Warto przeczytać

W najczęściej stosowanych akceleratorach naładowanych cząstek – akceleratorachAkceleratorakceleratorach cyklicznych - do przyspieszania cząstek używamy zarówno pola elektrycznego, jak i magnetycznego. W pierwszej chwili może wydawać się to dziwne, bo przecież pole magnetyczne nie jest w stanie przyspieszyć cząstki.

Siła magnetycznaSiła magnetycznaSiła magnetyczna, zwana często siłą Lorentza, działająca na cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym, jest skierowana prostopadle do wektora prędkości ${\displaystyle \overrightarrow{\upsilon }}$, a więc i prostopadle do wektora przesunięcia ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{\Delta }r}}$. Jeśli zapiszemy definicję pracy siły ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$ jako ${\displaystyle W_F=F\cdot \mathrm{\Delta }r\cdot cos\sphericalangle (\overrightarrow{F},\overrightarrow{\mathrm{\Delta }r})}$, to widzimy, że praca siły działającej pod kątem 90° do przesunięcia ciała jest równa zeru. Wobec tego również i praca siły magnetycznej jest (zawsze!) równa zeru. Siła ta nie może zmienić energii kinetycznej naładowanej cząstki – nie może jej przyspieszyć. Za to zmienia kierunek jej ruchu! I ten fakt jest właśnie wykorzystany w akceleratorach cyklicznych.

Ideę przyspieszania naładowanej cząstki w polu elektrycznym przedstawiono na Rys. 1.

Rtz94rN5Y3sjX

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwa pionowe odcinki, symbolizujące okładki kondensatora płaskiego. Przy lewym odcinku na górze zapisano znak plus, a na dole literę wielkie V z indeksem górnym plus. Przy prawym odcinku na górze zapisano znak minus, a na dole literę wielkie V z indeksem górnym minus. Między odcinkami narysowano poziome linie ze strzałkami skierowanymi w prawo. Przy liniach zapisano literę wielkie E ze strzałką nad nią. Między liniami narysowano kółko ze znakiem plus symbolizujące cząstkę o ładunku dodatnim. Obok niego zapisano literę małe q. Do kółka przyłożony jest wektor oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią.

Cząstka dodatnio naładowana, wpada w obszar pola elektrycznego. Działa na nią siła elektrycznaSiła elektrycznasiła elektryczna skierowana tak, jak linie pola (wektor natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$) zgodnie z prędkością cząstki – cząstka przyspiesza.

Zastosujmy podejście energetyczne. Siła elektryczna wykonuje dodatnią pracę nad cząstką. Praca ta, jako praca siły wypadkowej działającej na cząstkę równa jest przyrostowi energii kinetycznej cząstki. Zapiszmy:

Pracę pola elektrycznego możemy wyrazić poprzez różnicę potencjałów między punktami pola, jakie przekracza cząstka: $W_{\mathrm{\text{el}}}=q\cdot (V^{+}-V^{-})$, gdzie $V^{+}$jest potencjałem elektrody dodatniej, a $V^{-}$ potencjałem elektrody ujemnej. Różnica tych potencjałów wynosi U.

Największe wytworzone napięcie uzyskiwane przy zastosowaniu generatorów Van de Graafa przykładane do modułu przyspieszającego cząstkę to ok. 10 MV. Tak więc proton opuszczający taki moduł uzyska energię kinetyczną 10 MeV. Jeśli chcemy nadać mu większą energię, to musimy wielokrotnie „przepuścić” go przez moduł przyspieszający. Tak się dzieje np. w akceleratorze liniowym, w którym moduły ustawione są w szereg (dokładniejszy opis znajdziesz w e‑materiale „Przyspieszamy cząstki”).

Można także postąpić sprytniej. Można wykorzystać pole magnetyczne do zawrócenia cząstki i spowodowanie przejścia przez ten sam moduł przyspieszający. Oczywiście można tak czynić wielokrotnie powodując wielokrotny wzrost energii kinetycznej cząstki. Ostatecznie cząstka uzyska energię kinetyczną ${\displaystyle E_k=neU}$, gdzie n jest liczbą epizodów przejść cząstki przez pole elektryczne. Ten genialny pomysł zawdzięczamy twórcy cyklotronu Ernestowi Lawrence’owi, który za swój wynalazek otrzymał w 1939 roku nagrodę Nobla.

R3fwPOcKYwLTv

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia dłoń trzymającą okrągły przedmiot, który jest niewiele mniejszy od dłoni. Krążek przecięty jest wzdłuż średnicy, obie połówki są nieco rozsunięte, a całość otoczona jest obręczą. Do obręczy w sześciu miejscach przymocowane są wypustki o różnych kształtach.

RIZMgvBRSFGRN

Rys. 3. Rysunek składa się z dwóch części. Lewa część to płaski walec, widoczny z góry jako koło przecięte na pół poziomą średnicą, a połówki są nieco rozsunięte. Górna połowa koła oznaczona jest cyfrą jeden, dolna cyfrą dwa. Z punktu w przerwie między połówkami koła po lewej stronie, blisko środka, zaczyna się tor przyspieszanego jonu. Tor skierowany jest pionowo do góry. Po wejściu w obszar górnej połówki koła tor zakręca w prawo i ma kształt połowy okręgu. Po przejściu przez przerwę tor wchodzi do dolnej połówki koła, zakręca w lewo i dalej jest połówką okręgu o większym promieniu niż poprzednio. Sytuacja powtarza się i każda kolejna połowa okręgu jest coraz większa. W końcu tor osiąga brzeg koła. Strzałka skierowana na górną połowę koła opisana jest Magnetic Field. Strzałka wskazująca tor blisko brzegu koła podpisana jest Hight Speed Ions. Linia łącząca brzeg górnej i dolnej połówki koła podpisana jest Hight Frequency Oscillator. Prawa część rysunku to ten sam płaski walec ustawiony pionowo i pokazany w od strony ściany bocznej. Przerwa między połówkami walca jest pozioma. Nad nią i pod nią znajduje się pionowy długi i wąski prostokąt, czyli dwie połowy walca. W przerwie między połówkami narysowano pionowe linie podpisane jako Electric Lines of Force. W dolnej i górnej połówce narysowano poziome linie podpisane jako Magnetic Lines of Force.

R1HMzuvJuSDmd

Rys. 4. Na rysunku pokazano w perspektywie ustawiony pionowo szary walec. Na nim leży jasny, płaski walec z wąską przerwą wzdłuż średnicy Z górnej powierzchni walca wychodzą pionowe linie zakończone strzałkami skierowanymi do góry i opisane literą wielkie B ze strzałką nad nią. Przerywaną czerwoną linią narysowano tor cząstki zaczynający się blisko środka walca i składający się z połówek okręgów o coraz większym promieniu. Przy brzegu jasnego walca tor wychodzi na zewnątrz, gdzie za jego końcem narysowano małe kółko ze znakiem plus, które symbolizuje dodatnio naładowaną cząstkę. Na lewo od przerwy między połówkami walca narysowano przedstawiony symbolicznie prostokątny sygnał napięciowy. Jest to niebieski wykres położony wzdłuż poziomej osi, składający się z połówek prostokątów położonych naprzemiennie nad i pod osią.

Cyklotron zasadniczo składa się z pary duantów. To są metalowe, wydrążone elektrody w kształcie litery D każda. Najlepiej wyobrazić sobie je jako części płaskiej metalowej puszki przekrojonej wzdłuż średnicy o nieco rozsuniętych częściach. Doskonale są widoczne na rysunku patentowym Laurence’a. Duanty znajdują się w jednorodnym polu magnetycznym o liniach skierowanych prostopadle do płaszczyzny duantów. W centrum urządzenia znajduje się źródło jonów, które mają być przyspieszane.

Załóżmy, że jon został ze źródła wysłany w głąb duantu. Tam, jak w puszce Faradaya, nie ma pola elektrycznego. Jest tylko pole magnetyczne, pod wpływem którego jon zakreśla półokrąg o promieniu r i trafia w obszar między duantami, gdzie jest już obecne pole elektryczne. Wektor natężenia pola ${\displaystyle \overrightarrow{E}}$ musi być skierowany zgodnie z prędkością dodatniego jonu tak, aby go w szczelinie między duantami przyspieszyć. Przyspieszony jon wlatuje do drugiego duantu i zakreśla znowu półokrąg, tym razem o nieco większym promieniu (porusza się z większą prędkością) i wpada do szczeliny między duantami, gdzie kierunek pola elektrycznego musi być, w stosunku do poprzedniego, zmieniony na przeciwny, bo w przeciwną stronę porusza się jon. Jak widać, niezbędne jest zmienne źródło napięcia. Symbolicznie jest to pokazane na Rys. 4. w postaci prostokątnego sygnału napięciowego (niebieski wykres).

Obliczmy promień półokręgu, po jakim porusza się jon wewnątrz duantu. Na jon działa siła magnetyczna

ale

więc

Siła magnetyczna działa zawsze prostopadle do wektora prędkości, a więc jest siłą dośrodkową, wobec tego:

stąd promień

Jak już mówiliśmy, a co zauważymy patrząc na wyprowadzoną zależność, promień toru rośnie wraz z prędkością jonu. Ale zobaczmy, co się dzieje z okresem obiegu.

bo mamy do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu (załóżmy na chwilę, że zakreślany jest pełny okrąg). Podstawmy wyznaczoną zależność opisującą r. Otrzymamy:

Ten wynik jest rewelacyjny i kluczowy dla działania cyklotronu!

