Przeczytaj

Stopień wielomianu

Definicja: Stopień wielomianu

Dany jest wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ,
przy czym $a_{n} \neq 0$ .

Stopniem wielomianu nazywamy liczbę $n$ odpowiadającą najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ .
Jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$ .
Jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia.

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

Stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

Przykład 1

$W_{1} (x) = 32 x^{5} - 80 \sqrt{2} x^{4} + 160 x^{3} - 80 \sqrt{2} x^{2} + 40 x - 4 \sqrt{2}$ ,
wtedy $deg (W_{1} (x)) = 5$ .
$W_{2} (x) = (3 x^{2} + 1)^{12}$ ,
wtedy $deg (W_{2} (x)) = 24$
$W_{3} (x) = (5 x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{2} - 11) - 5 x^{3} (x^{3} + 3 x - 1)$ ,
wtedy $deg (W_{3} (x)) = 5$ , ponieważ współczynnik przy $x^{6}$ po redukcji wyrazów podobnych wyniesie $0$ .

Przykład 2

Określmy stopień podanych wielomianówstopień wielomianu jednej zmiennejstopień podanych wielomianów

RP1xvaqSX8w3H

W (x) = (3 x - 5)^{17}

Wiadomo, że $W (x) = \underset{17 razy}{\underset{⏟}{(3 x - 5) \cdot (3 x - 5) \cdot \dots \cdot (3 x - 5)}}$
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy $x$ uzyskamy w składniku $\underset{17 razy}{\underset{⏟}{3 x \cdot 3 x \cdot \dots \cdot 3 x}} = 3^{17} x^{17}$
Zatem $deg (W (x)) = 17$

P (x) = {(5 x^{2} - 4 x + 9)}^{21}

$P (x) = \underset{21 razy}{\underset{⏟}{(5 x^{2} - 4 x + 9) \cdot (5 x^{2} - 4 x + 9) \cdot \dots \cdot (5 x^{2} - 4 x + 9)}}$
Składnikiem o najwyższej potędze będzie $\underset{21 razy}{\underset{⏟}{5 x^{2} \cdot 5 x^{2} \cdot \dots \cdot 5 x^{2}}} = 5^{21} x^{42}$
zatem $deg (P (x)) = 42$

Q (x) = {(x^{7} + 2 x^{5})}^{300}

Wiemy, że $Q (x) = \underset{300 razy}{\underset{⏟}{(x^{7} + 2 x^{5}) \cdot (x^{7} + 2 x^{5}) \cdot \dots \cdot (x^{7} + 2 x^{5})}}$
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy $deg (Q (x)) = 2100$

Przykład 3

Dany jest wielomian trzeciego stopnia $W (x)$ . Wiadomo, że

$W (1) = - 11$
$W (2) = - 22$
$W (3) = 1$
$W (4) = 88$

Czy na tej podstawie można określić wzór wielomianuwielomianwielomianu?

R7oa8K8NBMdoD

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1AQZ7w2f

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego stopnia wielomianu.

Słownik

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (przy założeniu, że $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi wielomianu; jeśli wielomian jest stałą niezerową, to jego stopień wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Symbol stopnia wielomianu $W (x)$ : $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów;
wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik