Przeczytaj
Nierównością wielomianową stopnia nazywamy każdą nierówność postaci:
lub lub lub ,
gdzie:
– jest wielomianem stopnia .
Aby rozwiązać nierówność wielomianową, postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw można np. rozłożyć wielomian na czynniki i obliczyć jego pierwiastki.
Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne lub ujemne lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków” lub metodą graficzną określamy znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach.
Rozwiążemy nierówność metodą „siatki znaków”.
Lewa strona nierówności jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej
.
Wielomian posiada trzy pierwiastki , , .
Narysujemy tabelę, znaną jako „siatka znaków”.
W pierwszej kolumnie zapisujemy czynniki wielomianu, a w pierwszym wierszu zapisujemy przedziały liczbowe, które są wyznaczone przez pierwiastki wielomianu.
W kolumnach zapisujemy znaki przyjmowane w poszczególnych przedziałach przez odpowiednie sumy algebraiczne.
Ostatni wiersz tabeli to znaki wielomianu.
Zbiór rozwiązań nierówności to .
Rozwiążemy nierówność , wykorzystując wykres funkcji wielomianowej.
Niech .
Funkcja ma trzy pojedyncze miejsca zerowe , , .
Aby wykonać szkic wykresu funkcji, zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe.
Wykres rozpoczynamy od prawej strony i od góry, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej jest dodatni .
Wykres ma kształt „wężyka”, który spotykając się z pierwiastkiem pojedynczym „przechodzi” na drugą stronę osi .
Zbiór rozwiązań nierówności to .
Rozwiążemy nierówność metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias i wykorzystania wzoru skróconego mnożenia.
Wyłączymy przed nawias jednomian .
Wyznaczymy miejsca zerowe wielomianu.
5 lub lub
(podwójny) lub lub
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Rozwiążemy nierówność wielomianowąnierówność wielomianową metodą grupowania wyrazów.
Obliczamy pierwiastki wielomianu .
lub
(podwójny) lub
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Rozwiążemy nierówność , rozkładając lewą stronę nierówności na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Obliczymy miejsca zerowe wielomianu .
lub , dla dowolnego
Zbiorem rozwiązań nierówności jest .
Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest mniejszy lub równy . Jakie to liczby?
Kolejne liczby naturalne to , , , . Zapiszemy i rozwiążemy nierówność.
Zastosujemy metodę grupowania wyrazów. W tym celu zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.
lub
lub (brak rozwiązań)
Uwzględniając warunki zadania .
Szukane liczby to , , . Są to jedyne liczby naturalne dodatnie spełniające warunki zadania.
Słownik
każda nierówność postaci:
lub lub lub
gdzie:
– jest wielomianem stopnia