Okazuje się, że okres obiegu jonu nie zależy od jego prędkości. Jest zatem taki sam dla obu połówek okręgu, mimo, że mają one różne promienie. To ułatwia znacznie konstrukcję cyklotronu – przyłożone napięcie przemienne (nie musi być prostokątne) ma stałą częstotliwość równą częstotliwości obiegu jonu. Częstotliwość tę nazywa się cyklotronową. Jest równa odwrotności wyznaczonego okresu:

Zauważ, że mamy tu do czynienia z rodzajem rezonansu. Na Rys. 5. pokazano odpowiednie momenty przyspieszania jonu w szczelinie. Widoczna jest równość okresów (częstotliwości) zmian napięcia i ruchu po „okręgu”.

Rl6uPFRa5G0fn

Rys. 5. Rysunek przedstawia płaski walec, widoczny z góry jako koło przecięte na pół pionową średnicą. Połówki te zwane duantami, są nieco rozsunięte. Obie połówki połączone są przewodami ze źródłem napięcia przemiennego, które jest przedstawione symbolicznie jako mały prostokąt z falką w środku. Narysowano początkowy fragment toru przyspieszanej cząstki, który składa się z małego półokręgu w prawym duancie, większego półokręgu w lewym duancie i największego półokręgu w prawym duancie. Pierwsze przejście cząstki przez przerwę z lewego do prawego duanta oznaczone jest cyfrą jeden. Drugie przejście cząstki przez przerwę z lewego do prawego duanta oznaczone jest cyfrą dwa. Trzecie przejście cząstki przez przerwę z lewego do prawego duanta oznaczone jest cyfrą trzy. Z prawej strony narysowano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas oznaczony litera małe t, a na pionowej osi odłożono napięcie oznaczone literą wielkie U. Wykres to sinusoida zaczynająca się w punkcie przecięcia osi i skierowana w prawo i w górę do maksimum nad osią poziomą oznaczonego cyfrą jeden. Dalej sinusoida osiąga minimum pod osią poziomą, które oznaczono cyfrą dwa. Kolejne maksimum oznaczone jest cyfrą trzy. Między pierwszym i drugim maksimum narysowano poziomy odcinek zakończony z obu stron strzałkami i oznaczony literą wielkie T.

Żeby wyznaczyć energię kinetyczną jonu, nie musimy wcale wiedzieć, ile razy przekroczy on szczelinę między duantami. Energia kinetyczna jest przecież związana z prędkością, a ta z kolei z promieniem toru przyspieszanego jonu. Zobaczmy:

Maksymalną energię jon uzyska tuż przed opuszczeniem duantu, zatem maksymalna energia kinetyczna uzyskana w cyklotronie:

gdzie R oznacza promień duantów cyklotronu.

Wspomniany we wstępie akcelerator LHC w CERN nie jest oczywiście cyklotronem. Występujące w nim efekty relatywistyczne (prędkości protonów są porównywalne z prędkością światła c) powodują, że częstotliwość zmian pola elektrycznego nie jest stała, ale główna idea pozostaje ta sama: pole elektryczne przyspiesza cząstki, pole magnetyczne powoduje ich ruch po okręgu.

Słowniczek

Siła magnetyczna

Siła magnetyczna

(ang.: magnetic force) – inaczej zwana siłą Lorentza (ściślej jej częścią magnetyczną) jest siłą działającą na poruszający się ładunek w polu magnetycznym; opisana jest równaniem ${\displaystyle \overrightarrow{F_{mag}}=q\cdot (\overrightarrow{\upsilon }\times \overrightarrow{B})}$, gdzie q jest ładunkiem (z uwzględnieiem znaku), ${\displaystyle \overrightarrow{\upsilon }}$ jest wektorem prędkości ładunku, a $\vec{B}$ jest wektorem indukcji magnetycznej w punkcie, w którym znajduje sie ładunek.

Wartośc tej siły obliczana jest w następujący sposób:

$F_{\text{mag}} = |q|vB\sin\measuredangle(\vec{v}, \vec{B}) = |q|vB\sin\alpha\ ,$

a kierunek wyznaczamy stosując regułę śruby prawoskrętnej, „znanej też jako reguła prawej ręki”, co symbolicznie pokazano na rysunku:

R1RqJTes3LC0u

Rysunek przedstawia prawą dłoń z kciukiem wyciągniętym do góry i pozostałymi czterema palcami ustawionymi prostopadle do płaszczyzny dłoni. Narysowano trzy wektory. Wektor prędkości oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią skierowany jest wzdłuż czterech wyciągniętych palców, wektor indukcji magnetycznej oznaczony literą wielkie B ze strzałką nad nią skierowany jest wzdłuż powierzchni dłoni w kierunku łokcia, wektor siły oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią skierowany jest wzdłuż kciuka.