Jeśli pochodna funkcji jest dodatnia w pewnym przedziale $\left(a,b\right)$, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

Jeśli pochodna funkcji jest ujemna w pewnym przedziale $\left(a,b\right)$, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Jeśli pochodna funkcji jest równa zero w pewnym przedziale $\left(a,b\right)$, to funkcja jest w tym przedziale stała.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=x^3$ dla $x\in \left(-2,0\right)$ oraz dla $x\in \left(0,2\right)$. Zbadamy czy funkcja jest rosnąca w tych przedziałach.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^3$ dla $x\in \left(-2,0\right)$ przedstawiono na poniższym rysunku.

R18KuJIezOD6H

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, pojawia się on w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku od minus nieskończoności przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, tak jak na rysunku.

RHtxhLlNry08f

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i ponową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, pojawia się on w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku od minus nieskończoności przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Na wykresie zamalowanymi kropkami zaznaczono trzy punkty. Przez każdy z tych punktów poprowadzono styczną do wykresu funkcji f.

Wszystkie z narysowanych stycznych są nachylone do osi $X$ pod kątem ostrym. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji $f$ w tych punktach jest dodatnia. Łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji $f$ w przedziale $x\in \left(0,2\right)$. Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, np. tak jak pokazano na rysunku.

RYg5lPC260Jez

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i ponową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, ma on swój początek w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu skąd biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu. Na wykresie zamalowanymi kropkami zaznaczono trzy punkty. Przez każdy z tych punktów poprowadzono styczną do wykresu funkcji f.

Wszystkie z narysowanych stycznych również są nachylone do osi $X$ pod kątem ostrym. Tak jak poprzednio, łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji $f$ w tych punktach jest dodatnia. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f$.

RE4fZnQxZy8PV

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, w układzie zaznaczono wykres funkcji f. Wykres pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie ukośnie do punktu, którego odcięta ma wartość b, następnie biegnie po łuku do środka układu współrzędnych, który został oznaczony literą c. Dalej biegnie również po łuku do punktu, którego odcięta ma wartość d, s tego punktu biegnie ukośnie i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Na podstawie tego wykresu podamy przedziały otwarte, w których pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie oraz przedziały, w których przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Najpierw określimy monotoniczność funkcji $f$. Funkcja jest rosnąca w przedziałach otwartych: $\left(-\infty ,b\right)$, $\left(c,d\right)$, $\left(d,\infty \right)$, oraz malejąca w przedziale otwartym $\left(b,c\right)$. Wynika stąd, że jej pochodna jest dodatnia w przedziałach otwartych $\left(-\infty ,b\right)$, $\left(c,d\right)$, $\left(d,\infty \right)$, oraz ujemna w przedziale otwartym $\left(b,c\right)$.

Na podstawie wykresów pochodnych funkcji $f$, $g$ i $h$ określimy przedziały otwarte, w których funkcja rośnie lub maleje.

R1W51LIznk7RO

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do 6, w układzie zaznaczono wykres funkcji $f\text{'}$. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

RAiiSjuMXLpYL

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do 4, w układzie zaznaczono wykres funkcji $g\text{'}$. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu, biegnie po łuku to punktu zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie następuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RtLy09eKlfBQo

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 5 do 2, w układzie zaznaczono wykres funkcji $h\text{'}$. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji $f$ jest dodatnia w przedziałach otwartych $\left(-\infty ,0\right)$, $\left(0,\infty \right)$. Oznacza to, że funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z tych przedziałów.

Pochodna funkcji $g$ jest dodatnia w przedziale otwartym $\left(-\infty ,1\right)$, a ujemna w przedziale otwartym $\left(1,\infty \right)$. Zatem funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale otwartym $\left(-\infty ,1\right)$, a malejąca w przedziale otwartym $\left(1,\infty \right)$.

Pochodna funkcji $h$ jest ujemna w przedziałach otwartych $\left(-\infty ,0\right)$, $\left(0,\infty \right)$, co oznacza, że w każdym z tych przedziałów funkcja $h$ jest malejąca.

Na poniższym rysunku przedstawiono fragmenty wykresów pewnych trzech funkcji.

RXmGI6BIUsktN

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych A B C z poziomymi osiami x od minus 4 do 4 i pionowymi osiami y od minuss4 do cztery. W układzie A zaznaczono wykres o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry a wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Jej lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. W układzie B znajduje się wykres, który pojawia się w pierwszej ćwiartce układu, biegnie po łuku to punktu zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie następuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. W trzecim układzie znajduje się wykres będący ukośną prostą, która przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez pierwszą i trzecią ćwiartkę.

Jeden z nich przedstawia wykres funkcji $f$, jeden z dwóch pozostałych – wykres funkcji $f\text{'}$, natomiast ostatni wykres pochodnej funkcji $f\text{'}$ (wykres drugiej pochodnej funkcji $f$). Wskażemy, który z tych wykresów jest wykresem funkcji $f$, który wykresem funkcji $f\text{'}$, a który wykresem drugiej pochodnej funkcji $f$.

Rozwiązanie

Analizę zaczniemy od fragmentu wykresu funkcji znajdującego się na rysunku $B$. Funkcja ta jest rosnąca. Jeśli jest to wykres funkcji $f$, to jej pochodna musi być nieujemna. Łatwo zauważyć, że wykres funkcji, która przyjmuje wartości nieujemne to wykres na rysunku A – czyli wykres $f\text{'}$. Zatem rysunek C przedstawia wykres pochodnej funkcji $f\text{'}$. Rzeczywiście, w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$ funkcja $f\text{'}$ jest malejąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości ujemne. W przedziale $\left(0,\infty \right)$ funkcja $f\text{'}$ jest rosnąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości dodatnie.

O funkcji $f\left(x\right)=a{x}^5+a{x}^3+ax+1$ wiadomo, że jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Wyznaczymy te wartości parametru $a$, dla których funkcja będzie rosnąca w całej dziedzinie.

Rozwiązanie:

Policzymy pochodną funkcji $f\left(x\right)$. Otrzymujemy $f\text{'}\left(x\right)=5a{x}^4+3a{x}^2+a$. Aby funkcja była rosnąca w całej dziedzinie jej pochodna musi być dodatnia w całej dziedzinie, stąd otrzymujemy kolejno

$5a{x}^4+3a{x}^2+a>0$,

$a\left(5x^4+3x^2+1\right)>0$.

Wyrażenie $5a{x}^4+3a{x}^2+1>0$ dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$. Zatem funkcja $f\left(x\right)$ będzie rosnąca w całej dziedzinie dla $a>0$.

jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ pochodną, to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ jest prosta o równaniu: