Warto przeczytać

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego, w którym torem punktu materialnego jest okrąg.

Jeżeli jednocześnie wartość prędkości jest stała, czyli punkt w jednakowych odstępach czasu przebywa taką samą drogę (zakreśla łuk o tej samej długości), to ruch ten jest ruchem jednostajnym po okręgu. Dla takiego ruchu można zdefiniować okres i częstotliwość ruchu.

Okres $T$ jest czasem jednego obiegu, czyli czasem, po którym punkt wróci do położenia początkowego.

Jednostką okresu jest sekunda: $[T]=\text{s}$.

Częstotliwość $f$ opisuje liczbę obiegów wykonanych w jednostce czasu, przeważnie w ciągu 1 sekundy. Częstotliwość jest odwrotnością okresu,

Jednostką częstotliwości jest herc: $[f]=1\text{Hz}={\text{s}}^{-1}$.

Wartość prędkości liniowej definiujemy jako stosunek długości ($\Delta s$) zakreślonego przez punkt odcinka toru do czasu ($\Delta t$), w którym to nastąpiło (Rys. 1.). Jest to oczywiście stosowalne do ruchu po okręgu.

Wartość prędkości kątowej $\omega$ definiujemy jako stosunek przyrostu kąta $\Delta \phi$, jaki zakreślił punkt do czasu $\Delta t$, w którym to nastąpiło (Rys. 1.):

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s):

R4mfB7JcC74Na

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono schematycznie punkt materialny poruszający się po okręgu. Zaprezentowano dwa współśrodkowe okręgi. Jeden z okręgów ma mniejszy promień i narysowany jest linią przerywaną w kolorze czarnym. Drugi z okręgów ma większy promień i narysowano go ciągłą linią w kolorze zielonym. Promień większego okręgu opisano małą literą r. Na obwodzie zielonego okręgu zaznaczono kolorem czerwonym dwa punkty, do których poprowadzono promienie w postaci czarnych odcinków, łączących środek okręgu z tymi punktami. Jeden z czerwonych punktów zaznaczono w dolnej lewej części obwodu. Opisano go wielką literą A. Drugi z punktów zaznaczono na wysokości środka okręgu, z lewej strony na obwodzie. Punkt ten oznaczono wielką literą B. Łuk na obwodzie zielonego okręgu, pomiędzy punktami A i B zaznaczono pogrubieniem w kolorze niebieskim. Niebieski łuk symbolizuje przemieszczenie przestrzenne punktu w ruchu po okręgu, a zatem punkt porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Długość tego łuku opisano wielką grecką literą delta i małą literą s. Kąt pomiędzy promieniami biegnącymi do czerwonych punktów oznaczono wielką grecką literą delta i małą grecką literą fi. Jest to przemieszczenie kątowe.

W szczególnym przypadku, gdy punkt zakreśla pełny okrąg, mamy

Wówczas wartość prędkości liniowej to

Natomiast wartość prędkości kątowej:

Korzystając ze związku między okresem $T$ i częstotliwością $f$, możemy zapisać:

Eliminując z powyższych wyrażeń częstotliwość, otrzymujemy wzór wiążący wartość prędkości liniowej i kątowej:

Każdy punkt materialny poruszający się po okręgu ma przyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie dośrodkowe $a_d$, którego wartość - w zależności od prędkości liniowej - ma postać

Można je także wyrazić za pomocą prędkości kątowej:

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona ($\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$) na punkt materialny o masie $m$, który porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, działa siła dośrodkowa $F_d$, skierowana do środka tego okręgu, o wartości określonej wyrażeniem

lub

Przykład 1. Wentylator

R1QKL5FrGn52V

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia wentylator w postaci wiatraka o trzech łopatkach. Wentylator zbudowany jest z pionowego ramienia i zamontowanego na jego szczycie wiatraka. Łopatki wiatraka osłonięto metalową siatką zabezpieczającą. Obracające się łopatki wentylatora wprawiają w ruch cząsteczki powietrza, tym samym wywołując podmuch powietrza. Urządzenie wykorzystywane jest dla ochłody w upalne dni.

Długość skrzydła wentylatora (od osi obrotu) wynosi 15 cm. Skrzydła wentylatora wykonują 1200 obrotów na minutę. Możemy obliczyć:

• częstotliwość obrotu wentylatora w Hz,

• okres obrotu wentylatora,

• prędkość kątową,

• prędkość liniową końca skrzydła,

• przyspieszenie dośrodkowe końców skrzydeł.

Dane:

$f = 1200\,\text{min}^{-1}\ .$

$r = 15\,\text{cm} = 0,15\,\text{m}\ .$

Rozwiązanie:

• $f = 1200\,\text{min}^{-1} \frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}} = 20\,\text{Hz}\ .$

• $T = 1/f = 0,05\,\text{s}\ .$

• $\omega = 2\pi f \approx 125,7\,\text{rad/s}\ .$

• $v = \omega r \approx 18,8\,\text{m/s}\ .$

• $v = \frac{v^2}{r} \approx 2356,3\, \text{m/s}^2\ .$

Zauważ, że gdyby zwiększyć długość skrzydeł wentylatora dwukrotnie, to prędkość kątowa nie zmieniłaby się, ale prędkość liniowa ich końców wzrosłaby również dwukrotnie - do wartości około 37,6 m/s.

Przykład 2. Diabelski młyn

RNznwIIUQaxBD

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia słynny diabelski młyn London Eye, który jest jedną z atrakcji Londynu. Na tle panoramy miasta, w pochmurny dzień, o czym świadczą granatowe chmury na niebie, na pierwszym planie widoczna jest kilkudziesięciometrowa metalowa konstrukcja – pionowy okrąg obracający się wokół poziomej osi symetrii. Na okręgu zamocowano gondole, w których zasiadają pasażerowie diabelskiego młyna. Podczas przejażdżki, osoby zasiadające w gondolach wznoszą się na wysokość kilkudziesięciu metrów, z której mogą podziwiać panoramę miasta. Diabelski młyn obraca się ze stałą prędkością kątową, a zatem pasażerowie korzystający z atrakcji poruszają się ruchem jednostajnym po okręgu ze stałą prędkością liniową.

Jeden z największych diabelskich młynów (London Eye) znajduje się w Londynie (Rys. 3.). Wysokość to 135 m, pełny obrót trwa około 30 min. Na olbrzymim kole rozmieszczone są 32 klimatyzowane kabiny pasażerskie.

Możemy obliczyć:

• okres obrotu London Eye,

• częstotliwość jego obrotu,

• liczbę obrotów, jaką wykona w ciągu doby przy założeniu, że obraca się bez przerwy,

• prędkość kątową diabelskiego młyna,

• prędkość liniową kabin pasażerskich,

• przyspieszenie dośrodkowe, jakie mają kabiny pasażerskie,

• siłę dośrodkową, jaka działa na pasażera o masie 80 kg.

Dane:

promień London Eye: $r = 67,5\,\text{m}.$

czas trwania jednego obrotu, czyli okres obrotu: $T = 30\,\text{min} = 1800\,\text{s}\ .$

Rozwiązanie:

• $T = 1800\,\text{s}\ .$

• $f = 1/T \approx 5,6\cdot 10^{-4}\,\text{Hz}\ .$

• liczba obrotów w ciągu doby: $n = \frac{24\,\text{h}}{T} = 48\ .$

• $\omega = \frac{2\pi}{T} \approx 3,5\cdot 10^{-3}\,\text{rad/s}\ .$

• $v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi \cdot 67,5m}{1800s}\approx 0,24\frac{m}{s}\approx 0,85\frac{km}{h}$

Prędkość jest na tyle mała, że pasażerowie mogą wsiadać do kabiny bez zatrzymywania koła.

• $a_d = \frac{v^2}{r} \approx 8,5\cdot 10^{-4}\,\text{m/s}^2\ .$

• $F_d = m a_d \approx 0,07\,N\ .$

Przykład 3. Płyta CD

RQSnBK79CoLh6

Rys. 4. Zdjęcie przedstawia płytę kompaktową CD. To srebrzysty krążek z okrągłym, centralnym otworem. Po przekątnej pola, na którym zaprezentowano CD, od płyty odbija się światło białe rozszczepiane na wszystkie kolory tęczy. Światło ulega rozszczepieniu, ponieważ różne barwy wchodzące w skład światła białego uginają się na mikrorowkach wyżłobionych pod różnymi kątami w powierzchni płyty. Płyta kompaktowa, umieszczana w odtwarzaczu obraca się ze stałą prędkością, a na podstawie rozmieszczenia oraz głębokości rowków odczytywana są z niej dane, często w postaci dźwięku lub obrazu.

Płyta CD (Rys. 4.) ma średnicę 12 cm, grubość 1,2 mm i masę około 15 g.

Płyta obraca się w ten sposób, że jej prędkość kątowa zmienia się. Stała pozostaje prędkość liniowa głowicy odczytującej względem ścieżki na płycie, tzn. ścieżka przesuwa się ze stałą prędkością liniową pod promieniem lasera z głowicy. Prędkość ta wynosi około 1,3 m/s. Płyta jest odczytywana od środka na zewnątrz. Częstotliwość obrotu płyty maleje wraz z oddalaniem się od środka, od 540 obrotów/min na początku ścieżki do 212 obrotów/min przy końcu ścieżki.

Możemy obliczyć:

• najmniejszą i największą prędkość kątową płyty,

• odległość od środka płyty do początku zapisu ścieżki,

• odległość od środka płyty do końca zapisu ścieżki.

Dane:

promień płyty: $r = 6\,\text{cm}\ .$

najmniejsza częstotliwość obrotu płyty: $f_{\text{min}} = 212\,\text{obr/min} \approx 3,5\,\text{Hz}\ .$

największa częstotliwość obrotu płyty: $f_{\text{max}} = 540\,\text{obr/min} \approx 9\,\text{Hz}\ .$

prędkość liniowa: $v = 1,3\,\text{m/s}\ .$

Rozwiązanie:

• $\omega_{\text{min}} = 2\pi f_{\text{min}} \approx 22,2\,\text{rad/s}\ ,$

• $\omega_{\text{max}} = 2\pi f_{\text{max}} \approx 56,6\,\text{rad/s}\ .$

• $r_{\text{min}} = \frac{v}{\omega_{\text{min}}}\approx 0,023\,\text{m} = 2,3\,\text{cm}\ ,$

• $r_{\text{max}} = \frac{v}{\omega_{\text{max}}} \approx 0,059\,\text{m}\ .$

Przykład 4. Motocyklista poruszający się po rondzie

R1BIAS6szurcP

Rys. 5. Zdjęcie przedstawia rondo drogowe. W centralnej części zdjęcia pokazano plac, na którym spotykają się trzy asfaltowe jezdnie. U zbiegu jezdni mieści się okrągły brukowany placyk, na którym znajduje się zielony trawnik ze słupem pośrodku. Samochody, wjeżdżając na rondo poruszają się ruchem po okręgu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Motocyklista, poruszając się po łuku, pochyla się razem z motorem do środka okręgu tym bardziej, im szybciej jedzie.

Kąt $\alpha$ nachylenia motoru do podłoża można obliczyć w następujący sposób: na zakręcie na motocyklistę działa siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_g$ oraz siła sprężystości podłoża ${\overrightarrow{F}}_s$, która jest reakcją na siłę ${\overrightarrow{F}}_n$, wywieraną przez motor na jezdnię. Siła, z jaką koło motoru działa na jezdnię, jest skierowana pod kątem $\alpha$ do podłoża wzdłuż osi motocyklisty. Wypadkowa siły ciężkości ${\overrightarrow{F}}_g$ i siły sprężystości podłoża ${\vec{F}}_s$ jest siłą dośrodkową ${\vec{F}}_d$ (Rys. 6.).

R1ITmxMcX4cJu

Rys. 6. Na rysunku przedstawiono schematycznie motocyklistę oraz siły działające na niego podczas wykonywania skrętu pojazdem. Na poziomej płaskiej powierzchni zaznaczonej linią, pokazano od frontu motocyklistę – uproszczoną sylwetkę w kolorze niebieskim siedzącą na motocyklu w kolorze szarym. Motocyklista pochylony jest wraz z pojazdem w lewo, pod kątem opisanym małą grecką literą alfa. W punkcie styku opony pojazdu z podłożem przyłożono wektor siły nacisku, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera n. Wektor tej siły narysowano jako pomarańczową strzałkę skierowaną w dół i w prawo, równolegle do kierunku pochylenia motocyklisty. Do środka motocykla przyłożono wektory trzech innych sił działających na kierowcę i pojazd. W postaci zielonej, pionowej strzałki skierowanej w dół narysowano wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g. Wektor siły sprężystości podłoża, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s, narysowano w postaci pomarańczowej strzałki, skierowanej w lewo i w górę, równolegle do tułowia motocyklisty. Siła nacisku i siła sprężystości działają w tym samym kierunku i mają równe wartości, o czym świadczą równe długości strzałek. Jest to para sił spełniająca trzecią zasadę dynamiki. Wektor siły sprężystości jest pochylony względem kierunku poziomego o kąt mała grecka litera alfa. W wyniku dodania metodą równoległoboku wektorów sił grawitacji i sprężystości podłoża otrzymywany jest wektor siły dośrodkowej, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera d. Siła dośrodkowa narysowana jest w postaci czerwonej, poziomej strzałki skierowanej w lewo i przyłożonej do środka motocykla.

Wartość siły dośrodkowej to $F_d=m\frac{v^2}{r}$, gdzie $r$ jest promieniem okręgu (łuku), po którym porusza się motocyklista.

Widać, że kąt nachylenia $\alpha$ spełnia warunek

Wartość siły dośrodkowej jest tym większa, im większa jest prędkość motocyklisty. Musi więc przy wzroście prędkości mocniej się pochylić.

Kąt nachylenia $\alpha$ zależy również od promienia okręgu $r$. Zakręt o większym $r$ wymaga większego kąta nachylenia, a o mniejszym $r$ (ostrzejszy zakręt) – mniejszego kąta nachylenia motocykla do podłoża.

Ponieważ motocykl ustawiony jest do jezdni pod pewnym kątem $\alpha$, siła, z jaką koło motoru naciska na podłoże, nie działa pionowo, ale właśnie pod kątem $\alpha$. Może w związku z tym wystąpić poślizg koła.

Słowniczek