Na poniższym rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji .
RLqAsXL7YRJPQ
Zauważmy, że stycznestycznastyczne do tego wykresu w punktach, których pierwsze współrzędne należą do przedziału są nachylone do osi pod kątem ostrym. Oznacza to, że współczynniki kierunkowe tych stycznych są dodatnie. Funkcja o takiej własności jest rosnąca w przedziale .
Współczynnik kierunkowy stycznejstycznastycznej do wykresu funkcji w punkcie określony jest przez wartość pochodnej tej funkcji w punkcie , zatem za pomocą znaku pochodnej możemy określić monotoniczność funkcji.
o funkcji rosnącej
Twierdzenie: o funkcji rosnącej
Jeśli pochodna funkcji jest dodatnia w pewnym przedziale , to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
o funkcji malejącej
Twierdzenie: o funkcji malejącej
Jeśli pochodna funkcji jest ujemna w pewnym przedziale , to funkcja jest w tym przedziale malejąca.
Dla pewnej klasy funkcji wiadomo, że jej pochodna w każdym punkcie pewnego przedziału , jest równa zero. Oznacza to, że każdemu argumentowi stycznastyczna styczna do wykresu funkcji w punkcie ma współczynnik kierunkowy równy zero.
o funkcji stałej
Twierdzenie: o funkcji stałej
Jeśli pochodna funkcji jest równa zero w pewnym przedziale , to funkcja jest w tym przedziale stała.
Przykład 1
Narysujemy wykres funkcji dla oraz dla . Zbadamy czy funkcja jest rosnąca w tych przedziałach.
Rozwiązanie:
Wykres funkcji dla przedstawiono na poniższym rysunku.
R18KuJIezOD6H
Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, tak jak na rysunku.
RHtxhLlNry08f
Wszystkie z narysowanych stycznych są nachylone do osi pod kątem ostrym. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji w tych punktach jest dodatnia. Łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji w przedziale . Poprowadźmy kilka stycznych do wykresu funkcji, np. tak jak pokazano na rysunku.
RYg5lPC260Jez
Wszystkie z narysowanych stycznych również są nachylone do osi pod kątem ostrym. Tak jak poprzednio, łatwo zauważyć, że takich różnych stycznych możemy naszkicować nieskończenie wiele i każda z nich posiadałaby tę własność. Oznacza to, że ich współczynniki kierunkowe są dodatnie, a stąd wynika, że pochodna funkcji w tych punktach jest dodatnia. Zatem funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Przykład 2
Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji .
RE4fZnQxZy8PV
Na podstawie tego wykresu podamy przedziały otwarte, w których pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie oraz przedziały, w których przyjmuje wartości ujemne.
Rozwiązanie:
Najpierw określimy monotoniczność funkcji . Funkcja jest rosnąca w przedziałach otwartych: , , , oraz malejąca w przedziale otwartym . Wynika stąd, że jej pochodna jest dodatnia w przedziałach otwartych , , , oraz ujemna w przedziale otwartym .
Przykład 3
Na podstawie wykresów pochodnych funkcji , i określimy przedziały otwarte, w których funkcja rośnie lub maleje.
R1W51LIznk7RO
RAiiSjuMXLpYL
RtLy09eKlfBQo
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji jest dodatnia w przedziałach otwartych , . Oznacza to, że funkcja jest rosnąca w każdym z tych przedziałów.
Pochodna funkcji jest dodatnia w przedziale otwartym , a ujemna w przedziale otwartym . Zatem funkcja jest rosnąca w przedziale otwartym , a malejąca w przedziale otwartym .
Pochodna funkcji jest ujemna w przedziałach otwartych , , co oznacza, że w każdym z tych przedziałów funkcja jest malejąca.
Przykład 4
Na poniższym rysunku przedstawiono fragmenty wykresów pewnych trzech funkcji.
RXmGI6BIUsktN
Jeden z nich przedstawia wykres funkcji , jeden z dwóch pozostałych – wykres funkcji , natomiast ostatni wykres pochodnej funkcji (wykres drugiej pochodnej funkcji ). Wskażemy, który z tych wykresów jest wykresem funkcji , który wykresem funkcji , a który wykresem drugiej pochodnej funkcji .
Rozwiązanie
Analizę zaczniemy od fragmentu wykresu funkcji znajdującego się na rysunku . Funkcja ta jest rosnąca. Jeśli jest to wykres funkcji , to jej pochodna musi być nieujemna. Łatwo zauważyć, że wykres funkcji, która przyjmuje wartości nieujemne to wykres na rysunku A – czyli wykres . Zatem rysunek C przedstawia wykres pochodnej funkcji . Rzeczywiście, w przedziale funkcja jest malejąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości ujemne. W przedziale funkcja jest rosnąca, więc jej funkcja pochodna przyjmuje w tym przedziale wartości dodatnie.
Przykład 5
O funkcji wiadomo, że jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Wyznaczymy te wartości parametru , dla których funkcja będzie rosnąca w całej dziedzinie.
Rozwiązanie:
Policzymy pochodną funkcji . Otrzymujemy . Aby funkcja była rosnąca w całej dziedzinie jej pochodna musi być dodatnia w całej dziedzinie, stąd otrzymujemy kolejno
,
.
Wyrażenie dla każdego . Zatem funkcja będzie rosnąca w całej dziedzinie dla .
Słownik
styczna
styczna
jeśli funkcja ma w punkcie pochodną, to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie jest prosta o równaniu: