Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą z nierówności w postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postapimy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw rozłożymy wielomian $W\left(x\right)$ na czynniki i obliczymy jego pierwiastki.Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości $x$ wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne, lub ujemne, lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków” lub metodą graficzną określamy znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach.

Rozwiążemy nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową $25x^4-1>0$, rozkładając lewą stronę na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$25x^4-1>0$

$\left(5x^2-1\right)\left(5x^2+1\right)>0$

$\left(\sqrt{5}x-1\right)\left(\sqrt{5}x+1\right)\left(5x^2+1\right)>0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową nierówności. Obliczymy miejsca zerowe wielomianu.

$W\left(x\right)=\left(\sqrt{5}x-1\right)\left(\sqrt{5}x+1\right)\left(5x^2+1\right)$

$\sqrt{5}x-1=0$ lub $\sqrt{5}x+1=0$ lub $5x^2+1=0$

$x=\frac{1}{\sqrt{5}}$ lub $x=-\frac{1}{\sqrt{5}}$ , lub sprzeczność, bo $5x^2+1>0$

$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $x=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

R1dnawu0JEu6H

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ oraz $\frac{\sqrt{5}}{5}$. Obie liczby zaznaczono niezamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą w kształcie spłaszczonej sinusoidy, która przechodzi przez oba punkty w następujący sposób: od minus nieskończoności do punktu $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami umiejscowionymi między osią a tą częścią wykresu. Między punktami $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ i $\frac{\sqrt{5}}{5}$ wykres przechodzi pod osią, a od punktu $\frac{\sqrt{5}}{5}$ do plus nieskończoności wykres znajduje się nad osią, co również analogicznie oznaczono plusami.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $4x^6-4x^4+x^2\ge 0$.

$4x^6-4x^4+x^2\ge 0$

$x^2\left(4x^4-4x^2+1\right)\ge 0$

Do dalszego rozkładu na czynniki wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$x^2{\left(2x^2-1\right)}^2\ge 0$

$x^2{\left[\left(\sqrt{2}x-1\right)\left(\sqrt{2}x+1\right)\right]}^2\ge 0$

$x^2{\left(\sqrt{2}x-1\right)}^2{\left(\sqrt{2}x+1\right)}^2\ge 0$

Obliczymy miejsce zerowe wielomianu.

$x^2=0$ lub ${\left(\sqrt{2}x-1\right)}^2=0$ lub ${\left(\sqrt{2}x+1\right)}^2=0$

$x=0$ (podwójny) lub $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (podwójny) lub $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (podwójny)

Rbk67mXvqMC1C

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi na niej trzema liczbami: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $0$ oraz $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysnuku poprowadzono także krzywą w ksztłacie podobnym do wykresu funkcji moduł z sinus x. Oznacza to, że wykres leży tylko nad osią lub na osi. Wykres podzielony jest na cztery części. Pierwsza z nich przebiega nad osią od minus nieskończoności do punktu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, druga biegnie nad osią od punktu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ do zera, trzecia biegie nad osią od zera do $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Czwarta część biegnie nad osią od punktu $\frac{\sqrt{2}}{2}$ do plus nieskończoności. Fakt, że wykres znajduje się tylko nad osią oznaczono pomiędzy osią a wykresem plusami przy każdej części wykresu.

Rozwiążemy nierówność $x^6-125<0$.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

${\left(x^2\right)}^3-5^3<0$

$\left(x^2-5\right)\left[{\left(x^2\right)}^2+5x^2+25\right]<0$

$(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^4+5x^2+25)<0$

$x=\sqrt{5}$ lub $x=-\sqrt{5}$

$x^4+5x^2+25=0$

$x^2=t$, $t\ge 0$

$t^2+5t+25=0$

$∆=25-4·25=-75<0$ – brak rozwiązań

Zatem równanie $x^4+5x^2+25=0$ również nie posiada rozwiązań.

Wyrażenie $x^4+5x^2+25$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie.

RLDbU0hfk5RYK

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi na niej dwiema liczbami: $-\sqrt{5}$ oraz $\sqrt{5}$. Obie liczby zaznaczono niezamalowanym kółkiem. Na rysnuku poprowadzono także krzywą w kształcie spłaszczonej sinusoidy, która przechodzi przez oba punkty w następujący sposób: od minus nieskończoności do punktu $-\sqrt{5}$ wykres znajduje się nad osią, Między punktami $-\sqrt{5}$ i $\sqrt{5}$ wykres przechodzi pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. Dalej od punktu $\sqrt{5}$ do plus nieskończoności wykres znajduje się nad osią.

Rozwiążemy nierówność $x^6-9x^4+27x^2-27\le 0$.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$x^6-9x^4+27x^2-27\le 0$

${\left(x^2\right)}^3-3·x^4·3+3·x^2·9-3^3\le 0$

${\left(x^2-3\right)}^3\le 0$

$x^2-3\le 0$

Zbiorem rozwiązań nierówności jest .

Rozwiąż nierówność $\left|x^4-x^2\right|\ge x^4-x^2$.

1. $D:x^4-x^2\ge 0$

$x^2\left(x^2-1\right)\ge 0$

$x=0$ (podwójny) lub $x=-1$ lub $x=1$

R1a6x7tofKu79

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi na niej trzema liczbami: $-1$, $0$ oraz $1$. Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą, która biegnie nad osią od minus nieskończoności do punktu $-1$. Fakt ten zaznaczono plusami między osią a wykresem. Dalej od punktu $-1$ do zera wykres biegnie pod osią. Odbija się w zerze i dalej biegnie pod osią aż do punktu $1$. Od punktu $1$ do plus nieskończoności wykres biegnie nad osią, co analogicznie oznaczono plusami.

$x\in \left(-\infty , -1\right.⟩\cup \left.⟨1, \infty \right)\cup \left\{0\right\}$

$x^4-x^2\ge x^4-x^2$

$0\ge 0$

$x\in \mathrm{ℝ}$ i $x\in D$

$x\in \left(-\infty , -1\right.⟩\cup \left.⟨1, \infty \right)\cup \left\{0\right\}$

2. $D:x^4-x^2<0$

$x\in \left(-1, 0\right)\cup \left(0, 1\right)$

$-x^4+x^2\ge x^4-x^2$

$-2x^4+2x^2\ge 0$

$-2x^2(x^2-1)\ge 0$

$x=0$ (podwójny) lub $x=-1$ lub $x=1$

R1SCvMOv9gpi3

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi na niej trzema liczbami: $-1$, $0$ oraz $1$. Wszystkie liczby zaznaczono zamalowanym kółkiem. Na rysunku poprowadzono także krzywą, która biegnie pod osią od minus nieskończoności do punktu $-1$. Dalej od punktu $-1$ do zera wykres biegnie nad osią. Fakt ten zaznaczono plusami między osią a wykresem. Wykres odbija się w zerze i dalej biegnie nad osią aż do punktu $1$, co analogicznie oznaczono plusami. Od punktu $1$ do plus nieskończoności wykres biegnie pod osią.

$x\in ⟨-1, 1⟩$ i $x\in D$

$x\in \left(-1, 0\right)\cup \left(0, 1\right)$

Uwzględniając alternatywę rozwiązań $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$.

$x\in \mathrm{ℝ}$

Jest to nierówność tożsamościowa.

każda z nierówności w postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$