Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozwiązywanie równań: cosx=1,cosx=1.

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązanie równania z jedną niewiadomąrozwiązywanie równań postaci cosx=a od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji y=cosx jest przedział -1,1, zatem dla liczb a1,1 równanie cosx=a nie ma rozwiązańzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie cosx=1.

RdMutiiDJlxbB

Zauważmy, że w przedziale 0,2π) funkcja y=cosx przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu x=0. Funkcja y=cosx jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=2π, zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: x=2kπ, gdzie k.

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanie cosx=1.

RKnJEppys4nhM

Rozwiązaniem równania cosx=1 jest każda liczba postaci x=π+2kπ, gdzie k.

Rozwiązywanie równań: cosx=a.

Aby rozwiązać równanie cosx=a, wykorzystamy wykresy funkcji y=cosxy=a. Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta y=a przecina wykres w dwóch typach punktów: jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w równych odległościach równych 2π. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R5yc6bX74MVai

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

RN6kGs5z5cL4y

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu x=0. Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów. Zatem ich współrzędne spełniają zależność: x2=-x1.

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.

Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania cosx=a. Znajdujemy jedno rozwiązanie x0 takie, że cosx0=a. Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x=x0+2kπ, gdzie k. Znajdujemy drugie rozwiązanie x0. Zapisujemy drugą serię rozwiązań: x=-x0+2kπ, gdzie k.

Uwaga: W przypadku równań cosx=1,cosx=1 jest tylko jedna seria rozwiązań.

Teraz pokażemy kilka zastosowań podanego algorytmu.

Przykład 1

Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: cosx=-32.

Najpierw znajdziemy rozwiązanie równania cosx=-32 w przedziale 0,π.

Ponieważ cosπ6=32, korzystając ze wzoru redukcyjnego cos(π-x)=-cosx otrzymujemy cosπ-π6=-32. Zatem poszukiwanym x jest liczba 5π6.

Z parzystości funkcji cosinus otrzymujemy, że cos-5π6=-32. Wobec tego rozwiązaniami równania cosx=-32 są: x=5π6+2kπ lub x=-5π6+2kπ, gdzie k.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: cosx=-32 w przedziale 2π,5π.

Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale 2π,5π. Są to: -7π6,-5π6,5π6,7π6,17π6,19π6,29π6.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie 2cos(3x-1)=-2 w przedziale π,π.

Przekształcamy równanie do postaci: cos(3x-1)=-22. Podstawmy z=3x-1, czyli otrzymujemy równanie cosz=-22. Znajdujemy jedno rozwiązanie: z0=3π4. Zatem rozwiązaniami równania cosz=-22 są: z=3π4+2kπ lub z=-3π4+2kπ, gdzie k.

Ponieważ z=3x-1, wówczas rozwiązaniami równania 2cos(3x-1)=-2 są: x=13+π4+2kπ3 lub x=13-π4+2kπ3, gdzie k.

Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału π,π: 13-13π12,13-5π12,13+π4,13-π4,13-11π12,13+5π12.

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru a równanie cos(3x+7)=a2+3a+1 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Ponieważ zbiorem wartości funkcji y=cos(3x+7) jest przedział 1,1, zatem muszą być spełnione dwie nierówności: 1a2+3a+1a2+3a+11.

Wówczas 0a2+3a+2a2+3a0. Wobec tego otrzymujemy 0(a+1)(a+2)a(a+3)0. Stąd otrzymujemy odpowiedź: a-3,-2 lub a-1,0.

Słownik

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą
rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczby po prawej i lewej stronie równania.

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą
zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie.