Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=-\frac{1}{\left|x\right|}$. Być może pamiętasz z lekcji matematyki jak wygląda jej wykres.

R2GT7F5bxINic

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Jej gałęzie leżą w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych i przechodzą przez punkty $\left(-1;-1\right)$ oraz $\left(1;-1\right)$.

Spójrzmy na tę funkcję jako na funkcję złożoną:

1) Pierwszy sposób:

Rozważmy funkcje $f_1\left(x\right)=-x$, $f_2\left(x\right)=\left|x\right|$ oraz $f_3\left(x\right)=\frac{1}{x}$ w ich naturalnych dziedzinach.

RS8NQRM1HEcRz

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=-x$, który stanowi ukośna prosta przechodzącą przez punkty o współrzędnych $\left(-3;-3\right)$, $\left(0;0\right)$ oraz $\left(3;-3\right)$.

RrvloVn4HZGyq

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=\left|x\right|$ składający się z dwóch krzywych leżących w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Pierwsza krzywa biegnie od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-2;2\right)$ do punktu $\left(0;0\right)$. Druga krzywa biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ przez punkt $\left(2;2\right)$ do plus nieskończoności.

R1eaqpKSx0Ac1

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Przechodzą przez punkty $\left(-1;-1\right)$ oraz $\left(1;1\right)$.

Zauważmy, że

$\left(f_1\circ f_2\circ f_3\right)\left(x\right)=f_1\left(f_2\left(\frac{1}{x}\right)\right)=f_1\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right)=-\left|\frac{1}{x}\right|=-\frac{1}{\left|x\right|}$.

Aby narysować wykres funkcji $f$ możemy narysować wykres funkcji $f_3$ a następnie tę gałąź hiperboli, dla której wartości są dodatnie pozostawić bez zmian a drugą gałąź odbić symetrycznie względem osi $X$. Tak powstały wykres pozostaje odbić symetrycznie względem osi $Y$.

2) Drugi sposób:

Rozważmy funkcje $f_1\left(x\right)=-\frac{1}{x}$ oraz $f_2\left(x\right)=\left|x\right|$ dla $x\in \left(0,\infty \right)$.

RmhOcJMT3gI2F

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=-\frac{1}{x}$, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli leżą w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Przechodzą przez punkty $\left(-1;1\right)$ oraz $\left(1;-1\right)$.

R18JTsPuVo3dp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=\left|x\right|$ składający się z dwóch krzywych leżących w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Pierwsza krzywa biegnie od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-2;2\right)$ do punktu $\left(0;0\right)$. Druga krzywa biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ przez punkt $\left(2;2\right)$ do plus nieskończoności.

Zauważmy, że $\left(f_1\circ f_2\right)\left(x\right)=f_1\left(\left|x\right|\right)=-\frac{1}{\left|x\right|}=f\left(x\right)$. Aby narysować wykres funkcji $f$ możemy narysować wykres funkcji $f_1$ a następnie prawą gałąź hiperboli pozostawić bez zmian oraz odbić ją symetrycznie względem osi $Y$.

Dane są funkcje: $h\left(x\right)=\left|x\right|$, $h:S\to T$,$f:X\to Y$, $g\left(x\right)=\left|x\right|$, $g:Z\to W$, gdzie $T\subset X$ i $Y\subset Z$.

Znajdziemy złożenia: $f\circ h$,  $g\circ f$.

Rozwiązanie:

1. $\left(f\circ h\right)\left(x\right)=f\left(h\left(x\right)\right)=f\left(\left|x\right|\right)$, symetria osiowasymetria osiowasymetria osiowa względem osi $Y$ wartości funkcji dla dodatnich argumentów – usuwamy część wykresu znajdującą się po lewej stronie osi $Y$ i odbijamy symetrycznie prawą stronę wykresu na lewą względem osi $Y$,

2. $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=\left|f\left(x\right)\right|$, symetria osiowa względem osi $X$ ujemnych wartości funkcji $f\left(x\right)$ – odbijamy symetrycznie tę część wykresu, która jest pod osią $X$ nad oś $X$.

Dane są funkcje: $h\left(x\right)=-x$, $h:S\to T$, $f:X\to Y$, $g\left(x\right)=-x$, $g:Z\to W$, gdzie $T\subset X$, $Y\subset Z$.

Znajdziemy złożenia: $f\circ h$, $g\circ f$, $g\circ f\circ h$.

Rozwiązanie:

1. $\left(f\circ h\right)\left(x\right)=f\left(h\left(x\right)\right)=f\left(-x\right)$, symetria osiowa względem osi $Y$,

2. $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=-f\left(x\right)$, symetria osiowa względem osi $X$,

3. $\left(g\circ f\circ h\right)\left(x\right)=g\left(f\left(h\left(x\right)\right)\right)=-f\left(-x\right)$, symetria środkowasymetria środkowasymetria środkowa względem punktu $O=\left(0,0\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=x^2-6x+8$.

Rozwiązanie:

Przekształćmy wzór funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: $f\left(x\right)=x^2-6x+8=x^2-6x+9-1={\left(x-3\right)}^2-1$.

Wykres funkcji $f$ jest przesunięciem wykresu funkcji kwadratowej $f_1\left(x\right)=x^2$ o wektor $\left[3, -1\right]$:

wykres funkcji $f_1\left(x\right)=x^2$ przesuwamy w prawo wzdłuż osi $X$ o $3$ jednostki, a następnie w dół wzdłuż osi $Y$ o $1$ jednostkę i otrzymujemy wykres funkcji $f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-1$.

R5kMhJNBJAnrh

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do dziewięciu oraz pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji, stanowiący przesunięcie czerwonego wykresu funkcji. Wykres funkcji czerwonej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$ i ramionach skierowanych w górę. Przechodzi przez punkty $\left(-2;4\right)$ oraz $\left(2;4\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi przesunięcie wykresy czerwonego o trzy jednostki wzdłuż osi X oraz jedną jednostkę wzdłuż osi Y. Zatem wierzchołek funkcji znajduje się w punkcie $\left(3;-1\right)$ a ramiona przechodzą przez punkty $\left(1;3\right)$ oraz $\left(5;3\right)$.

Niech $f:X\to Y$ będzie dowolną funkcją. Rozważmy funkcje liniowe $h\left(x\right)=x-p$, $h:S\to T$ oraz $g\left(x\right)=x+q$, $g:Z\to W$, gdzie $T\subset X$ i $Y\subset Z$, $p,q\in \mathbb{ℝ}$.

Zastanówmy się, jak kolejność składania wpływa na przesunięcia wykresu analizując wzory funkcji złożonych: $f\circ h$,  $g\circ f$ i w końcu $g\circ f\circ h$.

Rozwiązanie:

1. $\left(f\circ h\right)\left(x\right)=f\left(h\left(x\right)\right)=f\left(x-p\right)$, translacjatranslacjatranslacja wykresu funkcji $f\left(x\right)$ o wektor $\left[p, 0\right]$, gdy $p>0$ wykres przesunie się w prawo, gdy $p<0$ wykres przesunie się w lewo,

2. $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)+q$, translacja wykresu funkcji $f\left(x\right)$ o wektor $\left[0, q\right]$, gdy $q>0$ wykres przesunie się do góry, gdy $q<0$ wykres przesunie się w dół,

3. $\left(g\circ f\circ h\right)\left(x\right)=g\left(f\left(h\left(x\right)\right)\right)=f\left(x-p\right)+q$, przesunięcie wykresu funkcji $f\left(x\right)$ o wektor $\left[p, q\right]$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\sqrt{x^2-4x+4}-1\right|$.

Rozwiązanie:

Przekształćmy wzór funkcji $f$: $f\left(x\right)=\left|\sqrt{x^2-4x+4}-1\right|=\left|\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}-1\right|=\left|\left|x-2\right|-1\right|$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathrm{ℝ}$. Aby narysować wykres funkcji $f$ należy wykonać kolejno następujące przekształcenia:

niech $f_1\left(x\right)=\left|x\right|$,

$f_2\left(x\right)=f_1\left(x-2\right)=\left|x-2\right|$, wykres funkcji $f_2$ powstaje w wyniku działania translacji o wektor $\overrightarrow{u}=\left[2, 0\right]$ wykresu funkcji $f_1$

$f_3\left(x\right)=f_2\left(x\right)+\left(-1\right)=\left|x-2\right|-1$, wykres funkcji $f_3$ powstaje w wyniku działania translacji o wektor $\overrightarrow{v}=\left[0, -1\right]$ wykresu funkcji $f_2$,

$f_4\left(x\right)=f\left(x\right)=\left|f_3\left(x\right)\right|=\left|\left|x-2\right|-1\right|$, na koniec wykres funkcji $f_3$, który znajduje się pod osią $X$, odbijamy względem osi $X$ nad oś $X$.

R1JJ6CCUpg4jx

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do siedmiu oraz pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $f\left(x\right)$, który otrzymano dokonując odpowiednich przekształceń. Kolejno. Narysowano wykres funkcji $f_1\left(x\right)$, który stanowią dwie ukośne. Pierwsza biegnie od minus nieskończoności przez punkt $\left(-3;3\right)$ do punktu $\left(0;0\right)$. Druga prosta biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ przez punkt $\left(3;3\right)$ do plus nieskończoności. Następnie wykres funkcji $f_1\left(x\right)$ przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi X i otrzymano wykres funkcji $f_2\left(x\right)$. Zatem wykres funkcji $f_2\left(x\right)$ biegnie od minus nieskończoności przez $\left(-1;3\right)$ do $\left(2;0\right)$ a następnie od $\left(2;0\right)$ przez $\left(5;3\right)$ do plus nieskończoności. Następnie wykres funkcji $f_2\left(x\right)$ przesunięto o jedną jednostkę w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano wykres funkcji $f_3\left(x\right)$. Zatem wykres funkcji $f_3\left(x\right)$ biegnie od minus nieskończoności przez $\left(-1;2\right)$ do $\left(2;-1\right)$, a następnie od $\left(2;-1\right)$ przez $\left(5;2\right)$ do plus nieskończoności. Wykres funkcji $f_4\left(x\right)$ otrzymano poprzez odbicie części wykresu $f_3\left(x\right)$ znajdującej się pod osią $X$, nad oś $X$. Zatem wykres funkcji $f_4\left(x\right)$ biegnie od minus nieskończoności przez $\left(-1;2\right)$ do $\left(1;0\right)$, następnie od $\left(1;0\right)$ do $\left(2;1\right)$, a następnie od $\left(2;1\right)$ do $\left(3;0\right)$, po czym od $\left(3;0\right)$ biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(5;2\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|-\sqrt{-x}+2\right|$.

Rozwiązanie:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D=\left(-\infty , 0\right.⟩$. Aby naszkicować wykres funkcji $f$ należy wykonać kolejno następujące przekształcenia:

niech $f_1\left(x\right)=\sqrt{x}$

$f_2\left(x\right)=f_1\left(-x\right)=\sqrt{-x}$, $S_Y$ symetria osiowa

$f_3\left(x\right)=-\mathrm{ }{f}_2\left(x\right)=-\sqrt{-x}$, $S_X$ symetria osiowasymetria osiowasymetria osiowa

$f_4\left(x\right)=f_3\left(x\right)+2=-\sqrt{-x}+2$, translacja o wektor $\left[0, 2\right]$

$f_5\left(x\right)=\left|f_4\left(x\right)\right|=f\left(x\right)=\left|-\sqrt{-x}+2\right|$, odbicie symetrycznie tej części wykresu, która jest pod osią $X$ nad oś $X$ względem osi $X$.

