Przeczytaj
Rozwiążemy nierówność .
Najpierw skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.
1. Jeśli , nierówność przyjmuje postać .
Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek: i .
![Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami: minus dwa oraz minus dwie trzecie. Na osi zaznaczone są dwa nachodzące na siebie przedziały: pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus dwóch trzecich oraz drugi lewostronnie domknięty od minus dwóch do plus nieskończoności.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R17nzFSlMsXyQ/1645453722/4WcCK5Uj7G3M5rEBMne7BTeRjGbLABEJ.png)
Czyli .
2. Jeśli , nierówność przyjmuje postać .
Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek: i .
![Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami: minus sześć oraz minus dwa. Na osi zaznaczone są dwa nachodzące na siebie przedziały: pierwszy otwarty od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi lewostronnie domknięty od minus sześciu do plus nieskończoności.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RIrN3ZDulk2aJ/1645453722/UrsGdwkiBQcW0cBrf7wHhOMQlwEROlp5.png)
Czyli .
Zatem zbiór rozwiązań tworzą wszystkie liczby x takie, że .
Rozwiążemy nierówność .
Postąpimy analogicznie, jak w przypadku, gdy opuszczamy wartość bezwzględną liczby rzeczywistejwartość bezwzględną liczby rzeczywistej . Otrzymujemy:
lub
lub
Zajmiemy się rozwiązaniem pierwszej nierówności .
lub
lub
Następnie rozwiązujemy nierówność .
i
i
Rozwiązaniem nierówności jest alternatywa rozwiązań obu nierówności.
Zatem .
Rozwiążemy nierówność .
Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
i
Rozwiązując pierwszą nierówność otrzymujemy tożsamość, ponieważ dla dowolnego .
Rozwiążemy teraz drugą nierówność.
lub
Ponieważ rozwiązaniem jest koniunkcja rozwiązań obu nierówności zatem: .
Zbadamy, dla jakich wartości parametru nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą .
Aby nierówność z wartością bezwzględną była spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą musi zachodzić warunek:
Zatem nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy .
Rozwiążemy nierówność kwadratową , wykorzystując własności wartości bezwzględnej.
Do obu stron nierówności dodamy liczbę .
Lewą stronę nierówności możemy zapisać jako kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
Stąd otrzymujemy:
Zatem .