Przeczytaj
Przypomnijmy, że współrzędne punktów podajemy w nawiasie okrągłym. Na przykład współrzędne punktu , który na osi liczbowej odpowiada liczbie , oznaczymy jako . Dla odróżnienia od współrzędnych punktu współrzędne wektora będziemy podawać w nawiasie kwadratowym.
Współrzędną wektora na osiWspółrzędną wektora na osi liczbowej definiujemy jako różnicę współrzędnej końca i współrzędnej początku.
Jeśli , , to współrzędną wektora jest liczba , co zapisujemy .
Możemy zauważyć, że wektor zaczepiony w początku osi liczbowej ma współrzędną równą współrzędnej końca tego wektora. Ponadto wektor zerowy ma współrzędną na osi równą zeru: .
Jeśli , , to
Dwa wektory na osi liczbowej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne.
Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Wyznacz wartość parametru tak, aby wektory o współrzędnych i były równe.
Zgodnie z powyższym twierdzeniem wektory i będą równe wtedy i tylko wtedy gdy ich współrzędne będą równe, czyli gdy spełnione będzie równanie , które można przekształcić do postaci . Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy równanie , którego jedynym pierwiastkiem jest . Zatem wektory i są równe dokładnie wtedy, gdy .
Poniższe twierdzenia pokazują, jak wyznaczyć współrzędne sumy i różnicy wektorów na osi oraz współrzędną iloczynu wektora i liczby.
Suma wektorów na osiSuma wektorów na osi ma współrzędną równą sumie współrzędnych dodawanych wektorów: jeśli , , to .
Niech , , gdzie , , . Wówczas oraz , . Zatem .
Współrzędna wektora przeciwnegowektora przeciwnego do wektora jest liczbą przeciwną do współrzędnej wektora : jeśli , to .
Jeśli , gdzie , , to oraz .
Współrzędna różnicy wektorów na osiróżnicy wektorów na osi jest równa różnicy odejmowanych wektorów: jeśli , to .
.
Współrzędna iloczynu wektora przez liczbęiloczynu wektora przez liczbę jest równa iloczynowi tej liczby i współrzędnej danego wektora: jeśli , to .
Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Niech , . Obliczymy , , .
Słownik
różnica między współrzędną końca wektora i współrzędną początku wektora; dla , wektor ma współrzędną
twierdzenie orzekające, że współrzędna sumy wektorów na osi jest równa sumie współrzędnych wektorów składowych
twierdzenie orzekające, że współrzędna różnicy wektorów na osi jest równa różnicy współrzędnych wektorów składowych
twierdzenie orzekające, że współrzędna wektora przeciwnego do danego jest liczbą przeciwną do współrzędnej danego wektora
twierdzenie orzekające, że współrzędna iloczynu wektora i liczby jest równa iloczynowi współrzędnej danego wektora przez tę liczbę