R18bZrfbuIu78

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus 12 do 4 oraz pionową osią $Y$ od minus 4 do pięć. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $f_5$, który otrzymano dokonując przekształceń wykresu $f_1$. Wykres funkcji $f_1$ biegnie od początku układu współrzędnych, po łuku przez punkt $\left(4;2\right)$ do plus nieskończoności. Wykres funkcji $f_2$ stanowi symetryczne odbicie wykresu funkcji $f_1$ względem osi $Y$, zatem biegnie od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-4;2\right)$ do początku układu współrzędnych. Wykres funkcji $f_3$ stanowi symetryczne odbicie wykresu funkcji $f_2$ względem osi $X$. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-4;-2\right)$ do początku układu współrzędnych. Wykres funkcji $f_4$ stanowi przesunięcie wykresu $f_3$ o dwie jednostki w górę względem osi $Y$. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkty $\left(-9;-1\right)$ oraz $\left(-4;0\right)$ do punktu $\left(0;2\right)$. Wykres funkcji $f_5$ stanowi symetryczne odbicie części wykresu $f_4$, znajdującej się pod osią $X$, nad oś $X$. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-9;1\right)$ do punktu $\left(-4;0\right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ wykładniczej oraz funkcji $g$ pierwiastka kwadratowego. Posługując się wykresami wyznaczymy punkt $E\left(2, \left(g\circ f\right)\left(2\right)\right)$.

R1FvqKiAd5vpr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do jedenastu oraz pionową osią $Y$ od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano czerwony wykres funkcji f oraz niebieski wykres funkcji g. Wykres funkcji f biegnie od minus nieskończoności, wypłaszczony do osi X, następnie odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności niemal pionowo w górę, przez punkty $\left(0;2\right)$ oraz $\left(2;8\right)$. Wykres funkcji g biegnie od początku układ współrzędnych do plus nieskończoności, przez punkty $\left(4;2\right)$ oraz $\left(9;3\right)$.

Rozwiązanie:

Znajdujemy obraz argumentu $x=2$ w przekształceniu funkcją $f$ czyli $f\left(2\right)$. Wartość ta staje się argumentem funkcji $g$. W przekształceniu elementu $f\left(2\right)$ funkcją $g$ otrzymujemy wartość $g\left(f\left(2\right)\right)$. W konsekwencji szukany punkt to $E\left(2, g\left(f\left(2\right)\right)\right)$, który jest punktem krzywej o równaniu $y=g\left(f\left(x\right)\right)$, niewidocznej na tym rysunku.

R1HMML0Tlify7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do jedenastu oraz pionową osią $Y$ od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano czerwony wykres funkcji f, niebieski wykres funkcji g oraz prostą y przechodzącą przez punkty $\left(-2;-2\right)$ oraz $\left(6;6\right)$. Wykres funkcji f biegnie od minus nieskończoności, wypłaszczony do osi X, następnie odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności niemal pionowo w górę, przez punkty $\left(0;2\right)$ oraz $\left(2;8\right)$. Wykres funkcji g biegnie od początku układ współrzędnych do plus nieskończoności, przez punkty $\left(4;2\right)$ oraz $\left(9;3\right)$. Zaznaczono następujące punkty. Punkt $A\left(2;0\right)$, punkt $B\left(2;8\right)$ leżący na wykresie funkcji f, punkt $C\left(8;8\right)$ leżący na prostej, punkt D leżący na wykresie funkcji g, o współrzędnej x równej 8, punkt E na wysokości punktu D i współrzędnej x równej 2 oraz punkt F na wysokości punktu E i D leżący na osi Y. Punkty połączono linią przerywaną, zgodnie z kolejnością alfabetyczną.

przesunięcie równoległe $T_{\overrightarrow{u}}$ o wektor $\overrightarrow{u}$ jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje taki punkt $A^{\text{'}}$, że $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$

symetrią osiową $S_l$ względem prostej $l$, zwaną osią symetrii, jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A^{\text{'}}$ taki, że:

• jeżeli $A\in l$, to $S_l\left(A\right)=A$,

• jeżeli $A\notin l$, to prosta $l$ jest symetralną odcinka $A{A}^{\text{'}}$

symetrią środkową $S_O$ względem punktu $O$ jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które dowolnemu punktowi $A$ przyporządkowuje taki punkt $A^{\text{'}}$, że punkt $O$ jest środkiem odcinka $A{A}^{\text{'}}$