Przeczytaj

Jeśli $Y \subset W$ i $f : X \to Y$ oraz $g : W \to Z$ , to złożeniem funkcji $f$ i $g$ nazywamy funkcję $h = g \circ f : X \to Z$ daną wzorem $h (x) = (g \circ f) (x) = g (f (x))$ (czytamy $f$ złożone z $g$ ). Funkcję $g$ nazywamy funkcją zewnętrzną a funkcję $f$ funkcją wewnętrzną.

Na początek zajmiemy się wykresami funkcji złożonych, w których funkcją wewnętrzną lub zewnętrzną są symetrie względem osi układu lub przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż tych osi. Prawdopodobnie już wcześniej spotkałeś się z takimi operacjami. W tym materiale spojrzymy na nie jako na składanie funkcji.

Przykład 1

Rozważmy funkcję $f (x) = - \frac{1}{|x|}$ . Być może pamiętasz z lekcji matematyki jak wygląda jej wykres.

R2GT7F5bxINic

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Jej gałęzie leżą w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych i przechodzą przez punkty -1;-1 oraz 1;-1.

Spójrzmy na tę funkcję jako na funkcję złożoną:

1) Pierwszy sposób:

Rozważmy funkcje $f_{1} (x) = - x$ , $f_{2} (x) = |x|$ oraz $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ w ich naturalnych dziedzinach.

RS8NQRM1HEcRz

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y=-x, który stanowi ukośna prosta przechodzącą przez punkty o współrzędnych -3;-3, 0;0 oraz 3;-3.

RrvloVn4HZGyq

R1eaqpKSx0Ac1

Zauważmy, że

$(f_{1} \circ f_{2} \circ f_{3}) (x) = f_{1} (f_{2} (\frac{1}{x})) = f_{1} (|\frac{1}{x}|) = - |\frac{1}{x}| = - \frac{1}{|x|}$ .

Aby narysować wykres funkcji $f$ możemy narysować wykres funkcji $f_{3}$ a następnie tę gałąź hiperboli, dla której wartości są dodatnie pozostawić bez zmian a drugą gałąź odbić symetrycznie względem osi $X$ . Tak powstały wykres pozostaje odbić symetrycznie względem osi $Y$ .

2) Drugi sposób:

Rozważmy funkcje $f_{1} (x) = - \frac{1}{x}$ oraz $f_{2} (x) = |x|$ dla $x \in (0, \infty)$ .

RmhOcJMT3gI2F

R18JTsPuVo3dp

Zauważmy, że $(f_{1} \circ f_{2}) (x) = f_{1} (|x|) = - \frac{1}{|x|} = f (x)$ . Aby narysować wykres funkcji $f$ możemy narysować wykres funkcji $f_{1}$ a następnie prawą gałąź hiperboli pozostawić bez zmian oraz odbić ją symetrycznie względem osi $Y$ .

Ogólnie, jeśli jedną ze składanych funkcji jest funkcja „moduł”, to wykres funkcji złożonej powstaje według przedstawionych poniżej procedur:

Przykład 2

Dane są funkcje: $h (x) = |x|$ , $h : S \to T$ , $f : X \to Y$ , $g (x) = |x|$ , $g : Z \to W$ , gdzie $T \subset X$ i $Y \subset Z$ .

Znajdziemy złożenia: $f \circ h$ , $g \circ f$ .

Rozwiązanie:

$(f \circ h) (x) = f (h (x)) = f (|x|)$ , symetria osiowasymetria osiowasymetria osiowa względem osi $Y$ wartości funkcji dla dodatnich argumentów – usuwamy część wykresu znajdującą się po lewej stronie osi $Y$ i odbijamy symetrycznie prawą stronę wykresu na lewą względem osi $Y$ ,
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = |f (x)|$ , symetria osiowa względem osi $X$ ujemnych wartości funkcji $f (x)$ – odbijamy symetrycznie tę część wykresu, która jest pod osią $X$ nad oś $X$ .

Symetrię osiową i punktową wykresu danej funkcji uzyskujemy poprzez złożenie jej funkcją z $g (x) = - x$

Przykład 3

Dane są funkcje: $h (x) = - x$ , $h : S \to T$ , $f : X \to Y$ , $g (x) = - x$ , $g : Z \to W$ , gdzie $T \subset X$ , $Y \subset Z$ .

Znajdziemy złożenia: $f \circ h$ , $g \circ f$ , $g \circ f \circ h$ .

Rozwiązanie:

$(f \circ h) (x) = f (h (x)) = f (- x)$ , symetria osiowa względem osi $Y$ ,
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = - f (x)$ , symetria osiowa względem osi $X$ ,
$(g \circ f \circ h) (x) = g (f (h (x))) = - f (- x)$ , symetria środkowasymetria środkowasymetria środkowa względem punktu $O = (0, 0)$ .

Drugim klasycznym przekształceniem wykresu jest translacjatranslacjatranslacja

Przykład 4

Naszkicujemy wykres funkcji $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .

Rozwiązanie:

Przekształćmy wzór funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: $f (x) = x^{2} - 6 x + 8 = x^{2} - 6 x + 9 - 1 = {(x - 3)}^{2} - 1$ .

Wykres funkcji $f$ jest przesunięciem wykresu funkcji kwadratowej $f_{1} (x) = x^{2}$ o wektor $[3, - 1]$ :

wykres funkcji $f_{1} (x) = x^{2}$ przesuwamy w prawo wzdłuż osi $X$ o $3$ jednostki, a następnie w dół wzdłuż osi $Y$ o $1$ jednostkę i otrzymujemy wykres funkcji $f (x) = {(x - 3)}^{2} - 1$ .

R5kMhJNBJAnrh

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do dziewięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji, stanowiący przesunięcie czerwonego wykresu funkcji. Wykres funkcji czerwonej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie 0;0 i ramionach skierowanych w górę. Przechodzi przez punkty -2;4 oraz 2;4. Wykres funkcji niebieskiej stanowi przesunięcie wykresy czerwonego o trzy jednostki wzdłuż osi X oraz jedną jednostkę wzdłuż osi Y. Zatem wierzchołek funkcji znajduje się w punkcie 3;-1 a ramiona przechodzą przez punkty 1;3 oraz 5;3.

W języku składania funkcji, translacje wykresu danej funkcji to składanie jej z funkcją linową. W zależności od kolejności składania przesuwamy wykres wzdłuż osi $X$ lub $Y$ .

Przykład 5

Niech $f : X \to Y$ będzie dowolną funkcją. Rozważmy funkcje liniowe $h (x) = x - p$ , $h : S \to T$ oraz $g (x) = x + q$ , $g : Z \to W$ , gdzie $T \subset X$ i $Y \subset Z$ , $p, q \in ℝ$ .

Zastanówmy się, jak kolejność składania wpływa na przesunięcia wykresu analizując wzory funkcji złożonych: $f \circ h$ , $g \circ f$ i w końcu $g \circ f \circ h$ .

Rozwiązanie:

$(f \circ h) (x) = f (h (x)) = f (x - p)$ , translacjatranslacjatranslacja wykresu funkcji $f (x)$ o wektor $[p, 0]$ , gdy $p > 0$ wykres przesunie się w prawo, gdy $p < 0$ wykres przesunie się w lewo,
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = f (x) + q$ , translacja wykresu funkcji $f (x)$ o wektor $[0, q]$ , gdy $q > 0$ wykres przesunie się do góry, gdy $q < 0$ wykres przesunie się w dół,
$(g \circ f \circ h) (x) = g (f (h (x))) = f (x - p) + q$ , przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o wektor $[p, q]$ .

W następnych dwóch przykładach narysujemy wykres funkcji złożonej z kilku symetrii i translacji.

Przykład 6

Naszkicujemy wykres funkcji $f (x) = |\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} - 1|$ .

Rozwiązanie:

Przekształćmy wzór funkcji $f$ : $f (x) = |\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} - 1| = |\sqrt{{(x - 2)}^{2}} - 1| = ||x - 2| - 1|$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ . Aby narysować wykres funkcji $f$ należy wykonać kolejno następujące przekształcenia:

niech $f_{1} (x) = |x|$ ,

$f_{2} (x) = f_{1} (x - 2) = |x - 2|$ , wykres funkcji $f_{2}$ powstaje w wyniku działania translacji o wektor $\vec{u} = [2, 0]$ wykresu funkcji $f_{1}$

$f_{3} (x) = f_{2} (x) + (- 1) = |x - 2| - 1$ , wykres funkcji $f_{3}$ powstaje w wyniku działania translacji o wektor $\vec{v} = [0, - 1]$ wykresu funkcji $f_{2}$ ,

$f_{4} (x) = f (x) = |f_{3} (x)| = ||x - 2| - 1|$ , na koniec wykres funkcji $f_{3}$ , który znajduje się pod osią $X$ , odbijamy względem osi $X$ nad oś $X$ .

R1JJ6CCUpg4jx

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx, który otrzymano dokonując odpowiednich przekształceń. Kolejno. Narysowano wykres funkcji f1x, który stanowią dwie ukośne. Pierwsza biegnie od minus nieskończoności przez punkt -3;3 do punktu 0;0. Druga prosta biegnie od punktu 0;0 przez punkt 3;3 do plus nieskończoności. Następnie wykres funkcji f1x przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi X i otrzymano wykres funkcji f2x. Zatem wykres funkcji f2x biegnie od minus nieskończoności przez -1;3 do 2;0 a następnie od 2;0 przez 5;3 do plus nieskończoności. Następnie wykres funkcji f2x przesunięto o jedną jednostkę w dół wzdłuż osi Y i otrzymano wykres funkcji f3x. Zatem wykres funkcji f3x biegnie od minus nieskończoności przez -1;2 do 2;-1, a następnie od 2;-1 przez 5;2 do plus nieskończoności. Wykres funkcji f4x otrzymano poprzez odbicie części wykresu f3x znajdującej się pod osią X, nad oś X. Zatem wykres funkcji f4x biegnie od minus nieskończoności przez -1;2 do 1;0, następnie od 1;0 do 2;1, a następnie od 2;1 do 3;0, po czym od 3;0 biegnie do plus nieskończoności przez punkt 5;2.

Przykład 7

Naszkicujemy wykres funkcji $f (x) = |- \sqrt{- x} + 2|$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D = (- \infty, 0⟩$ . Aby naszkicować wykres funkcji $f$ należy wykonać kolejno następujące przekształcenia:

niech $f_{1} (x) = \sqrt{x}$

$f_{2} (x) = f_{1} (- x) = \sqrt{- x}$ , $S_{Y}$ symetria osiowa

$f_{3} (x) = - f_{2} (x) = - \sqrt{- x}$ , $S_{X}$ symetria osiowasymetria osiowasymetria osiowa

$f_{4} (x) = f_{3} (x) + 2 = - \sqrt{- x} + 2$ , translacja o wektor $[0, 2]$

$f_{5} (x) = |f_{4} (x)| = f (x) = |- \sqrt{- x} + 2|$ , odbicie symetrycznie tej części wykresu, która jest pod osią $X$ nad oś $X$ względem osi $X$ .

R18bZrfbuIu78

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 12 do 4 oraz pionową osią Y od minus 4 do pięć. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f5, który otrzymano dokonując przekształceń wykresu f1. Wykres funkcji f1 biegnie od początku układu współrzędnych, po łuku przez punkt 4;2 do plus nieskończoności. Wykres funkcji f2 stanowi symetryczne odbicie wykresu funkcji f1 względem osi Y, zatem biegnie od minus nieskończoności, przez punkt -4;2 do początku układu współrzędnych. Wykres funkcji f3 stanowi symetryczne odbicie wykresu funkcji f2 względem osi X. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkt -4;-2 do początku układu współrzędnych. Wykres funkcji f4 stanowi przesunięcie wykresu f3 o dwie jednostki w górę względem osi Y. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkty -9;-1 oraz -4;0 do punktu 0;2. Wykres funkcji f5 stanowi symetryczne odbicie części wykresu f4, znajdującej się pod osią X, nad oś X. Biegnie zatem od minus nieskończoności, przez punkt -9;1 do punktu -4;0.

Wiemy już jak składanie konkretnych funkcji wpływa na ich wykresy. Zastanówmy się, jak zmienia się położenie punktów przy składaniu funkcji.

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ wykładniczej oraz funkcji $g$ pierwiastka kwadratowego. Posługując się wykresami wyznaczymy punkt $E (2, (g \circ f) (2))$ .

R1FvqKiAd5vpr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do jedenastu oraz pionową osią Y od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano czerwony wykres funkcji f oraz niebieski wykres funkcji g. Wykres funkcji f biegnie od minus nieskończoności, wypłaszczony do osi X, następnie odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności niemal pionowo w górę, przez punkty 0;2 oraz 2;8. Wykres funkcji g biegnie od początku układ współrzędnych do plus nieskończoności, przez punkty 4;2 oraz 9;3.

Rozwiązanie:

Znajdujemy obraz argumentu $x = 2$ w przekształceniu funkcją $f$ czyli $f (2)$ . Wartość ta staje się argumentem funkcji $g$ . W przekształceniu elementu $f (2)$ funkcją $g$ otrzymujemy wartość $g (f (2))$ . W konsekwencji szukany punkt to $E (2, g (f (2)))$ , który jest punktem krzywej o równaniu $y = g (f (x))$ , niewidocznej na tym rysunku.

R1HMML0Tlify7

Słownik

translacja

przesunięcie równoległe $T_{\vec{u}}$ o wektor $\vec{u}$ jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje taki punkt $A^{'}$ , że $\vec{A A^{'}} = \vec{u}$

symetria osiowa

symetrią osiową $S_{l}$ względem prostej $l$ , zwaną osią symetrii, jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A^{'}$ taki, że:

jeżeli $A \in l$ , to $S_{l} (A) = A$ ,

jeżeli $A \notin l$ , to prosta $l$ jest symetralną odcinka $A A^{'}$

symetria środkowa

symetrią środkową $S_{O}$ względem punktu $O$ jest przekształceniem płaszczyzny (przestrzeni), które dowolnemu punktowi $A$ przyporządkowuje taki punkt $A^{'}$ , że punkt $O$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik