Grafika pierwsza przedstawia następujący przykład: przeanalizujmy wykres funkcji f, która jest rosnąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu, dalej biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi x o odciętej a, dalej wykres biegnie przez punkt $P_2$ znajdujący się w drugiej ćwiartce układu. Następnie wykres biegnie do punktu $P_1$, który leży na osi y, dalej wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt $P_1$ i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P_1$ jest równoległa do osi $X$, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa $0$. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt $P_2$. Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P_2$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem ostrym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest dodatnia.

Grafika druga przedstawia następujący przykład: Przeanalizujmy wykres funkcji g, która jest malejąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt $P_2$, którego odcięta ma wartość a, dalej biegnie po łuku przez punkt $P_1$ lezący na osi x, z tego punktu biegnie po łuku do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce, a jego odcięta ma wartość b. Z tego punktu wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt $P_1$ i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P_1$ jest równoległa do osi $X$, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa $0$. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt $P_2$. Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P_2$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem rozwartym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest ujemna.

Grafika trzecia przedstawia twierdzenia: Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest rosnąca i ma pochodną, to $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$ dla każdego $x\in \left(a;b\right)$. Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest malejąca i ma pochodną, to $f\text{'}\left(x\right)\le 0$ dla każdego $x\in \left(a;b\right)$.

Grafika czwarta przedstawia dowód twierdzenia dla funkcji rosnącej. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia, dotyczącą funkcji rosnących. Dowód części drugiej jest analogiczny. Założenie jest następujące: funkcja f jest rosnąca w nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Funkcja f ma pochodną dla każdego $x\in \left(a;b\right)$. Niech $x$, $x+h\in \left(a;b\right)$ i $h>0$, zatem $x<x+h$ oraz $f\left(x\right)<f\left(x+h\right)$. Stąd $\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}>0$. Następnie niech $x$, $x+h\in \left(a;b\right)$ i $h<0$. Zatem $x+h<x$ oraz $f\left(x+h\right)<f\left(x\right)$. Stąd $\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}>0$.

Grafika piąta: Ponieważ granica funkcji o wartościach dodatnich jest dodatnia lub równa zeru, zatem w obu przypadkach otrzymujemy, ze pochodna jest nieujemna. Mamy $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\ge 0$. To kończy dowód.