Przeczytaj

Rozważmy odcinek, który nie jest równoległy do osi $X$ , o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Naszym celem jest wyznaczyć równanie symetralnej tego odcinka.

RFcPPOs9jb4fx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Jednostki osi nie są zaznaczone. Na płaszczyźnie narysowany jest ukośny odcinek AB, gdzie punkt A ma współrzędne xA;yA, punkt B ma współrzędne xB;yB. Przez odcinek przebiega prostopadła do niego prosta, która jest symetralną odcinka AB. Symetralna dzieli odcinek na pół, a punkt przecięcia prostej z odcinkiem oznaczony jest jako S i ma współrzęne xA+xB2;yA+yB2.

Przypomnijmy, że symetralna odcinkasymetralna odcinkasymetralna odcinka przecina go w połowie i jest do niego prostopadła. Potrzebny nam jest zatem współczynnik kierunkowy tej prostej i współrzędne środka odcinka $A B$ . Zgodnie ze wzorami współrzędne środka $S$ odcinka $A B$ to $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ , zaś współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}$ . Zatem (z warunku prostopadłości prostych) współczynnik kierunkowy symetralnej to $- \frac{x_{A} - x_{B}}{y_{A} - y_{B}}$ .

Równanie symetralnej odcinka $A B$ ma postać $y - \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = - \frac{x_{A} - x_{B}}{y_{A} - y_{B}} (x - \frac{x_{A} + x_{B}}{2})$ , co po przekształceniu daje

2 (x_{A} - x_{B}) x + 2 (y_{A} - y_{B}) y - (y_{A}^{2} - y_{B}^{2} + x_{A}^{2} - x_{B}^{2}) = 0

Sprawdźmy jeszcze, czy powyższy wzór jest prawdziwy dla odcinka $A B$ , który jest równoległy do osi $X$ . Wówczas $y_{A} = y_{B}$ , więc wzór przyjmuje postać $2 (x_{A} - x_{B}) x - (x_{A}^{2} - x_{B}^{2}) = 0$ . Ponieważ rozważamy odcinek, to $x_{A} \neq x_{B}$ , więc obie strony otrzymanego równania możemy podzielić przez $x_{A} - x_{B}$ , otrzymując równanie $x = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ .

RCduWvpF1MV4o

Łatwo sprawdzić, że to równanie opisuje symetralną odcinkasymetralna odcinkasymetralną odcinka o końcach $A = (x_{A}; y)$ i $B = (x_{B}; y)$ . Zatem wzór $2 (x_{A} - x_{B}) x + 2 (y_{A} - y_{B}) y - (y_{A}^{2} - y_{B}^{2} + x_{A}^{2} - x_{B}^{2}) = 0$ jest prawdziwy niezależnie od położenia odcinka $A B$ względem osi.

Przykład 1

Dany jest odcinek o końcach $A = (- 6; 5)$ i $B = (3; -2)$ . Wyznaczymy równanie symetralnej tego odcinka. Środek $S$ odcinka $A B$ ma współrzędne $(\frac{- 6 + 3}{2}; \frac{5 - 2}{2}) = (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ . Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{- 2 - 5}{3 - (- 6)} = \frac{- 7}{9}$ , więc współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka $A B$ jest równy $\frac{9}{7}$ . Zatem równanie symetralnej odcinka $A B$ to $y = \frac{9}{7} (x + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2}$ , czyli $y = \frac{9}{7} x + \frac{24}{7}$ .

Przykład 2

Wiadomo, że środek okręgu opisanego na trójkącieśrodek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych jego boków. Wyznaczymy środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach $A = (2; 6)$ , $B = (6; - 2)$ , $C = (- 2; 2)$ . Zaczniemy od wyznaczenia symetralnej boku $A C$ : jego środek $M_{1}$ ma współrzędne $(\frac{2 - 2}{2}; \frac{6 + 2}{2}) = (0; 4)$ . Współczynnik kierunkowy prostej $A C$ jest równy $\frac{6 - 2}{2 - (- 2)} = 1$ , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej boku $A C$ to $(- 1)$ . Równanie symetralnej ma postać $y = - (x - 0) + 4$ , czyli $y = - x + 4$ . Środek $M_{2}$ boku $B C$ ma współrzędne $(\frac{6 - 2}{2}; \frac{- 2 + 2}{2}) = (2; 0)$ , zaś współczynnik kierunkowy prostej $B C$ jest równy $\frac{- 2 - 2}{6 - (- 2)} = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$ , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej boku $B C$ jest równy $2$ . Równanie symetralnej boku $B C$ ma postać: $y = 2 (x - 2) + 0$ , czyli $y = 2 x - 4$ . Aby wyznaczyć punkt przecięcia tych symetralnych, wystarczy rozwiązać układ równań $\{\begin{cases} y = - x + 4 \\ y = 2 x - 4 \end{cases}$ , z którego wynika równanie $- x + 4 = 2 x - 4$ spełnione przez $x = \frac{8}{3}$ . Dla $x = \frac{8}{3}$ , otrzymujemy $y = - \frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$ . Zatem współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ to $(\frac{8}{3}; \frac{4}{3})$ .

RljsOZM1f5ShL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną od minus czterech do dziesięciu oraz pionową osią Y opisaną od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest trójkąt ABC wpisany w okrąg, gdzie punkty mają następujące współrzędne: A=2;6, B=6;-2, C=-2;2. Na rysunku przedstawione są także dwie symetralne. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt B i jest symetralną odcinka AC, a punkt ich przecięcia to M1=0;4. Druga prosta jest symetralną odcinka BC i przecina go w punkcie M2=2;0. W miejscu przecięcia symetralnych znajduje się zaznaczony zamalowaną kropką punkt będący środkiem okręgu, w który wpisany jest trójkąt. Współrzędne środka okręgu to 83;43.

Słownik

symetralna odcinka

prosta prostopadła do danego odcinka przecinająca go na połowy; zbiór punktów leżących w równych odległościach od końców tego odcinka

środek okręgu opisanego na trójkącie

można go wyznaczyć jako punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta

Wprowadzenie

Aplet

Słownik