Metoda stycznych

Metoda stycznych to algorytm numeryczny wyznaczający przybliżoną wartość miejsca zerowego funkcji z pewną dokładnością. Innym algorytmem, który można wykorzystać do wyznaczenia przybliżonej wartości miejsca zerowego funkcji jest algorytm bisekcji, który omówiono w e‑materiale Algorytmy numeryczne i przybliżonePdzAH5eTwAlgorytmy numeryczne i przybliżone.

1. Działanie metody rozpoczyna się od wskazania punktu startowego $x_1$, będącego pierwszym przybliżeniem miejsca zerowego. Punkt ten wybieramy z przedziału $[a, b]$, w którym będzie znajdowało się dokładnie jedno miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe funkcji.

2. Następnym krokiem jest wyznaczenie kolejnego przybliżenia $x_2$, które jest współrzędną $x$ punktu przecięcia stycznej do wykresu funkcji $f(x)$ w punkcie $x_1$ z osią $OX$. Przybliżenie to wyznaczamy według następującego wzoru:

gdzie:

• $x_1$ – punkt startowy; przybliżona wartość miejsca zerowego funkcji $f\left(x\right)$ w przedziale $[a, b]$;

• $x_2$ – przybliżona wartość miejsca zerowego funkcji $f\left(x\right)$ w przedziale $[a, b]$; punkt przecięcia stycznej do wykresu funkcji $f(x)$ w punkcie $x_1$ z osią $OX$;

• $f\left(x_1\right)$ – wartość funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_1$;

• $f\text{'}\left(x_1\right)$ – pochodna funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_1$.

Styczna jest geometryczną interpretacją pochodnej (więcej na ten temat znajdziesz między innymi w e‑materiałach Interpretacja geometryczna pochodnejP1Gw5Gpw2Interpretacja geometryczna pochodnej oraz Pochodna funkcji w punkciePlXFy9xdHPochodna funkcji w punkcie).

3. Jeżeli:

   • różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami $x_1$ i $x_2$ jest mniejsza lub równa wybranej dokładności $\epsilon$ lub

   • wartość funkcji w punkcie $x_2$ jest bliska 0,

kończymy algorytm z wynikiem – przybliżoną współrzędną miejsca zerowego funkcji jest $x_2$ z dokładnością $\epsilon$. W przeciwnym wypadku wartość $x_2$ staje się nowym punktem startowym ($x_1$) i wracamy do kroku drugiego.

Implementacja algorytmu w języku C++

Napiszmy program realizujący algorytm wyznaczania miejsca zerowego funkcji $f(x)$ w przedziale $[1,3]$ z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Na początek dołączamy niezbędne biblioteki. W trakcie pisania programu będziemy korzystali z funkcji fabs umożliwiającej obliczenie wartości bezwzględnejwartość bezwzględnawartości bezwzględnej wyrażenia. Dołączamy bibliotekę cmathcmathcmath, dzięki której będziemy mogli użyć tej funkcji.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

Tworzymy definicję funkcji o nazwie funkcja. Jej rolą jest obliczenie i zwrócenie wartości analizowanej funkcji w punkcie x zgodnie z wcześniej podanym wzorem.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

W programie zdefiniujemy kolejną funkcję będącą pochodną funkcji, której miejsce zerowe chcemy wyznaczyć. Pochodna funkcji $f(x)$ ma następujący wzór:

W programie nadajemy jej nazwę pochodna.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

Możemy przejść do zdefiniowania funkcji realizującej kolejne przybliżenia. Jej przyjmowanymi parametrami są: punkt startowy xIndeks dolny 11 wartość błędu bezwzględnego ex oraz dokładność ey, czyli maksymalna różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami, przy której możemy zakończyć algorytm.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
}

Tworzymy zmienną xIndeks dolny 22 typu double. To w niej będą przechowywane kolejne przybliżenia. Na początek przypisujemy jej wartość xIndeks dolny 11.

W pętli do..while przypisujemy zmiennej x1 wartość x2. W tym momencie wartość zapisana w zmiennej xIndeks dolny 22 staje się nowym punktem startowym. Następnie zgodnie z przedstawionym wcześniej wzorem obliczamy miejsce zerowe i zapisujemy do zmiennej x2. Jeżeli różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami (wartość bezwzględna, którą obliczamy funkcją fabs()) jest większa od dokładności przyjmowanej jako parametr, przechodzimy na początek pętli i ponawiamy obliczenia. W przeciwnym wypadku wychodzimy z pętli i na koniec zwracamy wartość zmiennej x2, czyli przybliżoną wartość miejsca zerowego funkcji. Wykonywanie pętli kończymy również w przypadku, gdy wartość funkcji dla podanego argumentu jest mniejsza lub równa dokładności, oznacza to również, że znaleźliśmy miejsce zerowe z zadowalającą dokładnością.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
	double x2 = x1;

	do {
		x1 = x2;
		x2 = x1 - funkcja(x1) / pochodna(x1);
	} while (fabs(x2 - x1) > ex && funkcja(x2) > ey);

	return x2;
}

Na koniec w głównej funkcji programu main() wywołujemy funkcję metodaStycznych z punktem startowym 3 i przybliżeniem oraz błędem bezwzględnym równymi 0,001. Wynik tego wywołania, pomnożony przez 1000, zapisujemy w zmiennej typu całkowitego przyblizenie. Dzięki temu wynik zostanie zaokrąglony do części całkowitej i w momencie, gdy do zmiennej wynik zapiszemy przybliżenie podzielone przez 1000, otrzymamy zaokrąglenie do części tysięcznej.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
	double x2 = x1;

	do {
		x1 = x2;
		x2 = x1 - funkcja(x1) / pochodna(x1);
	} while (fabs(x2 - x1) > ex && funkcja(x2) > ey);

	return x2;
}

int main() {
	int przyblizenie = metodaStycznych(3, 0.0001, 0.0001) * 1000;
	double wynik = przyblizenie / 1000.0;

	cout << wynik << endl;

	return 0;
}

Wynikiem przedstawionego programu i jednocześnie miejscem zerowym funkcji$f\left(x\right)=x^3-5x$ w przedziale $[1, 3]$ jest $x = 2,236$.

Pamiętaj, że zbieżnośćzbieżnośćzbieżność nie zawsze musi zachodzić. Jeżeli źle dobierzemy punkt startowy, algorytm stycznej nie zwróci wyniku. W takim wypadku program może np. nigdy się nie kończyć, ponieważ w każdej iteracji będzie  się oddalał od znalezienia miejsca zerowego.

Słownik