Przeczytaj

Stopień wielomianu

Definicja: Stopień wielomianu

Dany jest wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ,
przy czym $a_{n} \neq 0$ .

Stopniem wielomianu nazywamy liczbę $n$ odpowiadającą najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ .
Jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$ .
Jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia.

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

Stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

Przykład 1

$W_{1} (x) = 32 x^{5} - 80 \sqrt{2} x^{4} + 160 x^{3} - 80 \sqrt{2} x^{2} + 40 x - 4 \sqrt{2}$ ,
wtedy $deg (W_{1} (x)) = 5$ .
$W_{2} (x) = (3 x^{2} + 1)^{12}$ ,
wtedy $deg (W_{2} (x)) = 24$
$W_{3} (x) = (5 x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{2} - 11) - 5 x^{3} (x^{3} + 3 x - 1)$ ,
wtedy $deg (W_{3} (x)) = 5$ , ponieważ współczynnik przy $x^{6}$ po redukcji wyrazów podobnych wyniesie $0$ .

Przykład 2

Określmy stopień podanych wielomianówstopień wielomianu jednej zmiennejstopień podanych wielomianów

RP1xvaqSX8w3H

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

, P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

, Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzysta, koniec indeksu górnego

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

Przykład 3

Dany jest wielomian trzeciego stopnia $W (x)$ . Wiadomo, że

$W (1) = - 11$
$W (2) = - 22$
$W (3) = 1$
$W (4) = 88$

Czy na tej podstawie można określić wzór wielomianuwielomianwielomianu?

R7oa8K8NBMdoD

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1AQZ7w2f

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego stopnia wielomianu.

Słownik

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (przy założeniu, że $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi wielomianu; jeśli wielomian jest stałą niezerową, to jego stopień wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Symbol stopnia wielomianu $W (x)$ : $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów;
wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik