Nierówność wielomianowa Definicja: Nierówność wielomianowa
Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą z nierówności w postaci:
W x > 0 lub W x ≥ 0 lub W x < 0 lub W x ≤ 0
gdzie:W – jest wielomianem stopnia n .
Aby rozwiązać nierówność wielomianową postapimy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw rozłożymy wielomian W x na czynniki i obliczymy jego pierwiastki.Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne, lub ujemne, lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków” lub metodą graficzną określamy znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach.
Przypomnijmy kilka wzorów skróconego mnożenia Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:
a 2 - b 2 = a - b a + b
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:
a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń:
a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń:
a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń:
a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń:
a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Przykład 1
Rozwiążemy nierówność wielomianową nierówność wielomianowa nierówność wielomianową 25 x 4 - 1 > 0 , rozkładając lewą stronę na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń .
25 x 4 - 1 > 0
5 x 2 - 1 5 x 2 + 1 > 0
5 x - 1 5 x + 1 5 x 2 + 1 > 0
Otrzymaliśmy postać iloczynową nierówności. Obliczymy miejsca zerowe wielomianu.
W x = 5 x - 1 5 x + 1 5 x 2 + 1
5 x - 1 = 0 lub 5 x + 1 = 0 lub 5 x 2 + 1 = 0
x = 1 5 lub x = - 1 5 , lub sprzeczność, bo 5 x 2 + 1 > 0
x = 5 5 lub x = - 5 5
R1dnawu0JEu6H Ilustracja przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi na niej dwiema liczbami: - 5 5 oraz 5 5 . Obie liczby zaznaczono niezamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą w kształcie spłaszczonej sinusoidy, która przechodzi przez oba punkty w następujący sposób: od minus nieskończoności do punktu - 5 5 wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami umiejscowionymi między osią a tą częścią wykresu. Między punktami - 5 5 i 5 5 wykres przechodzi pod osią, a od punktu 5 5 do plus nieskończoności wykres znajduje się nad osią, co również analogicznie oznaczono plusami.
x ∈ - ∞ , - 5 5 ∪ 5 5 , ∞
Zbiorem rozwiązań nierówności jest - ∞ , - 5 5 ∪ 5 5 , ∞ .
Przykład 2
Rozwiążemy nierówność 4 x 6 - 4 x 4 + x 2 ≥ 0 .
4 x 6 - 4 x 4 + x 2 ≥ 0
x 2 4 x 4 - 4 x 2 + 1 ≥ 0
Do dalszego rozkładu na czynniki wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
x 2 2 x 2 - 1 2 ≥ 0
x 2 2 x - 1 2 x + 1 2 ≥ 0
x 2 2 x - 1 2 2 x + 1 2 ≥ 0
Obliczymy miejsce zerowe wielomianu.
x 2 = 0 lub 2 x - 1 2 = 0 lub 2 x + 1 2 = 0
x = 0 (podwójny) lub x = 2 2 (podwójny) lub x = - 2 2 (podwójny)
Rbk67mXvqMC1C Ilustracja przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi na niej trzema liczbami: - 2 2 , 0 oraz 2 2 . Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysnuku poprowadzono także krzywą w ksztłacie podobnym do wykresu funkcji moduł z sinus x. Oznacza to, że wykres leży tylko nad osią lub na osi. Wykres podzielony jest na cztery części. Pierwsza z nich przebiega nad osią od minus nieskończoności do punktu - 2 2 , druga biegnie nad osią od punktu - 2 2 do zera, trzecia biegie nad osią od zera do 2 2 . Czwarta część biegnie nad osią od punktu 2 2 do plus nieskończoności. Fakt, że wykres znajduje się tylko nad osią oznaczono pomiędzy osią a wykresem plusami przy każdej części wykresu.
x ∈ ℝ
Przykład 3
Rozwiążemy nierówność x 6 - 125 < 0 .
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.
a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
x 2 3 - 5 3 < 0
x 2 - 5 x 2 2 + 5 x 2 + 25 < 0
( x − 5 ) ( x + 5 ) ( x 4 + 5 x 2 + 25 ) < 0
x = 5 lub x = - 5
x 4 + 5 x 2 + 25 = 0
x 2 = t , t ≥ 0
t 2 + 5 t + 25 = 0
∆ = 25 - 4 · 25 = - 75 < 0 – brak rozwiązań
Zatem równanie x 4 + 5 x 2 + 25 = 0 również nie posiada rozwiązań.
Wyrażenie x 4 + 5 x 2 + 25 przyjmuje zawsze wartości dodatnie.
RLDbU0hfk5RYK Ilustracja przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi na niej dwiema liczbami: - 5 oraz 5 . Obie liczby zaznaczono niezamalowanym kółkiem. Na rysnuku poprowadzono także krzywą w kształcie spłaszczonej sinusoidy, która przechodzi przez oba punkty w następujący sposób: od minus nieskończoności do punktu - 5 wykres znajduje się nad osią, Między punktami - 5 i 5 wykres przechodzi pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. Dalej od punktu 5 do plus nieskończoności wykres znajduje się nad osią.
x ∈ - 5 , 5
Przykład 4
Rozwiążemy nierówność x 6 - 9 x 4 + 27 x 2 - 27 ≤ 0 .
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń .
a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
x 6 - 9 x 4 + 27 x 2 - 27 ≤ 0
x 2 3 - 3 · x 4 · 3 + 3 · x 2 · 9 - 3 3 ≤ 0
x 2 - 3 3 ≤ 0
x 2 - 3 ≤ 0
x ∈ - 3 , 3
Zbiorem rozwiązań nierówności jest - 3 , 3 .
Przykład 5
Rozwiąż nierówność x 4 - x 2 ≥ x 4 - x 2 .
1. D : x 4 - x 2 ≥ 0
x 2 x 2 - 1 ≥ 0
x = 0 (podwójny) lub x = - 1 lub x = 1
R1a6x7tofKu79 Ilustracja przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi na niej trzema liczbami: - 1 , 0 oraz 1 . Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą, która biegnie nad osią od minus nieskończoności do punktu - 1 . Fakt ten zaznaczono plusami między osią a wykresem. Dalej od punktu - 1 do zera wykres biegnie pod osią. Odbija się w zerze i dalej biegnie pod osią aż do punktu 1 . Od punktu 1 do plus nieskończoności wykres biegnie nad osią, co analogicznie oznaczono plusami.
x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞ ∪ 0
x 4 - x 2 ≥ x 4 - x 2
0 ≥ 0
x ∈ ℝ i x ∈ D
x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞ ∪ 0
2. D : x 4 - x 2 < 0
x ∈ - 1 , 0 ∪ 0 , 1
- x 4 + x 2 ≥ x 4 - x 2
- 2 x 4 + 2 x 2 ≥ 0
- 2 x 2 ( x 2 - 1 ) ≥ 0
x = 0 (podwójny) lub x = - 1 lub x = 1
R1SCvMOv9gpi3 Ilustracja przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi na niej trzema liczbami: - 1 , 0 oraz 1 . Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą, która biegnie pod osią od minus nieskończoności do punktu - 1 . Dalej od punktu - 1 do zera wykres biegnie nad osią. Fakt ten zaznaczono plusami między osią a wykresem. Wykres odbija się w zerze i dalej biegnie nad osią aż do punktu 1 , co analogicznie oznaczono plusami. Od punktu 1 do plus nieskończoności wykres biegnie pod osią.
x ∈ - 1 , 1 i x ∈ D
x ∈ - 1 , 0 ∪ 0 , 1
Uwzględniając alternatywę rozwiązań 1 i 2 .
x ∈ ℝ
Jest to nierówność tożsamościowa.
Słownik nierówność wielomianowa nierówność wielomianowa
każda z nierówności w postaci:
W x > 0 lub W x ≥ 0 lub W x < 0 lub W x ≤ 0
gdzie:W – jest wielomianem stopnia n
wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń