Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy podstawowe wzory dotyczące walca o promieniu podstawy r oraz wysokości h:

  • objętość:

    V=πr2h
  • pole powierzchni:

    Pc=2πr2+2πrh=2πrr+h
Przykład 1

Podgrzewacz do kominków ma kształt walcawalecwalca o średnicy podstawy 4 cm i wysokości 1,5 cm. Ile takich podgrzewaczy możemy wykonać z 1 l wosku?

Rozwiązanie:

Obliczymy objętość jednego podgrzewacza.

Mamy więc V=π·22·1,518,84 cm30,019 l. Ponadto mamy 10,01952,63, czyli 1 l wosku wystarczy na wykonanie 52 podgrzewaczy.

Przykład 2

Szklarnia ma kształt jak na rysunku i powstała z połączenia prostopadłościanu o wymiarach 3 m×4 m×1 m i połowy walca o promieniu 1,5 m. Jaką powierzchnię ma poliwęglan pokrywający tę szklarnię? Wynik przybliż do 1 m2. Przyjmij π3,14.

R1IO9HKUAMuAx

Rozwiązanie:

Obliczymy połowę powierzchni walca Pw3,141,5(1,5+4)26 m2.

Następnie obliczamy pole powierzchni bocznej prostopadłościanu: Pb=2·1·4+2·1·3=14 m2.

A zatem poliwęglan pokrywający tę szklarnię ma powierzchnię P26+14=40 m2.

W zadaniach praktycznych możemy również obliczać długości odcinków w walcu.

Przykład 3

Do garnka o średnicy podstawy 20 cm i wysokości 20 cm wlano wodę wypełniając go w 34 objętości i zaczęto gotować wodę na makaron. Po 10 minutach 10% wody wyparowało, a wodę przelano do garnka o średnicy 24 cm. Jak wysoko sięga woda w drugim garnku? Wynik przybliż do 1 cm.

Rozwiązanie:

Obliczmy objętość wody na początku gotowania: V=34·π·102·20=1500π cm3.

Po 10 minutach mamy więc 1350π cm3 wody.

Obliczymy do jakiej wysokości będzie sięgać woda w drugim garnku: 1350π=π·122·h

A stąd h=9,3759 cm.

Przykład 4

Rynnę, jak na rysunku, wykonano z kawałka blachy o wymiarach 38 cm×400 cm. Jaka w przybliżeniu do 1 mm jest średnica tej rynny? Zagięcia pomijamy. Przyjmujemy π=3,14.

R1RYE3bZC7Tv4

Rozwiązanie:

Połowa obwodu podstawy ma 38 cm. A zatem πr=38, co po podstawieniu przybliżenia π daje nam 12,1 cm. A zatem średnica wynosi 24,2 cm=242 mm.

Przypomnijmy, że przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 2r×h.

R10fLS2EWz679

Każdy przekrój walca płaszczyzną prostopadłą do podstawy ma kształt prostokąta.

R1OGI7dZlHMv5
Przykład 5

Drewniane klocki w kształcie walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 10 cm przecięto w odległości 3 cm od środka przekrojem prostopadłym do podstawy. Powstałe w ten sposób klocki pomalowano farbą akrylową o wydajności 6 m2l. Ile klocków możemy rozciąć i pomalować w ten sposób, jeżeli mamy do dyspozycji opakowanie o pojemności 125 ml?

Rozwiązanie:

Farbą o takiej objętości możemy pomalować 6·0,125=0,75 m2.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RwejGepCTVjcV

Mamy tu trójkąt Pitagorejski 3, 4, 5. A zatem przekrój jest prostokątem o wymiarach 8 cm×10 cm. Do pomalowania mamy więc powierzchnię walca i dwa pola przekroju.

A zatem P=2·π·52+2·π·5·10+2·8·10=150π+160=631 cm2=0,0631 m2.

Stąd otrzymujemy 0,750,063111,88.

Czyli możemy przeciąć 11 klocków w kształcie walca o podanych wymiarach.

Słownik

walec
walec

bryła obrotowa powstała przez obrót prostokąta wokół jednego z boków

przekrój osiowy walca
przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca