowa głowicy odczytującej względem ścieżki na płycie, tzn. ścieżka przesuwa się ze stałą prędkością liniową pod promieniem lasera z głowicy. Prędkość ta wynosi około 1,3 m/s. Płyta jest odczytywana od środka na zewnątrz. Częstotliwość obrotu płyty maleje wraz z oddalaniem się od środka, od 540 obrotów/min na początku ścieżki do 212 obrotów/min przy końcu ścieżki.
Możemy obliczyć:
najmniejszą i największą prędkość kątową płyty,
odległość od środka płyty do początku zapisu ścieżki,
odległość od środka płyty do końca zapisu ścieżki.
Dane:
promień płyty:
najmniejsza częstotliwość obrotu płyty:
największa częstotliwość obrotu płyty:
prędkość liniowa:
Rozwiązanie:
Przykład 4. Motocyklista poruszający się po rondzie
R1BIAS6szurcP
Motocyklista, poruszając się po łuku, pochyla się razem z motorem do środka okręgu tym bardziej, im szybciej jedzie.
Kąt nachylenia motoru do podłoża można obliczyć w następujący sposób: na zakręcie na motocyklistę działa siła ciężkości oraz siła sprężystości podłoża , która jest reakcją na siłę , wywieraną przez motor na jezdnię. Siła, z jaką koło motoru działa na jezdnię, jest skierowana pod kątem do podłoża wzdłuż osi motocyklisty. Wypadkowa siły ciężkości i siły sprężystości podłoża jest siłą dośrodkową (Rys. 6.).
R1ITmxMcX4cJu
Wartość siły dośrodkowej to , gdzie jest promieniem okręgu (łuku), po którym porusza się motocyklista.
Widać, że kąt nachylenia spełnia warunek
Wartość siły dośrodkowej jest tym większa, im większa jest prędkość motocyklisty. Musi więc przy wzroście prędkości mocniej się pochylić.
Kąt nachylenia zależy również od promienia okręgu . Zakręt o większym wymaga większego kąta nachylenia, a o mniejszym (ostrzejszy zakręt) – mniejszego kąta nachylenia motocykla do podłoża.
Ponieważ motocykl ustawiony jest do jezdni pod pewnym kątem , siła, z jaką koło motoru naciska na podłoże, nie działa pionowo, ale właśnie pod kątem . Może w związku z tym wystąpić poślizg koła.
Słowniczek
przyspieszenie dośrodkowe
przyspieszenie dośrodkowe
(ang.: centripetal acceleration) składowa wektora przyspieszenia prostopadła do kierunku prędkości ciała, powodująca zmianę kierunku wektora prędkości i nie powodująca zmiany jego wartości.