Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.
R15zfuyzAfXJW
Grafika pierwsza przedstawia następujący przykład: przeanalizujmy wykres funkcji f, która jest rosnąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu, dalej biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi x o odciętej a, dalej wykres biegnie przez punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego znajdujący się w drugiej ćwiartce układu. Następnie wykres biegnie do punktu P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, który leży na osi y, dalej wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest równoległa do osi X, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest nachylona do osi X pod kątem ostrym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest dodatnia.
Grafika pierwsza przedstawia następujący przykład: przeanalizujmy wykres funkcji f, która jest rosnąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu, dalej biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi x o odciętej a, dalej wykres biegnie przez punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego znajdujący się w drugiej ćwiartce układu. Następnie wykres biegnie do punktu P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, który leży na osi y, dalej wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest równoległa do osi X, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest nachylona do osi X pod kątem ostrym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest dodatnia.
RJkqyqlNBBAjx
Grafika druga przedstawia następujący przykład: Przeanalizujmy wykres funkcji g, która jest malejąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, którego odcięta ma wartość a, dalej biegnie po łuku przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego lezący na osi x, z tego punktu biegnie po łuku do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce, a jego odcięta ma wartość b. Z tego punktu wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest równoległa do osi X, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest nachylona do osi X pod kątem rozwartym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest ujemna.
Grafika druga przedstawia następujący przykład: Przeanalizujmy wykres funkcji g, która jest malejąca w przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, którego odcięta ma wartość a, dalej biegnie po łuku przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego lezący na osi x, z tego punktu biegnie po łuku do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce, a jego odcięta ma wartość b. Z tego punktu wykres biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. W układzie narysowano dwie proste będące stycznymi do wykresu f. Pierwsza z nich przechodzi przez punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i jest pozioma. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest równoległa do osi X, zatem jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. Druga prosta jest ukośna i przechodzi prze punkt P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego jest nachylona do osi X pod kątem rozwartym, zatem jej pochodna w tym punkcie jest ujemna.
RY1BrkYdXxsob
Grafika trzecia przedstawia twierdzenia: Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest rosnąca i ma pochodną, to f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu. Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest malejąca i ma pochodną, to f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu.
Grafika trzecia przedstawia twierdzenia: Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest rosnąca i ma pochodną, to f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu. Jeśli funkcja f w pewnym przedziale nawias a średnik b zamknięcie nawiasu jest malejąca i ma pochodną, to f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu.
RnoNfqnEMFjc8
Grafika czwarta przedstawia dowód twierdzenia dla funkcji rosnącej. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia, dotyczącą funkcji rosnących. Dowód części drugiej jest analogiczny. Założenie jest następujące: funkcja f jest rosnąca w nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Funkcja f ma pochodną dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu. Niech x, x, plus, h, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu i h, większy niż, zero, zatem x, mniejszy niż, x, plus, h oraz f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu. Stąd początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy niż, zero. Następnie niech x, x, plus, h, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu i h, mniejszy niż, zero. Zatem x, plus, h, mniejszy niż, x oraz f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Stąd początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy niż, zero.
Grafika czwarta przedstawia dowód twierdzenia dla funkcji rosnącej. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia, dotyczącą funkcji rosnących. Dowód części drugiej jest analogiczny. Założenie jest następujące: funkcja f jest rosnąca w nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Funkcja f ma pochodną dla każdego x, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu. Niech x, x, plus, h, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu i h, większy niż, zero, zatem x, mniejszy niż, x, plus, h oraz f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu. Stąd początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy niż, zero. Następnie niech x, x, plus, h, należy do, nawias, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu i h, mniejszy niż, zero. Zatem x, plus, h, mniejszy niż, x oraz f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Stąd początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy niż, zero.
R9oXAK8AGgFVL
Grafika piąta: Ponieważ granica funkcji o wartościach dodatnich jest dodatnia lub równa zeru, zatem w obu przypadkach otrzymujemy, ze pochodna jest nieujemna. Mamy f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, limes, h, strzałka w prawo, zero, początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy równy, zero. To kończy dowód.
Grafika piąta: Ponieważ granica funkcji o wartościach dodatnich jest dodatnia lub równa zeru, zatem w obu przypadkach otrzymujemy, ze pochodna jest nieujemna. Mamy f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, limes, h, strzałka w prawo, zero, początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, większy równy, zero. To kończy dowód.
Polecenie 2
R1CGARaKCVrRA
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
1
1
Polecenie 3
Na poniższym rysunku przedstawione są wykresy pewnych funkcji , , .
wykres 1
wykres 2
wykres 3
R4Ms5XdnBs1ov
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 8 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 6 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z trzech części. Pierwsza część znajduje się w całości w drugiej ćwiartce, ma ona kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych. Druga część pojawia się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się zaraz pod środkiem układu współrzędnych z tamtego punktu wykres biegnie po łuku przez punkt nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia część znajduje się w pierwszej ćwiartce układu, ma ona kształt łuku wybrzuszonego w stronę początku układu współrzędnych.
Rqs8eoIejjClM
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 8 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 6 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt hiperboli. Jedna część przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa zamkniecie nawiasu. Druga cześć przechodzi prze punkty nawias trzy średnik cztery zamkniecie nawiasu oraz nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu.
RCCALZ7djfICN
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt paraboli. Parabola ma ramiona skierowane do góry, a jej wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero zamkniecie nawiasu a prawe ramię przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.
RcmqUfxVcWk91
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Uzasadnienie:
Na rysunku funkcja jest rosnąca w przedziałach otwartych , , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest dodatnia. Funkcja jest malejąca w przedziałach otwartych , , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest ujemna.
Na rysunku funkcja jest malejąca w przedziałach otwartych , , zatem jej pochodna w tych przedziałach jest ujemna.
Na rysunku funkcja jest malejąca w przedziale otwartym , zatem jej pochodna w tym przedziale jest ujemna. Funkcja jest rosnąca w przedziale otwartym , zatem jej pochodna w tym przedziale jest dodatnia.
RH16hMHs0CG9U
Ćwiczenie 1
Uzupełnij tekst dotyczący związku monotoniczności z pochodną funckji. Dana jest funkcja wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, trzy x, zatem jej pochodna jest postaci 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Z łatwością można wyznaczyć przedziały dla których pochodna badanej funckji jest dodatnia lub ujemna. Wyznaczymy zatem miejsca zerowe pochodnej funckji f:
trójkąt, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli pierwiastek kwadratowy z trójkąt koniec pierwiastka, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Zatem x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.
Oznacza to, że pochodna jest dodatnia w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz ujemna w przedziale 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli badana funkcja rośnie w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka i maleje w przedziale1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.
Uzupełnij tekst dotyczący związku monotoniczności z pochodną funckji. Dana jest funkcja wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, trzy x, zatem jej pochodna jest postaci 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Z łatwością można wyznaczyć przedziały dla których pochodna badanej funckji jest dodatnia lub ujemna. Wyznaczymy zatem miejsca zerowe pochodnej funckji f:
trójkąt, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli pierwiastek kwadratowy z trójkąt koniec pierwiastka, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Zatem x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.
Oznacza to, że pochodna jest dodatnia w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz ujemna w przedziale 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, czyli badana funkcja rośnie w przedziałach 1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka i maleje w przedziale1. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. pięć, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. jeden, 6. dwadzieścia pięć, minus, dwadzieścia cztery, równa się, jeden, 7. trzy, 8. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, trzy, 10. trzynaście, 11. nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 12. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka.
