Przeczytaj
Liczby naturalne
Liczby naturalne to liczby całkowite nieujemne: , , , , , , , Zbiór liczb naturalnych oznaczamy wielką literą .
Możemy zatem zapisać, że: .
Liczby wielokątne
Liczby wielokątne –kątne to kolejne liczby otrzymane poprzez dodawanie początkowych liczb zaczynających się od i różniących się od siebie o .
Początkowe liczby z lewej strony kolumny to liczby różniące się o , natomiast te z prawej to liczby wielokątne:
, , , , liczby naturalne , , , ,
, , , , liczby trójkątne , , , ,
, , , , liczby kwadratowe , , , ,
, , , , liczby pięciokątne , , , ,
, , , , liczby sześciokątne , , , ,
, , , , liczby siedmiokątne , , , ,
, , , , liczby ośmiokątne , , , ,
Zapoznaj się z graficznym sposobem budowania liczb wielokątnych.
![Ilustracja przedstawia graficzną interpretację pięciu kolejnych liczb trójkątnych. Liczby te przedstawione są za pomocą kolorowych kropek: szarych i czerwonych. Cyfrę jeden reprezentuje jedna czerwona kropka. Cyfrę trzy reprezentują trzy kropki układające się w kształt trójkąta: dwie czerwone i jedna szara. Cyfrę sześć reprezentuje sześć kropek ułożonych w kształt trójkąta: trzy czerwone i cztery szare. Liczbę dziesięć reprezentuje dziesięć kropek ułożonych w kształt trójkąta: cztery czerwone i sześć szarych. Liczbę piętnaście reprezentuje piętnaście kropek ułożonych w kształt trójkąta, z czego pięć jest czerwonych, a dziesięć szarych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1cH8whViAUkM/1645455137/12OWqlMFgLCKSZmP47y4uemBSQkCwL1V.png)
![Ilustracja przedstawia graficzną interpretację pięciu kolejnych liczb czworokątnych. Liczby te przedstawione są za pomocą kolorowych kropek: szarych i czerwonych. Cyfrę jeden reprezentuje jedna czerwona kropka. Cyfrę cztery reprezentują cztery kropki układające się w kształt kwadratu: trzy czerwone i jedna szara. Cyfrę dziewięć reprezentuje dziewięć kropek ułożonych w kształt kwadratu: pięć czerwonych i cztery szare. Liczbę szesnaście reprezentuje szesnaście kropek ułożonych w kształt kwadratu: siedem czerwonych i dziewięć szarych. Liczbę dwadzieścia pięć reprezentuje dwadzieścia pięć kropek ułożonych w kształt kwadratu, z czego dziewięć jest czerwonych, a szesnaście szarych. Na czerwono zaznaczone są kropki układające się w górny i w prawy bok kwadratów symbolizujących liczby czworokątne.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1JogsZEMErTy/1645455137/2CJXgoB2PkV1hLYh6I5prRFT1HNzhNDI.png)
![Ilustracja przedstawia graficzną interpretację pięciu kolejnych liczb sześciokątnych. Liczby te przedstawione są za pomocą kolorowych kropek: szarych i czerwonych. Cyfrę jeden reprezentuje jedna czerwona kropka. Cyfrę sześć reprezentuje sześć kropek układających się w kształt sześciokąta o boku o długości dwóch kropek: pięć czerwonych i jedna szara. Liczbę piętnaście reprezentuje piętnaście kropek ułożonych w kształt sześciokąta o boku o długości trzech kropek, przy czym jest on nadbudowany nad poprzednim kształtem – figury te mają wspólny lewy dolny wierzchołek. Każda kolejna reprezentacja liczb sześciokątnych jest zbudowana na poprzednich liczbach. W interpretacji liczby piętnaście mamy dziewięć czerwonych i sześć szarych kropek. Liczbę dwadzieścia osiem reprezentuje dwadzieścia osiem kropek ułożonych w kształt trzech coraz większych sześciokątów o wspólnym lewym dolnym wierzchołku i długościach boków: dwie, trzy i cztery kropki. Mamy tu trzynaście czerwonych i piętnaście szarych kropek. Liczbę czterdzieści pięć reprezentują kropki układające się w kształt czterech sześciokątów o wspólnym lewym dolnych wierzchołku i bokach o długościach: dwie, trzy, cztery i pięć kropek. Mamy tu siedemnaście czerwonych i dwadzieścia osiem szarych kropek. Na czerwono zaznaczone są kropki układające się w cztery wybrane boki wielokątów reprezentujących liczby sześciokątne, to jest w bok górny lewy, górny, górny prawy i dolny prawy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RzOOMLBGtIFNo/1645455138/2B0HBYVgXJjRxQgdloodSJibOLzHX3TY.png)
Liczbom wielokątnym odpowiadają w trójwymiarze liczby piramidalne.
![Rysunek przedstawia trzy interpretacje liczb piramidalnych zbudowanych z naprzemiennie ułożonoych kulek szarych i czerwonych. Mamy tutaj kolejno od lewej liczbę piramidalną przedstawioną za pomocą kul układających się w czworościan. Następnie liczbę piramidalną przedstawioną za pomocą kul układających się w kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ostania w przykładzie liczba piramidalna przedstawiona jest za pomocą kul układających się w kształt ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RcZd6JxWowadF/1645455139/1rXjzXt9KWeR1sCKeF88OVjZFrjPsJdq.png)
Suma trzech liczb czworościennych daje liczbę trójkątną.
![Ilustracja przedstawia schemat dodawania trzech liczb czworościennych, gdzie sumą jest liczba trójkątna. Liczby ustawione są w formie czterech równych trójkątów. Dodawanie przebiega następująco. Pierwszy składnik to liczba czworościenna składająca się z następujących pojedynczych cyfr, zaczynając od góry: wiersz pierwszy: 1, wiersz drugi: 1 2, wiersz trzeci: 1 2 3, wiersz czwarty: 1 2 3 4, wiersz piąty: 1 2 3 4 5. Do tej liczby dodajemy drugi składnik o następującej konstrukcji: wiersz pierwszy: 5, wiersz drugi: 4 4, wiersz trzeci: 3 3 3, wiersz czwarty: 2 2 2 2, wiersz piąty: 1 1 1 1 1. Do tej liczby dodajemy składnik trzeci o następującej konstrukcji: wiersz pierwszy: 1, wiersz drugi: 2 1, wiersz trzeci: 3 2 1, wiersz czwarty: 4 3 2 1, wiersz piąty: 5 4 3 2 1. Liczby dodajemy do siebie w taki sposób, że sumujemy wszystkie liczby znajdujące się w danym miejscu. Na przykład w kolejnych trzech składnikach wiersz pierwszy to: 1, 5 , 1, zatem w ich sumie wiersz pierwszy wynosi 7. W wierszu drugim pierwsza liczba w każdym składniku to kolejno: 1, 4, 2, zatem w ich sumie w tym miejscu wpisana cyfra 7 i tak dalej. Suma ma taką samą konstrukcję, jak składniki, czyli składa się z cyfr ustawionych w kształt trójkąta. Suma składa się z samych siódemek, czyli wiersz pierwszy to: 7, wiersz drugi to: 7 7, wiersz trzeci to: 7 7 7, wiersz czwarty to: 7 7 7 7, a wiersz piąty to: 7 7 7 7 7.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1QDAqeFxCnOl/1645455140/1h4stpLIvOzmmyUBa0nUfqLur8ZrNxCM.png)
Jedno z odkrytych przez Diofantosa twierdzeń brzmi:
Ośmiokrotnie wzięta liczba trójkątna powiększona o jedność jest zawsze kwadratem.
To znaczy, że ośmiokrotność dowolnej liczby trójkątnej powiększona o jeden jest zawsze liczbą kwadratową.
Liczby palindromiczne
Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu jej cyfr od lewej strony do prawej jest jednakowa, jak czytana od prawej do lewej. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: , , , ,
Każda liczba palindromiczna w systemie dziesiętnym, złożona z parzystej liczby cyfr, jest podzielna przez .
PalindromyPalindromy mogą być kwadratami liczb naturalnych
i ich sześcianami
.
Liczby Lychrel
W roku amerykański matematyk Derrick Lehmer opisał pewną własność liczb: jeśli do wybranej liczby dodamy ją samą, ale zapisaną w odwrotnej kolejności i z otrzymaną sumą oraz z każdą następną postąpimy tak samo, to w którymś cyklu, jako kolejna suma pojawi się palindrompalindrom, np.
![Dodawanie pisemne. Wiersz pierwszy: 37, wiersz drugi: dodać 73, kreska pozioma, w wierszu trzecim zapisano wynik dodawania, czyli liczbę 110, do której dodano kolejny składnik. Wiersz czwarty: dodać 011. Kreska pozioma. Wiersz piąty zawiera wynik drugiego dodawania: 121](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R4ldkDUp2ojV8/1645455140/2FrpdTtwuIVIaHvTdID8cj23f445I2Gr.png)
Większość małych liczb większych od dociera do palindromu w jednym kroku.
jest pierwszą liczbą wymagającą dwóch kroków .
– wymaga trzech kroków ,
– wymaga aż czterech
(same sumy: ).
Liczbą, przy której trzeba się solidnie napracować, jest – palindrom pojawia się dopiero jako –ta liczba w ciągu sum: .
To jednak nic w porównaniu z „gehenną”, którą oferuje liczba . Lehmer wykonał przed laty blisko sto dodawań – bezskutecznie. Nie omieszkał jednak zauważyć, że –ta suma jest bardzo bliska docelowej, wygląda bowiem tak: . Zapewne ta obiecująca bliskość skłoniła go do postawienia hipotezy, że każda liczba poddana opisanemu procesowi zmieni się w palindrompalindrom – wszystko jest tylko kwestią etapu, w którym to nastąpi. to nie jedyna „krnąbrna” liczba, ale stosunkowo mała, więc nią przede wszystkim zajęli się programiści, gdy do akcji wkroczyły komputery.
Jako pierwszy wyzwanie podjął John Walker – założyciel znanej firmy Autodesk, zajmującej się oprogramowaniem komputerowym. W roku Walker uruchomił program na stacji roboczej Sun 3/260. Po blisko trzech latach nieprzerwanej pracy i wykonaniu operacji „odwróć i dodaj” komputer dotarł do liczby złożonej z miliona cyfr i się zatrzymał. PalindromuPalindromu nie było. Następcy Walkera posuwali się coraz dalej, korzystając z coraz lepszych komputerów. Jeden z nich nadał i pozostałym równie opornym liczbom nazwę, która się przyjęła – liczby Lychrel – prawdopodobnie jest ona anagramem imienia Cheryl.
Aktualny rekord w wędrówce od do palindromu należy do francuskiego programisty Romaina Dolbeau. Pod koniec roku dotarł on po bilionie kroków do liczby złożonej z cyfr, jednak nie osiągnął celu. Wydaje się, że dalszej eksploracji nie będzie. Szansa na dotarcie do gigantycznego palindromu maleje wraz z wydłużaniem się sumy – praktycznie jest już równa zeru. Wiele wskazuje na to, że hipotezę podaną przez Lehmera należy uznać za błędną. Tym bardziej, że dla systemów liczbowych o mniejszych podstawach niż dziesiętny udowodniono, że niektóre liczby poddawane operacji „odwróć i dodaj” nigdy nie zmienią się w palindrom.
W systemie dwójkowym najmniejszą taką liczbą jest , odpowiadająca liczbie w systemie dziesiętnym. Niemiecki matematyk Roland Sprague jeszcze w latach –tych udowodnił, że przekształcenie jej w palindrompalindrom jest niemożliwe. Zauważył, że w ciągu sum, poczynając od czwartej, cyklicznie powtarzają się cztery schematy liczb. Na przykład, dla czwartej sumy równej schematem jest . Dla tej sumy , dla ósmej to , dla dwunastej itd. – schemat pozostaje taki sam. Zarówno ten schemat, jak i każdy z trzech pozostałych wyklucza pojawienie się palindromu. Znalezienie dowodu dla układu dziesiętnego ostatecznie rozwiązałoby problem i odesłało liczby Lychrel do lamusa. Niestety, dotąd nikomu się to nie udało.
Działania arytmetyczne na liczbach naturalnych w systemie dziesiątkowym
Dodawanie: .
Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą, a znak działania to „”.
Odejmowanie: .
Obiekty odejmowane to odjemna i odjemnik, wynik odejmowania nazywa się różnicą, a znak działania to „”.
Mnożenie: .
Obiekty mnożone to czynniki, wynik mnożenia nazywa się iloczynem, a znak działania to „”.
Dzielenie: .
Obiekty dzielone to dzielna i dzielnik, wynik dzielenia nazywa się ilorazem, a znak działania to „”.
![Na ilustracji przedstawiony jest duży kwadrat złożony z czterech mniejszych kwadratów. Przy ich bokach są zapisane cyfry. Wszystkie kwadraty są podzielone na połowy za pomocą równoległych przekątnych idących z górnego prawego wierzchołka do dolnego lewego wierzchołka. Nad kwadratem położonym w lewym górnym rogu jest cyfra jeden. W nim w lewym górnym rogu jest zero, w prawym dolnym dwa. Nad kwadratem znajdującym się w prawym górnym rogu, jest cyfra siedem, a po prawej stronie figury cyfra 2. W lewym górnym rogu tego kwadratu jest cyfra 1, a w prawym dolnym cyfra 4. W lewym dolnym kwadracie mamy odpowiednio 0 i 3, pod kwadratem 9. W prawym dolnym kwadracie znajdują się odpowiednio cyfry 2 i 1. Pod tym kwadratem jest liczba 1, a po jego prawej stronie 3. Jest też jedna cyfra – trójka – która umieszczona jest poniżej dużego kwadratu po jego lewej stronie na tym samym poziomie co 9 i 1.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1IqqM49oFHXU/1645455141/yhJm0A5g1xQrH0beLkdTrD3FYMNvb5WR.png)
Słownik
liczba (lub wyraz), która czytana z prawej do lewej, brzmi tak samo jak czytana z lewej do prawej