Rozwiążemy nierówność $\left|2x+4\right|+x\le 2$.

Najpierw skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

$\left|2x+4\right|=\left\{\begin{array}{ll}2x+4& \mathrm{dla} x\ge -2\\ -\left(2x+4\right)& \mathrm{dla} x<-2\end{array}\right.$

1. Jeśli $x\ge -2$, nierówność przyjmuje postać $2x+4+x\le 2$.

$3x\le -2$

$x\le -\frac{2}{3}$

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających  warunek: $x\ge -2$ i $x\le -\frac{2}{3}$.

R17nzFSlMsXyQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami: minus dwa oraz minus dwie trzecie. Na osi zaznaczone są dwa nachodzące na siebie przedziały: pierwszy prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus dwóch trzecich oraz drugi lewostronnie domknięty od minus dwóch do plus nieskończoności.

Czyli $x\in ⟨-2, -\frac{2}{3}⟩$.

2. Jeśli $x<-2$, nierówność przyjmuje postać $-\left(2x+4\right)+x\le 2$.

$-2x-4+x\le 2$

$-x\le 6$

$x\ge -6$

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających  warunek: $x<-2$ i $x\ge -6$.

RIrN3ZDulk2aJ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami: minus sześć oraz minus dwa. Na osi zaznaczone są dwa nachodzące na siebie przedziały: pierwszy otwarty od minus nieskończoności do minus dwóch oraz drugi lewostronnie domknięty od minus sześciu do plus nieskończoności.

Czyli $x\in \left.⟨-6, -2\right)$.

Zatem zbiór rozwiązań tworzą   wszystkie liczby x takie, że $x\in ⟨-6,-\frac{2}{3}⟩$.

Rozwiążemy nierówność $\left|\left|x-2\right|-5\right|>2$.

Postąpimy analogicznie, jak w przypadku, gdy  opuszczamy  wartość bezwzględną liczby rzeczywistejwartość bezwzględna liczby rzeczywistejwartość bezwzględną liczby rzeczywistej . Otrzymujemy:

$\left|x-2\right|-5>2$ lub $\left|x-2\right|-5<-2$

$\left|x-2\right|>7$ lub $\left|x-2\right|<3$

Zajmiemy się rozwiązaniem pierwszej nierówności $\left|x-2\right|>7$.

$x-2>7$ lub $x-2<-7$

$x>9$ lub $x<-5$

$x\in \left(-\infty , -5\right)\cup \left(9, \infty \right)$

Następnie rozwiązujemy nierówność $\left|x-2\right|<3$.

$x-2<3$ i $x-2>-3$

$x<5$ i $x>-1$

$x\in \left(-1, 5\right)$

Rozwiązaniem nierówności $\left|\left|x-2\right|-5\right|>2$ jest alternatywa rozwiązań obu nierówności.

Zatem $x\in \left(-\infty , -5\right)\cup \left(-1, 5\right)\cup \left(9, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $\left|\left|x\right|-3\right|<\left|x\right|+1$.

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\left|x\right|-3<\left|x\right|+1$ i $\left|x\right|-3>-\left|x\right|-1$

Rozwiązując pierwszą nierówność otrzymujemy tożsamość, ponieważ $-3<1$ dla dowolnego $x$.

Rozwiążemy teraz drugą nierówność.

$\left|x\right|-3>-\left|x\right|-1$

$2·\left|x\right|>2$

$\left|x\right|>1$

$x>1$ lub $x<-1$

$x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(1, \infty \right)$

Ponieważ rozwiązaniem jest koniunkcja rozwiązań obu nierówności zatem: $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(1, \infty \right)$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $|x-\sqrt{3}|>3-4m$ jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $x$.

Aby nierówność z wartością bezwzględną była spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą musi zachodzić warunek:

$3-4m<0$

$-4m<-3$

$m>\frac{3}{4}$

Zatem nierówność jest  spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy    $m\in \left(\frac{3}{4}, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność kwadratową $4x^2-12x+5<0$, wykorzystując własności wartości bezwzględnej.

$4x^2-12x+5<0$

Do obu stron nierówności dodamy liczbę $4$.

$4x^2-12x+9<4$

Lewą stronę nierówności możemy zapisać jako kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

${\left(2x-3\right)}^2<4$

Stąd otrzymujemy:

$\left|2x-3\right|<2$

$-2<2x-3<2$

$1<2x<5$

$\frac{1}{2}<x<2\frac{1}{2}$

Zatem  $x\in \left(\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}\right)$.

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{ll}a& \mathrm{dla} a\ge 0\\ -a& \mathrm{dla} a<0\end{array}\right.$