Rozważmy odcinek, który nie jest równoległy do osi X, o końcach A=xA;yAB=xB;yB. Naszym celem jest wyznaczyć równanie symetralnej tego odcinka.

RFcPPOs9jb4fx

Przypomnijmy, że symetralna odcinkasymetralna odcinkasymetralna odcinka przecina go w połowie i jest do niego prostopadła. Potrzebny nam jest zatem współczynnik kierunkowy tej prostej i współrzędne środka odcinka AB. Zgodnie ze wzorami współrzędne środka S odcinka AB to xA+xB2;yA+yB2, zaś współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy yAyBxAxB. Zatem (z warunku prostopadłości prostych) współczynnik kierunkowy symetralnej to xAxByAyB.

Równanie symetralnej odcinka AB ma postać y-yA+yB2=-xA-xByA-yBx-xA+xB2, co po przekształceniu daje

2xA-xBx+2yA-yBy-yA2-yB2+xA2-xB2=0.

Sprawdźmy jeszcze, czy powyższy wzór jest prawdziwy dla odcinka AB, który jest równoległy do osi X. Wówczas yA=yB, więc wzór przyjmuje postać 2xA-xBx-xA2-xB2=0. Ponieważ rozważamy odcinek, to xAxB, więc obie strony otrzymanego równania możemy podzielić przez xA-xB, otrzymując równanie x=xA+xB2.

RCduWvpF1MV4o

Łatwo sprawdzić, że to równanie opisuje symetralną odcinkasymetralna odcinkasymetralną odcinka o końcach A=xA;yB=xB;y. Zatem wzór 2xA-xBx+2yA-yBy-yA2-yB2+xA2-xB2=0 jest prawdziwy niezależnie od położenia odcinka AB względem osi.

Przykład 1

Dany jest odcinek o końcach A=-6;5B=3;-2. Wyznaczymy równanie symetralnej tego odcinka. Środek S odcinka AB ma współrzędne -6+32;5-22=-32;32. Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy -2-53--6=-79, więc współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AB jest równy 97. Zatem równanie symetralnej odcinka AB to y=97x+32+32, czyli y=97x+247.

Przykład 2

Wiadomo, że środek okręgu opisanego na trójkącieśrodek okręgu opisanego na trójkącieśrodek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych jego boków. Wyznaczymy środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A=2;6, B=6;-2, C=-2;2. Zaczniemy od wyznaczenia symetralnej boku AC: jego środek M1 ma współrzędne 2-22;6+22=0;4. Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy 6-22--2=1, zatem współczynnik kierunkowy symetralnej boku AC to -1. Równanie symetralnej ma postać y=-x-0+4, czyli y=-x+4. Środek M2 boku BC ma współrzędne 6-22;-2+22=2;0, zaś współczynnik kierunkowy prostej BC jest równy -2-26--2=-48=-12, zatem współczynnik kierunkowy symetralnej boku BC jest równy 2. Równanie symetralnej boku BC ma postać: y=2x-2+0, czyli y=2x-4. Aby wyznaczyć punkt przecięcia tych symetralnych, wystarczy rozwiązać układ równań y=-x+4y=2x-4, z którego wynika równanie -x+4=2x-4 spełnione przez x=83. Dla x=83, otrzymujemy y=-83+4=43. Zatem współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC to 83;43.

RljsOZM1f5ShL

Słownik

symetralna odcinka
symetralna odcinka

prosta prostopadła do danego odcinka przecinająca go na połowy; zbiór punktów leżących w równych odległościach od końców tego odcinka

środek okręgu opisanego na trójkącie
środek okręgu opisanego na trójkącie

można go wyznaczyć jako punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta