Ilustracja interaktywna. Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest mniejszy lub równy $120$. Obliczymy te liczby.
Kolejne liczby naturalne to: $n, n+1, n+2, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania. $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\le 120$. Następnie wymnażamy ze sobą nawiasy, zostawiając $n$ przed nawiasami. $n\left(n^2+2n+n+2\right)\le 120$. Dodajemy wyrazy podobne w nawiasie. $n\left(n^2+3n+2\right)\le 120$. Wymnażamy pierwszy czynnik i nawias, a następne odejmujemy od obu stron $120$. $n^3+3n^2+2n-120\le 0$.

Ilustracja interaktywna, dalsza część rozwiązania. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej, aby zastosować metodę grupowania wyrazów., $n^3-4n^2+7n^2-28n+30n-120\le 0$, Z każdej pary jednomianów wyłączamy przed nawias wspólny czynnik., $n^2\left(n-4\right)+7n\left(n-4\right)+30\left(n-4\right)\le 0$, Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej. $\left(n-4\right)\left(n^2+7n+30\right)\le 0$. Otrzymujemy wielomian postaci: $W\left(x\right)=\left(n-4\right)\left(n^2+7n+30\right)$.

Ilustracja interaktywna, dalsza część rozwiązania. Obliczamy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)$. $\left(n-4\right)\left(n^2+7n+30\right)=0$. Aby iloczyn równał się zeru, przynajmniej jeden z czynników musi być zerem. Otrzymujemy więc, że: $\left(n-4\right)=0$ lub $\left(n^2+7n+30\right)=0$. Z pierwszego równania mamy, że $x=4$. Z drugiego równania obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $\Delta =49-4·30=-71<0$, czyli brak rozwiązań. Funkcja $f\left(n\right)=n^2+7n+30$ przyjmuje tylko wartości dodatnie., Zilustrować powyższe obliczenia można za pomocą poziomej osi $X$, na której zaznaczymy zamalowanym kółkiem liczbę $4$. Na przedziale lewostronnie domkniętym od minus nieskończoności do czwórki funkcja przyjmuje wartości ujemne, zatem wykres znajdować się będzie pod osią, natomiast na dla liczb większych od czterech funkcja przyjmie wartości dodatnie. Możemy zapisać więc, że $n\in (-\infty ;4⟩$ i jednocześnie $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, a zatem $n\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$.

Ilustracja interaktywna, dalsza część rozwiązania. Obliczamy szukane liczby dla $n=4$., Będą to liczby $n+1=5$ oraz $n+2=6$. Obliczamy szukane liczby dla $n=3$. Będą to liczby $n+1=4$ oraz $n+2=5$., Obliczamy szukane liczby dla $n=2$. Będą to liczby $n+1=3$ oraz $n+2=4$.

Ilustracja interaktywna Obliczamy szukane liczby dla $n=1$., Będą to liczby $n+1=2$ oraz $n+2=3$. Obliczamy szukane liczby dla $n=0$. Będą to liczby $n+1=1$ oraz $n+2=2$. Odpowiedź: Szukane liczby to: $0, 1, 2$ lub $1, 2, 3$ lub $2, 3, 4$ lub $3, 4, 5$ lub $4, 5, 6$.