Przeczytaj
O polu trójkąta inaczej
Przez pierwsze lata edukacji na pole trójkąta patrzyliśmy tylko przez pryzmat podstawy i wysokości opuszczonej na te podstawę. Wprowadzenie pojęcia funkcji trygonometrycznej pozwoliło „odkryć” wzór, w którym pole jest wyrażone przez długości dwóch boków trójkąta i sinus kąta leżącego między tymi bokami. Czas na „coś” nowego.
Rozważmy trójkąt, którego boki mają długości: , a wysokość poprowadzona na bok ma długość . Wtedy oczywiście . Przypuśćmy jednak, że mamy dane długości boków, a zamiast jednej z wysokości, znamy promień okręgu opisanego na tym trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie, który jest równy . Jak zatem policzyć pole? Popatrzmy na rysunek.
Wiemy oczywiście, że , czyli .
Ale z twierdzenia sinusów wynika, że , stąd .
Wysokość jest więc równa ,
a pole: .
Analizując podane niżej twierdzenia, dowiesz się, że pewne zależności są prawdziwe dla dowolnego trójkąta, a tym samym poznasz kolejne wzory pozwalające obliczać pole trójkąta.
Jak znajomość promienia okręgu opisanego na danym trójkącie może pomóc w obliczeniu jego pola?
Pole trójkąta o bokach długości , wpisanego w okrąg o promieniu , wyraża się wzorem .
Wiemy, że , gdzie jest kątem leżącym między bokami i , naprzeciw boku . Ale z twierdzenia sinusów wynika, że , zatem .
Co należało udowodnić.
W praktyce szkolnej rzadko będziemy korzystali z tego wzoru w celu obliczenia pola trójkąta. Wiemy, że trzy boki jednoznacznie wyznaczają trójkąt, a tym samym jego pole. Tak więc nie ma potrzeby sięgać po promień okręgu opisanego na danym trójkącie, a samo pole można obliczyć korzystając chociażby ze wzoru Herona. Wzór ten częściej jest wykorzystywany w sytuacji, gdy znamy pole i boki trójkąta, a szukamy promienia okręgu opisanego. Popatrzmy na poniższy prosty przykład.
Oblicz pole koła opisanego na trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość , a ramiona .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość tego trójkąta poprowadzoną na podstawę: . Zatem pole trójkąta jest równe . Korzystając ze wzoru , możemy zapisać, że . Zatem pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe .
W trójkącie kąty mają miary , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość . Pole trójkąta wyraża się wtedy wzorem .
Wiemy już, że . Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać, że , oraz . Zatem . Stąd teza.
Oczywiście miary kątów nie stanowią cechy przystawania trójkątów, a jedynie pozwalają badać podobieństwo figur. Jeśli znamy jednak promień okręgu opisanego na trójkącie o danych kątach, to „skalując w wyobraźni” nasz trójkąt zauważymy, że istnieje tylko jeden, którego kąty będą miały określoną miarę i który będzie wpisany w dany okrąg. Tym samym jego pole będzie możliwe do obliczenia. Popatrzmy na przykład.
W okrąg o promieniu 12 wpisano trójkąt, którego dwa kąty mają miary odpowiednio równe oraz . Oblicz pole tego trójkąta.
Ponieważ trzeci z kątów trójkąta ma miarę , więc możemy zapisać, że . Tym samym pole trójkąta zostało wyznaczone. Można skorzystać z wartści przybliżonej sinusa dla kąta o mierze lub odczytać w dostępnych źródłach (obliczyć, korzystając ze wzoru na sinus sumy argumentów), że . Wtedy .
Słownik
okrąg, do którego należą trzy wierzchołki danego trójkąta jest okręgiem opisanym na tym trójkącie; mówimy wtedy, że trójkąt jest wpisany w okrąg