Jednomianem zmiennej $x$ nazywamy iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym.

Wielomianem nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian).

Wielomian można zapisać w postaci

$W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$.

Liczby $a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, $\dots$, $a_2$, $a_1$, $a_0$ to współczynniki wielomianu ($a_n\ne 0$).

Współczynnik $a_0$ to wyraz wolny wielomianuwyraz wolny wielomianuwyraz wolny wielomianu.

Wielomianami są wyrażenia:

$W\left(x\right)=-3x^6+12x^5-x^3-1$

$W\left(x\right)=2x-x^2+4x^3-8x^8+x^6-2x^7$

$f\left(x\right)=-\frac{3x^5}{4}+11x^3-17\sqrt[3]{5}{x}^6+\frac{13}{2+\sqrt{3}}$

Wielomianami nie są wyrażenia:

$f\left(x\right)=x^3-4x^2-\frac{5}{x}+3$

$g\left(x\right)=-3\sqrt{x}+4x^3+\frac{x}{3+x}$

Dany jest wielomianwielomianwielomian

$W\left(x\right)=x^{13}-13x^{12}+13x^{11}-13x^{10}+\dots +13x^3-13x^2+13x$.

Jak obliczyć jego wartość w niektórych przypadkach?

$W\left(0\right)=0$

$W\left(1\right)=1-13+13-13+\dots -13+13=1$

$W\left(-1\right)=-1-13-13-13-\dots -13-13=1-13·12=-157$

$W\left(12\right)={12}^{13}-\left(12+1\right)\cdot {12}^{12}+\left(12+1\right)\cdot {12}^{11}-\dots$

$\dots +\left(12+1\right)\cdot {12}^2+\left(12+1\right)\cdot 12=$

$={12}^{13}-{12}^{13}-{12}^{12}+{12}^{12}+{12}^{11}-\dots -{12}^3-{12}^2+{12}^2+12=12$

Dany jest wielomian

$W\left(x\right)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$,

w którym wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Wiadomo, że dla każdego całkowitego $x$ liczba $W\left(x\right)$ jest podzielna przez $11$.

Udowodnij, że wszystkie współczynniki wielomianu są podzielne przez $11$.

iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian); wielomian można zapisać w postaci

$W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

składnik wielomianu, w którym nie występuje niewiadoma