Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Przeanalizuj wyprowadzenia wzorów opisane w galerii zdjęć interaktywnych. Zauważ, że wzór P△=12·b·c·sinα został wyprowadzony dwukrotnie, przy wykorzystaniu różnych wysokości poprowadzonych w danym trójkącie. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości poprowadzonej na ten bok, uzasadnij, że prawdziwy jest także wzór P△=12·a·b·sinγ.

1
RgWQ42XVRBiaO
Ilustracja pierwsza: Rozważmy trójkąt wpisany w okrąg i przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Zatem mamy trójkąt o wierzchołkach A B C, z wierzchołka C na podstawę AB opuszczono wysokość, którą podpisano literą h. Kąt BAC podpisano literą alfa. Długość odcinka AB oznaczono jako c. Długość odcinka AC odznaczono jako b, długość odcinka BC oznaczono jako a oraz długość odcinka CD oznaczono jako h. Promień okręgu podpisano literą R.
RZ5LDg39kVwbP
Ilustracja druga: Punktem wyjścia do naszych rozważań będzie „podstawowy wzór” pozwalający obliczyć pole trójkąta. Na rysunku znajduje się trójkąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A B C, z wierzchołka C na podstawę AB opuszczono wysokość, którą podpisano literą h. Odcinek AB podpisano literą c. Odcinki h oraz c wyróżniono kolorem. Obok rysunku znajduje się wzór: P△=12c⋅h.
R17whLgEjWP1W
Ilustracja trzecia również przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A B C, z wierzchołka C na podstawę AB opuszczono wysokość, którą podpisano literą h. Wysokość upuszczona jest na punkt D należący do boku AB, czyli jest ona odcinkiem C D. Odcinek AB podpisano literą c. Odcinki h oraz b wyróżniono kolorem. Kąt B A C podpisano literą alfa. Obok znajduje się zapis: Znajomość trygonometrii prowadzi do wyznaczenia wzoru na pole trójkąta, w którym „niepotrzebna” jest wysokość. Skorzystamy z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym, zatem mamy sinα=hb, czyli h=b×sinα. Wyznaczając wielkość h z zapisanej powyżej równości i podstawiając do „znanego” wzoru na pole uzyskujemy wzór, w którym pole jest funkcją długości dwóch boków trójkąta i sinusa kąta leżącego między tymi bokami. Zatem P△=12c⋅h=12c⋅b⋅sinα==12c⋅b⋅sinα.
RLyVq75O0hwE2
Ilustracja czwarta przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A B C, z wierzchołka C na podstawę AB opuszczono wysokość do punktu D. Wysokość jest zatem odcinkiem C D o długości h. Odcinek BC podpisano literą a. Odcinki h oraz a wyróżniono kolorem. Kąt A B D podpisano literą beta. Zauważmy, że korzystając z definicji funkcji sinus dla kąta β otrzymujemy analogiczny wzór, w którym pole jest funkcją długości innej pary boków i sinusa kąta między tymi bokami. Zatem mamy sinβ=ha czyli h=a×sinβ. Zatem pole obliczymy w następujący sposób: P△=12c⋅h=12c⋅a⋅sinβ=12c⋅a⋅sinβ.
R9H9mlsJBMSCm
Ilustracja piąta również przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o wierzchołkach A B C, z wierzchołka B na upuszczono wysokość h indeks dolny b na bok A C oznaczony literą b. Odcinek AB podpisano literą c. Odcinki h oraz c wyróżniono kolorem. Kąt B A C podpisano literą alfa. Obok rysunku znajduje się zapis: Prowadząc wysokość na bok b możemy łatwo wyprowadzić „trzecią wersję” wzoru, który pole trójkąta uzależnia od długości boków i sinusa kąta. Zatem sinα=hbc, czyli hb=c⋅sinα. Wzór na pole jest następujący: P∆=12b⋅hb=12b⋅c⋅sinα=12b⋅c⋅sinα.
RY1Iwi2o2Mik1
Ilustracja szósta przedstawia trójkąt. Trójkąt jest wpisany w okrąg o promieniu R. Boki trójkąta podpisano literami a b c. Bok a wyróżniono kolorem. Kąt pomiędzy bokiem b i c podpisano literą alfa. Obok rysunku znajduje się zapis: Okazuje się, że promień okręgu opisanego na trójkącie jest wielkością, która pozwala w inny sposób obliczać pole trójkąta. Bazą będą wzory uzależniające pole trójkąta od długości boków i sinusa kąta, a narzędziem prowadzącym do uzyskania szukanej zależności, od którego zaczniemy, będzie twierdzenie sinusów. asinα=2R oraz sinα=a2R.
1

