Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres pochodnej jednej z funkcji $f$ .

RFtq8JO08gGD5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 4 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f', który składa się z trzech części. Pierwsza z nich pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku najpierw wzdłuż osi x a następnie wychodzi poza płaszczyznę układu wzdłuż osi y. Drugi fragment również pojawia się w trzeciej ćwiartce i biegnie po łuku wzdłuż osi y następnie przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamkniecie nawiasu i dalej biegnie również po łuku wzdłuż osi y i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Ostatni fragment pojawia się z czwartej ćwiartce i biegnie po łuku wzdłuż osi y , a następnie biegnie wzdłuż osi x i wchodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RMQQH2gWkNJ7F

R1eDxvYLJ9teH

Jaka jest monotoniczność przedstawionych poniżej funckji i ich pochodnych? Uzupełnij luki odpowiednimi z podanych pojęć.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, trzy 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funckja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Jaka jest monotoniczność przedstawionych poniżej funckji i ich pochodnych? Uzupełnij luki odpowiednimi z podanych pojęć.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, trzy 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funckja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

Monotoniczność funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie. Pochodna tej funkcji to funkcja 1. ściśle rosnąca, 2. można określić tylko przedziałami, 3. nierosnąca, 4. stała, 5. nie jest można do określenia, 6. jest określona w całej dziedzinie, 7. ściśle malejąca, 8. monotoniczna przedziałami, 9. można określić tylko przedziałami, 10. stała, 11. niemalejąca, 12. ściśle malejąca, 13. jest określona w całej dziedzinie, 14. stała, 15. jest określona przedziałami, 16. jest określona w całej dziedzinie.

RgApYgMncgmbe1

Ćwiczenie 2

Rj2KqoaSuEzpy2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RIMjyyM0Dy7pH

RzBZ5TwstUd12

Przyporządkuj do podanej funckji opis jej pochodnej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm z x Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Pochodna jest ujemna na całej swojej dziedzinie., 2. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz jest ujemna w przedziale nawias, zero, przecinek, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu., 3. Pochodna jest dodatnia na przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji, która jest poprawną odpowiedzią przedstawia jednocześnie wykres pewnej funkcji i jej pochodnej. Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, zatem jej pochodna powinna przyjmować tylko wartości dodatnie. Taką własność ma funkcja $f (x) = e^{x}$ .

Ćwiczenie 5

Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji.

wykres 1	wykres 2	wykres 3
R3vM6d1UOi6iW Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 5 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu. Wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś x w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a prawe ramię w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.	RSB6Mra5QpzDG Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 10 do 0 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 4 do 6 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przez punkt nawias minus pięć średnik cztery, dalej rośnie również po łuku, a następnie maleje przechodząc przez punkt nawias minus trzy średnik cztery dalej biegnie również po łuku do osi x. Biegnąc po osi x przechodzi przez środek układu współrzędnych i zaczyna bieg wzdłuż osi y. Wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.	RXx0H0Hm8Fbwk Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku, następnie przechodzi do drugiej ćwiartki, gdzie ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę plus nieskończoności dalej biegnie po łuku i przechodzi przez środek układu współrzędnych, w czwartej ćwiartce układ wygina się w stronę minus nieskończoności, następnie przecina oś w i wychodzi po łuku poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

RaFJM0gSmVcOg

Uzasadnienie:

Funkcja $h$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$ , zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$ , zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.

Funkcja $g$ jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, - 4⟩$ , $⟨0, \infty)$ zatem w tych przedziałach jej pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale $⟨- 4, 0)$ zatem w tym przedziale jej pochodna jest ujemna.

Funkcja $i$ jest rosnąca w przedziale $(1, \infty)$ zatem w tym przedziale jej pochodna jest dodatnia.

RQzqWYxL8EOHx

Ćwiczenie 5

Połącz w pary pochodne z opisem funkcji. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja rośnie w przedziale nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu oraz maleje w przedziale nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu., 2. Funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie., 3. Funkcja rośnie w przedziałach nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu i maleje w przedziale nawias, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu.

R2XkU8EdG847p

Ćwiczenie 6

Na wykresie przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji oraz zaznaczono punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ .

RP25cdLEdEYU4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 3 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce układu i biegnie najpierw poziomo przez punkt A w miejscu odciętej o wartości cztery zaczyna biec po łuku przez punkt B, następnie przecina oś x i biegnie po łuku przez trzecią ćwiartkę, dalej biegnie po luku i przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również po łuku przez punkt Cm następnie osiąga swoje maksimum i dalej biegnie po łuku przez punkt D i środek układu współrzędnych, następnie biegnie po łuku przez czwartą ćwiartkę i przecina oś x biegnąc również po łuku przez punkt E, w miejscu odciętej równej jeden wykres zaczyna biec poziomo przez punkt F i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

RC7u99PqMlFHS

Pochodna jest dodatnia w punktach $C$ i $E$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest rosnąca.

Pochodna jest ujemna w punktach $B$ i $D$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest malejąca.

Pochodna jest równa zero w punktach $A$ i $F$ , bo w przedziałach do których należą te punkty funkcja jest stała.

Ćwiczenie 7

Jakie wartości powinny przyjmować parametry $p$ i $q$ , aby funkcja $f (x) = x^{3} + p x + q$ była malejąca w przedziale $(0, 1)$ ?

Aby funkcja $f (x) = x^{3} + p x + q$ była malejąca w przedziale $(0, 1)$ jej pochodna powinna w tym przedziale być ujemna. Policzymy pochodną funkcji $f (x)$ . Otrzymujemy $f' (x) = 3 x^{2} + p x$ . Musimy zatem rozwiązać następujące nierówności:

$3 x^{2} + p x < 0$ .

Mamy kolejno:

$3 x^{2} + p x < 0$ ,

$x (3 x + p) < 0$ ,

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = \frac{- p}{3}$ .

Ramiona paraboli $3 x^{2} + p x$ są skierowane do góry, zatem funkcja będzie przyjmowała wartości ujemne w przedziale o końcach $x_{1} = 0$ i $x_{2} = \frac{- p}{3}$ . Stąd otrzymujemy, że $\frac{- p}{3} = 1$ , czyli $p = - 3$ oraz $q \in ℝ$ .

Ćwiczenie 8

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f (x) = \ln a x^{3} + \ln a x + 1$ jest rosnąca.

Pierwsze założenie jakie musimy nałożyć na parametr $a$ to założenie wynikające z własności funkcji logarytmicznej. Mamy zatem $a > 0$ . Aby funkcja $f (x)$ była rosnąca, jej pochodna powinna być dodatnia. Policzmy pochodną funkcji $f$ . Otrzymujemy kolejno: $f' (x) = 3 \ln a x^{2} + \ln a > 0$ , stąd mamy $\ln a (3 x^{2} + 1) > 0$ . Wyrażenie $3 x^{2} + 1$ jest dodatnie dla każdego $x \in ℝ$ , stąd wynika, że $\ln a > 0$ . Rozwiązując ostatnią nierówność otrzymujemy, że $a > 1$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela