Narysujemy wykres funkcji $y=\left|x-1\right|$.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $y=\left|x-1\right|$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $a$wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

$\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla} x-1\ge 0\\ -\left(x-1\right)& \text{dla} x-1<0\end{array}\right.$,

czyli

$\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla} x-1\ge 0\\ -x+1& \text{dla} x-1<0\end{array}\right.$.

Wykres funkcji $y=\left|x-1\right|$ składa się z dwóch wykresów, dwóch funkcji liniowych: $y=x-1$, gdy $x\in \left.⟨1,\infty \right)$ oraz $y=-x+1$, gdy $x\in \left(-\infty ,1\right)$.

Pokażemy etapy otrzymania wykresu funkcji $y=\left|x-1\right|$.

1. Rysujemy wykres funkcji $y=x-1$ dla $x\in \left.⟨1,\infty \right)$.

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y=x-1$.

Dla $x=1$ mamy: $y=1-1=0$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(1,0\right)$.
Dla $x=2$ mamy: $y=2-1=1$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(2,1\right)$.

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą, ograniczając się do przedziału $\left.⟨1,\infty \right)$.

R1Mqa6dFRxBZN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie znajduje się strzałka, która wskazuje na punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Strzałka znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i jest skierowana do osi X pod kątem ostrym.

2. Rysujemy wykres funkcji $y=-x+1$, gdy $x\in \left(-\infty ,1\right)$.

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y=-x+1$.

Dla $x=0$ mamy: $y=-0+1=1$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(0,1\right)$.
Dla $x=-1$ mamy: $y=-\left(-1\right)+1=2$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(-1,2\right)$.

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą ograniczając się do przedziału $\left(-\infty ,1\right)$.

R1W4P2VgGrFxv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie znajduje się strzałka, która wskazuje na punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Strzałka znajduje się w drugiej i pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji $y=\left|x-1\right|$ jest sumą obu wykresów:

R1IR1fJG5IQXB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=\left|x-1\right|$. Wykres ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a jej lewy bok przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Możemy zauważyć, że wykres funkcji $y=\left|x-1\right|$ składa się z wykresu funkcji $y=x-1$ położonego nad lub na osi $X$ oraz obrazu w symetrii względem osi $X$ tej części wykresu, która jest położona pod osią $X$:

R1Ud4OwK4aR2q

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=\left|x-1\right|$. Wykres ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a jej lewy bok przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Prawe ramię wykresu zostało przedłużone linią przerywaną i przechodzi przez punkt nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Mając dany wykres funkcji $y=\left(x-2\right)x$, narysujemy wykres funkcji $y=\left|\left(x-2\right)x\right|$, a następnie odczytamy z wykresu dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartościzbiór wartości i miejsca zerowe funkcji $y=\left|\left(x-2\right)x\right|$.

R1INrcrtjRNKk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=\left(x-2\right)x$. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, jej lewe ramię przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu funkcji $y=\left(x-2\right)x$ znajdującą się pod osią $X$.

Wykres funkcji $y=\left|\left(x-2\right)x\right|$ jest sumą wykresu funkcji $y=\left(x-2\right)x$, położonego nad lub na osi $X$ oraz obrazu w symetrii względem osi $X$ części wykresu funkcji $y=\left(x-2\right)x$, położonego pod osią $X$:

R1App1P17PZ9H

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=\left|\left(x-2\right)x\right|$. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej znów po łuku biegnie do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu.

Z wykresu funkcji $y=\left|\left(x-2\right)x\right|$ możemy odczytać następujące własności:

• dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych: $D_f=\mathrm{ℝ}$,

• zbiorem wartości funkcji jest zbiór: $Z{W}_f={\mathrm{ℝ}}_{+}\cup \left\{0\right\}$,

• funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x_1=0$ i $x_2=2$.

Określimy dziedzinę funkcji $y=\sqrt{x^2-6x+9}$.

Rozwiązanie:

Funkcja $y=\sqrt{f\left(x\right)}$ jest określona dla $f\left(x\right)\ge 0$.

Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem może przyjmować tylko wartości nieujemne.

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem możemy zapisać następująco: $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$, stąd $y=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}$. Korzystając z własności $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, możemy zapisać: $y=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|$. Ponieważ $\left|x-3\right|\ge 0$, to dziedziną funkcji $y=\sqrt{x^2-6x+9}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Narysujemy wykres funkcji $y=\sqrt{0,25x^2+x+1}$.

Rozwiązanie:

Aby narysować wykres funkcji $y=\sqrt{0,25x^2+x+1}$, wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy następująco: $0,25x^2+x+1={\left(0,5x+1\right)}^2$.

Korzystając z własności $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, możemy zapisać: $y=\sqrt{0,25x^2+x+1}=\left|0,5x+1\right|$. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wykres funkcji $y=\left|0,5x+1\right|$ otrzymamy opierając się na wykresie funkcji $y=0,5x+1$. Szkicujemy wykres funkcji $y=0,5x+1$.

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y=0,5x+1$.

Dla $x=0$ mamy: $y=0,5·0+1=1$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(0,1\right)$.
Dla $x=2$ mamy: $y=0,5·2+1=2$, czyli do wykresu funkcji należy punkt $\left(2,2\right)$.

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą $y=0,5x+1$.

RWQlWRytU6VBT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=0,5x+1$, wykres ma kształt ukośnej prostej, która przecina oś x w punkcie nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Teraz odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu znajdującą się pod osią $X$, a część wykresu, która leży nad lub na osi $X$, pozostawiamy bez zmiany.

Otrzymujemy wykres funkcji $y=\sqrt{0,25x^2+x+1}$.

R1H4DXUdCVmU5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu $y=\left|0,5x+1\right|$. Wykres ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Opierając się na wykresie funkcji $y=\left|x\right|$ narysujemy wykres funkcji $y=\left|x-2\right|$.

R8cLfTuqPCoPG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji,pierwszy z nich o równaniu $y=\left|x\right|$, wykres ten został namalowany linią przerywaną i ma kształt litery V, wierzchołek tedo wykresy znajduje się w środku układu współrzędnych. Drugi wykres ma równanie $y=\left|x-2\right|$, on również ma kształt litery V , jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, a jego lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu. Od wykresu $y=\left|x\right|$ do wykresu $y=\left|x-2\right|$ prowadzą poziome strzałki.

Widzimy, że wykres funkcji $y=\left|x-2\right|$ otrzymamy przesuwając wykres funkcji $y=\left|x\right|$ o dwie jednostki w prawo.

Opierając się na wykresie funkcji $y=\left|x\right|$ narysujemy wykres funkcji $y=\left|x+3\right|$.

RjKNpYkBuRL4S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji,pierwszy z nich o równaniu $y=\left|x\right|$, wykres ten został namalowany linią przerywaną i ma kształt litery V, wierzchołek tedo wykresy znajduje się w środku układu współrzędnych. Drugi wykres ma równanie $y=\left|x+3\right|$, on również ma kształt litery V , jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, a jego prawe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Od wykresu $y=\left|x\right|$ do wykresu $y=\left|x+3\right|$ prowadzą poziome strzałki.

Widzimy, że wykres funkcji $y=\left|x+3\right|$ otrzymamy przesuwając wykres funkcji $y=\left|x\right|$ o trzy jednostki w lewo.

liczba $a$, jeśli $a$ jest liczbą dodatnią lub zerem oraz liczba przeciwna, czyli $\left(-a\right)$, jeśli $a$ jest liczbą ujemną

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$, dla których funkcja $f\left(x\right)$ jest określona

wszystkie wartości, które może przybierać zmienna zależna $y$ danej funkcji $f\left(x\right)$