1. Okazuje się, że promień okręgu opisanego na trójkącie jest wielkością, która pozwala w inny sposób obliczać pole trójkąta. Bazą będą wzory uzależniające pole trójkąta od długości boków i sinusa kąta, a narzędziem prowadzącym do uzyskania szukanej zależności, od którego zaczniemy, będzie twierdzenie sinusów.{audio}

RphQGsB7h6TqS
Ilustracja siódma przedstawia trójkąt. Trójkąt jest wpisany w okrąg o promieniu R. Boki trójkąta podpisano literami a b c. Boki a i b wyróżniono kolorem. Kąt pomiędzy bokiem b i c podpisano literą alfa. Obok rysunku znajduje się zapis: Wiemy już, że P△=12c·b·sinα oraz sinα=a2R. Możemy wyprowadzić i zapisać kolejny wzór, w którym pole trójkąta jest funkcją długości wszystkich jego boków i długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. P△=12c⋅b⋅sinα=12c⋅b⋅a2R czyli P△=abc4R.
1

1. Wiemy już, że P∆=12c·b·sinα oraz sinα=a2R. Możemy wyprowadzić i zapisać kolejny wzór, w którym pole trójkąta jest funkcją długości wszystkich jego boków i długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.{audio}

RsI5cSUAC4xic
Ilustracja ósma przedstawia trójkąt. Trójkąt jest wpisany w okrąg o promieniu R. Boki trójkąta podpisano literami a b c. Kąt pomiędzy bokiem b i c podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy bokiem c i a podpisano literą beta. Kąt pomiędzy bokiem a i b podpisano literą gamma. Obok rysunku znajduje się zapis: Korzystając raz jeszcze z „potężnego narzędzia”, jakim jest twierdzenie sinusów, wyprowadzimy wzór, w którym pole trójkąta będzie funkcją długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i sinusów każdego z kątów trójkąta. Zatem asinα=2R, czyli a=2R⋅sinα oraz bsinβ=2R, czyli b=2R⋅sinβ, oraz csinγ=2R, czyli c=2R⋅sinγ.
1

1. Korzystając raz jeszcze z „potężnego narzędzia”, jakim jest twierdzenie sinusów, wyprowadzimy wzór, w którym pole trójkąta będzie funkcją długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i sinusów każdego z kątów trójkąta.{audio}

RliXvwBbiz8FT
Ilustracja dziewiąta przedstawia trójkąt. Trójkąt jest wpisany w okrąg o promieniu R. Boki trójkąta podpisano literami a b c. Kąt pomiędzy bokiem b i c podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy bokiem c i a podpisano literą beta. Kąt pomiędzy bokiem a i b podpisano literą gamma. Obok rysunku znajduje się zapis: Czas na wyprowadzenie zapowiadanego wzoru. Jego postać znajdziecie w dostępnej na maturze karcie wzorów, choć jego wykorzystanie w praktyce szkolnej jest niezbyt częste. P△=abc4R=2R⋅sinα⋅2R⋅sinβ⋅2R⋅sinγ4R=8R3⋅sinα⋅sinβ⋅sinγ4R=2R2⋅sinα⋅sinβ⋅sinγ, zatem P△=2R2⋅sinα⋅sinβ⋅sinγ.
1

1. Czas na wyprowadzenie zapowiadanego wzoru. Jego postać znajdziecie w dostępnej na maturze karcie wzorów, choć jego wykorzystanie w praktyce szkolnej jest niezbyt częste.{audio}

Polecenie 2

Korzystając ze wzoru P△=12·b·c·sinα i twierdzenia sinusów wykaż, że prawdziwy jest także wzór P△=12·a·b·sinγ.

Polecenie 3

Rozstrzygnij, czy w dowolnym trójkącie prawdziwy jest wzór P△=c·R·sinα·sinβ.

Przeczytaj
Sprawdź się