Rozwiążemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x-2y=2\\ x^2+y^2-2x+4y=-4\end{array}\right.$.

Rozwiązanie:

Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:

$6y=-6$, czyli $y=-1$.

Mając obliczony $y$, podstawiamy jego wartość do pierwszego lub drugiego równania.

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy, że:

$x^2+1-2x+2=2$, zatem $x^2-2x+1=0$, co daje $x=1$.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$.

Rozwiążemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ x^2-4x+y^2=5\end{array}\right.$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $x^2+y^2=4$, zatem po podstawieniu do drugiego równania otrzymujemy:

$4-4x=5$, stąd $x=-\frac{1}{4}$.

Wartość $x=-\frac{1}{4}$ podstawiamy do pierwszego równania:

$\frac{1}{16}+y^2=4$, więc $y=\frac{3\sqrt{7}}{4}$ lub $y=-\frac{3\sqrt{7}}{4}$.

Układ równań spełniają dwie pary liczb:

$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{4}\\ y=\frac{3\sqrt{7}}{4}\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{4}\\ y=-\frac{3\sqrt{7}}{4}\end{array}\right.$.

Rozwiążemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x-2y=-1\\ x^2+y^2+2x+2y=7\end{array}\right.$.

Rozwiązanie:

Jeżeli z każdego z równań obliczymy wartość $x^2+y^2$, to otrzymamy:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=-1+4x+2y\\ x^2+y^2=7-2x-2y\end{array}\right.$.

Następnie przyrównujemy prawe strony tych równań, zatem mamy:

$-1+4x+2y=7-2x-2y$, co daje $y=-\frac{3}{2}x+2$.

Wyliczoną zależność $y$ od $x$ podstawiamy do pierwszego równania. Otrzymujemy, że:

$x^2+{\left(-\frac{3}{2}x+2\right)}^2-4x-2·\left(-\frac{3}{2}x+2\right)=-1$

$x^2+\frac{9}{4}{x}^2+4-6x-4x+3x-4=-1$

$\frac{13}{4}{x}^2-7x+1=0$.

Zatem $∆=49-4·\frac{13}{4}·1=49-13=36$.

Obliczamy

$x_1=\frac{7-\sqrt{36}}{2·\frac{13}{4}}=\frac{7-6}{\frac{13}{2}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{13}{2}}}=\frac{2}{13}$

oraz

$x_2=\frac{7+\sqrt{36}}{2·\frac{13}{4}}=\frac{7+6}{\frac{13}{2}}=\frac{13}{\frac{13}{2}}=2$.

Odpowiadające im wartości $y$ wynoszą:

$y_1=-\frac{3}{2}·\frac{2}{13}+2=-\frac{3}{13}+2=\frac{23}{13}$

oraz

$y_2=-\frac{3}{2}·2+2=-3+2=-1$.

Rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{2}{13}\\ y_1=\frac{23}{13}\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}{x}_2=2\\ y_2=-1\end{array}\right.$.

W których ćwiartkach układu współrzędnych leżą punkty, które są rozwiązaniami podanego układu równań?

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2y=1\\ x^2-2x+y^2=1\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

Odejmując równania stronami otrzymujemy, że:

$-2x+2y=0$, zatem $y=x$.

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy, że:

$2x^2-2x-1=0$.

Zatem $∆=4-4·2·\left(-1\right)=4+8=12$,

stąd $\sqrt{∆}=2\sqrt{3}$ oraz

$x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2·2}=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$,

$x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2·2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{4}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiadające im wartości $y$ wynoszą:

$y_1=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ oraz $y_2=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

Ponieważ $x_1<0$ oraz $y_1<0$, zatem punkt $\left(x_1,y_1\right)$ leży w $\text{III}$ ćwiartce układu współrzędnych.

Ponieważ $x_2>0$ oraz $y_2>0$, zatem punkt $\left(x_2,y_2\right)$ leży w $\text{I}$ ćwiartce układu współrzędnych.

układem równań kwadratowych nazwiemy układ postaci

gdzie:
$x$, $y$ – niewiadome,
$a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f\in \mathrm{ℝ}$