Przeczytaj
Warto przeczytać
W najczęściej stosowanych akceleratorach naładowanych cząstek – akceleratorachakceleratorach cyklicznych - do przyspieszania cząstek używamy zarówno pola elektrycznego, jak i magnetycznego. W pierwszej chwili może wydawać się to dziwne, bo przecież pole magnetyczne nie jest w stanie przyspieszyć cząstki.
Siła magnetycznaSiła magnetyczna, zwana często siłą Lorentza, działająca na cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym, jest skierowana prostopadle do wektora prędkości , a więc i prostopadle do wektora przesunięcia . Jeśli zapiszemy definicję pracy siły jako , to widzimy, że praca siły działającej pod kątem 90° do przesunięcia ciała jest równa zeru. Wobec tego również i praca siły magnetycznej jest (zawsze!) równa zeru. Siła ta nie może zmienić energii kinetycznej naładowanej cząstki – nie może jej przyspieszyć. Za to zmienia kierunek jej ruchu! I ten fakt jest właśnie wykorzystany w akceleratorach cyklicznych.
Ideę przyspieszania naładowanej cząstki w polu elektrycznym przedstawiono na Rys. 1.
Cząstka dodatnio naładowana, wpada w obszar pola elektrycznego. Działa na nią siła elektrycznasiła elektryczna skierowana tak, jak linie pola (wektor natężenia pola elektrycznego ) zgodnie z prędkością cząstki – cząstka przyspiesza.
Zastosujmy podejście energetyczne. Siła elektryczna wykonuje dodatnią pracę nad cząstką. Praca ta, jako praca siły wypadkowej działającej na cząstkę równa jest przyrostowi energii kinetycznej cząstki. Zapiszmy:
Pracę pola elektrycznego możemy wyrazić poprzez różnicę potencjałów między punktami pola, jakie przekracza cząstka: , gdzie jest potencjałem elektrody dodatniej, a potencjałem elektrody ujemnej. Różnica tych potencjałów wynosi U.
Największe wytworzone napięcie uzyskiwane przy zastosowaniu generatorów Van de Graafa przykładane do modułu przyspieszającego cząstkę to ok. 10 MV. Tak więc proton opuszczający taki moduł uzyska energię kinetyczną 10 MeV. Jeśli chcemy nadać mu większą energię, to musimy wielokrotnie „przepuścić” go przez moduł przyspieszający. Tak się dzieje np. w akceleratorze liniowym, w którym moduły ustawione są w szereg (dokładniejszy opis znajdziesz w e‑materiale „Przyspieszamy cząstki”).
Można także postąpić sprytniej. Można wykorzystać pole magnetyczne do zawrócenia cząstki i spowodowanie przejścia przez ten sam moduł przyspieszający. Oczywiście można tak czynić wielokrotnie powodując wielokrotny wzrost energii kinetycznej cząstki. Ostatecznie cząstka uzyska energię kinetyczną , gdzie n jest liczbą epizodów przejść cząstki przez pole elektryczne. Ten genialny pomysł zawdzięczamy twórcy cyklotronu Ernestowi Lawrence’owi, który za swój wynalazek otrzymał w 1939 roku nagrodę Nobla.
Cyklotron zasadniczo składa się z pary duantów. To są metalowe, wydrążone elektrody w kształcie litery D każda. Najlepiej wyobrazić sobie je jako części płaskiej metalowej puszki przekrojonej wzdłuż średnicy o nieco rozsuniętych częściach. Doskonale są widoczne na rysunku patentowym Laurence’a. Duanty znajdują się w jednorodnym polu magnetycznym o liniach skierowanych prostopadle do płaszczyzny duantów. W centrum urządzenia znajduje się źródło jonów, które mają być przyspieszane.
Załóżmy, że jon został ze źródła wysłany w głąb duantu. Tam, jak w puszce Faradaya, nie ma pola elektrycznego. Jest tylko pole magnetyczne, pod wpływem którego jon zakreśla półokrąg o promieniu r i trafia w obszar między duantami, gdzie jest już obecne pole elektryczne. Wektor natężenia pola musi być skierowany zgodnie z prędkością dodatniego jonu tak, aby go w szczelinie między duantami przyspieszyć. Przyspieszony jon wlatuje do drugiego duantu i zakreśla znowu półokrąg, tym razem o nieco większym promieniu (porusza się z większą prędkością) i wpada do szczeliny między duantami, gdzie kierunek pola elektrycznego musi być, w stosunku do poprzedniego, zmieniony na przeciwny, bo w przeciwną stronę porusza się jon. Jak widać, niezbędne jest zmienne źródło napięcia. Symbolicznie jest to pokazane na Rys. 4. w postaci prostokątnego sygnału napięciowego (niebieski wykres).
Obliczmy promień półokręgu, po jakim porusza się jon wewnątrz duantu. Na jon działa siła magnetyczna
ale
więc
Siła magnetyczna działa zawsze prostopadle do wektora prędkości, a więc jest siłą dośrodkową, wobec tego:
stąd promień
Jak już mówiliśmy, a co zauważymy patrząc na wyprowadzoną zależność, promień toru rośnie wraz z prędkością jonu. Ale zobaczmy, co się dzieje z okresem obiegu.
bo mamy do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu (załóżmy na chwilę, że zakreślany jest pełny okrąg). Podstawmy wyznaczoną zależność opisującą r. Otrzymamy:
Ten wynik jest rewelacyjny i kluczowy dla działania cyklotronu!
Okazuje się, że okres obiegu jonu nie zależy od jego prędkości. Jest zatem taki sam dla obu połówek okręgu, mimo, że mają one różne promienie. To ułatwia znacznie konstrukcję cyklotronu – przyłożone napięcie przemienne (nie musi być prostokątne) ma stałą częstotliwość równą częstotliwości obiegu jonu. Częstotliwość tę nazywa się cyklotronową. Jest równa odwrotności wyznaczonego okresu:
Zauważ, że mamy tu do czynienia z rodzajem rezonansu. Na Rys. 5. pokazano odpowiednie momenty przyspieszania jonu w szczelinie. Widoczna jest równość okresów (częstotliwości) zmian napięcia i ruchu po „okręgu”.
Żeby wyznaczyć energię kinetyczną jonu, nie musimy wcale wiedzieć, ile razy przekroczy on szczelinę między duantami. Energia kinetyczna jest przecież związana z prędkością, a ta z kolei z promieniem toru przyspieszanego jonu. Zobaczmy:
Maksymalną energię jon uzyska tuż przed opuszczeniem duantu, zatem maksymalna energia kinetyczna uzyskana w cyklotronie:
gdzie R oznacza promień duantów cyklotronu.
Wspomniany we wstępie akcelerator LHC w CERN nie jest oczywiście cyklotronem. Występujące w nim efekty relatywistyczne (prędkości protonów są porównywalne z prędkością światła c) powodują, że częstotliwość zmian pola elektrycznego nie jest stała, ale główna idea pozostaje ta sama: pole elektryczne przyspiesza cząstki, pole magnetyczne powoduje ich ruch po okręgu.
Słowniczek
(ang.: electric force) – siła działająca na ładunek znajdujący się w polu elektrycznym opisana równaniem wektorowym: , gdzie q jest ładunkiem (z uwzględnieniem znaku), a jest wektorem natężenia pola elektrycznego w punkcie, w którym znajduje się ładunek.
(ang.: magnetic force) – inaczej zwana siłą Lorentza (ściślej jej częścią magnetyczną) jest siłą działającą na poruszający się ładunek w polu magnetycznym; opisana jest równaniem , gdzie q jest ładunkiem (z uwzględnieiem znaku), jest wektorem prędkości ładunku, a jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie, w którym znajduje sie ładunek.
Wartośc tej siły obliczana jest w następujący sposób:
a kierunek wyznaczamy stosując regułę śruby prawoskrętnej, „znanej też jako reguła prawej ręki”, co symbolicznie pokazano na rysunku:
(ang.: accelerator) – urządzenie służące do przyspieszania cząstek elementarnych lub jonów na ogół do dużych prędkości - bliskich prędkości światła w próżni. Cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym są przyspieszane w nim za pomocą pola elektrycznego.