Na poniższym rysunku przedstawiono wykres pochodnej jednej z funkcji .
RFtq8JO08gGD5
RMQQH2gWkNJ7F
R1eDxvYLJ9teH
RgApYgMncgmbe1
Ćwiczenie 2
Rj2KqoaSuEzpy2
Ćwiczenie 3
2
Ćwiczenie 4
RIMjyyM0Dy7pH
RzBZ5TwstUd12
Wykres funkcji, która jest poprawną odpowiedzią przedstawia jednocześnie wykres pewnej funkcji i jej pochodnej. Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem jej pochodna powinna przyjmować tylko wartości dodatnie. Taką własność ma funkcja .
2
Ćwiczenie 5
Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji.
wykres 1
wykres 2
wykres 3
R3vM6d1UOi6iW
RSB6Mra5QpzDG
RXx0H0Hm8Fbwk
RaFJM0gSmVcOg
Uzasadnienie:
Funkcja jest rosnąca w przedziale , zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale , zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.
Funkcja jest rosnąca w przedziałach , zatem w tych przedziałach jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.
Funkcja jest rosnąca w przedziale zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia.
RQzqWYxL8EOHx
Ćwiczenie 5
R2XkU8EdG847p
Ćwiczenie 6
2
Ćwiczenie 6
Na wykresie przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji oraz zaznaczono punkty , , , , , .
RP25cdLEdEYU4
RC7u99PqMlFHS
Pochodna jest dodatnia w punktach i , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest rosnąca.
Pochodna jest ujemna w punktach i , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest malejąca.
Pochodna jest równa zero w punktach i , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest stała.
3
Ćwiczenie 7
Jakie wartości powinny przyjmować parametry i , aby funkcja była malejąca w przedziale ?
Aby funkcja była malejąca w przedziale jej pochodna powinna w tym przedziale być ujemna. Policzymy pochodną funkcji . Otrzymujemy . Musimy zatem rozwiązać następujące nierówności:
.
Mamy kolejno:
,
,
.
Ramiona paraboli są skierowane do góry, zatem funkcja będzie przyjmowała wartości ujemne w przedziale o końcach i . Stąd otrzymujemy, że , czyli oraz .
3
Ćwiczenie 8
Dla jakich wartości parametru funkcja jest rosnąca.
Pierwsze założenie jakie musimy nałożyć na parametr to założenie wynikające z własności funkcji logarytmicznej. Mamy zatem . Aby funkcja była rosnąca, jej pochodna powinna być dodatnia. Policzmy pochodną funkcji . Otrzymujemy kolejno: , stąd mamy . Wyrażenie jest dodatnie dla każdego , stąd wynika, że . Rozwiązując ostatnią nierówność otrzymujemy, że .