Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Nierówność wielomianowa
Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą z nierówności w postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n.

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postapimy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw rozłożymy wielomian Wx na czynniki i obliczymy jego pierwiastki.Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne, lub ujemne, lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków” lub metodą graficzną określamy znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach.

Przypomnijmy kilka wzorów skróconego mnożenia:

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a2-b2=a-ba+b

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

a+b2=a2+2ab+b2

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

a-b2=a2-2ab+b2

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń:

a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń:

a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń:

a3+b3=a+ba2-ab+b2

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń:

a3-b3=a-ba2+ab+b2
Przykład 1

Rozwiążemy nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową 25x4-1>0, rozkładając lewą stronę na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

25x4-1>0

5x2-15x2+1>0

5x-15x+15x2+1>0

Otrzymaliśmy postać iloczynową nierówności. Obliczymy miejsca zerowe wielomianu.

Wx=5x-15x+15x2+1

5x-1=0 lub 5x+1=0 lub 5x2+1=0

x=15 lub x=-15 , lub sprzeczność, bo 5x2+1>0

x=55 lub x=-55

R1dnawu0JEu6H
x-, -5555, 

Zbiorem rozwiązań nierówności jest -, -5555, .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność 4x6-4x4+x20.

4x6-4x4+x20

x24x4-4x2+10

Do dalszego rozkładu na czynniki wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

x22x2-120

x22x-12x+120

x22x-122x+120

Obliczymy miejsce zerowe wielomianu.

x2=0 lub 2x-12=0 lub 2x+12=0

x=0 (podwójny) lub x=22 (podwójny) lub x=-22 (podwójny)

Rbk67mXvqMC1C
x
Przykład 3

Rozwiążemy nierówność x6-125<0.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

a3-b3=a-ba2+ab+b2

x23-53<0

x2-5x22+5x2+25<0

(x5)(x+5)(x4+5x2+25)<0

x=5 lub x=-5

x4+5x2+25=0

x2=t, t0

t2+5t+25=0

=25-4·25=-75<0 – brak rozwiązań

Zatem równanie x4+5x2+25=0 również nie posiada rozwiązań.

Wyrażenie x4+5x2+25 przyjmuje zawsze wartości dodatnie.

RLDbU0hfk5RYK
x-5, 5
Przykład 4

Rozwiążemy nierówność x6-9x4+27x2-270.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3

x6-9x4+27x2-270

x23-3·x4·3+3·x2·9-330

x2-330

x2-30

x-3, 3

Zbiorem rozwiązań nierówności jest -3, 3.

Przykład 5

Rozwiąż nierówność x4-x2x4-x2.

1. D:x4-x20

x2x2-10

x=0 (podwójny) lub x=-1 lub x=1

R1a6x7tofKu79

x-, -11, 0

x4-x2x4-x2

00

xxD

x-, -11, 0

2. D:x4-x2<0

x-1, 00, 1

-x4+x2x4-x2

-2x4+2x20

-2x2(x2-1)0

x=0 (podwójny) lub x=-1 lub x=1

R1SCvMOv9gpi3

x-1, 1xD

x-1, 00, 1

Uwzględniając alternatywę rozwiązań 12.

x

Jest to nierówność tożsamościowa.

Słownik

nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa

każda z nierówności w postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
a2-b2=a-ba+b
wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń
wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń
a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3