Przeczytaj
Rozwiązywanie równań: .
Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązywanie równań postaci od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji jest przedział , zatem dla liczb równanie nie ma rozwiązańrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Na początek rozwiążemy równanie .
Zauważmy, że w przedziale funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu . Funkcja jest funkcją okresową o okresie zasadniczym , zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: , gdzie .
Postępując analogicznie rozwiązujemy równanie .
Rozwiązaniem równania jest każda liczba postaci , gdzie .
Rozwiązywanie równań: .
Aby rozwiązać równanie , wykorzystamy wykresy funkcji i . Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta przecina wykres w dwóch typach punktów: jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w równych odległościach równych . Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.
Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.
Wykorzystajmy poniższy aplet.
Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu . Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów. Zatem ich współrzędne spełniają zależność: .
Aby rozwiązać równanie , wykorzystamy wykresy funkcji i , przy czym należy do określonego wcześniej przedziału . Rysując w układzie współrzędnych wykresy oraz na przykład , otrzymamy kosinusoidę oraz poziomą prostą, które przecinają się w określonych punktach. Na przykład dla będą to wszystkie maksima funkcji cosinus. Wiemy, że przedział dla jest ściśle określony, możemy więc obrać wszystkie poziome proste leżące poniżej naszej prostej aż do prostej zadanej równaniem włącznie. Funkcja cosinus jest okresowa, więc punkty przecięcia z poziomą prostą będą pojawiać się na wykresie cyklicznie i regularnie.
Weźmy na przykład prostą i cztery kolejne punkty przecięcia prostej z wykresem funkcji . Wybierzmy punkty o współrzędnych , , oraz . Możemy zauważyć tu pewien porządek w przypadku pierwszych współrzędnych obranych przez nas punktów. Z uwagi na budowę kosinusoidy oraz na fakt, że okres tej funkcji wynosi , mamy tu dwie grupy rozwiązań, mianowicie wszystkie punkty oddalone na przykład od punktu o całkowitą wielokrotność wraz z tym punktem, a także wszystkie punkty oddalone od punktu o całkowitą wielokrotność wraz z tym punktem. Jedną grupę rozwiązań mamy tylko dla prostych przechodzących przez ekstrema funkcji cosinus, czyli dla oraz .
Weźmy teraz dwa punkty przecięcia wykresu funkcji z wykresem funkcji , gdzie położone symetrycznie względem osi i należące do dwóch różnych grup rozwiązań równania . Punkty te mają współrzędne oraz . Zauważmy, że funkcja cosinus jest symetryczna względem osi . Zmieniając wartość parametru , będziemy zmieniać również położenie tych punktów. Jednak z uwagi na symetrię względem osi , przy określonych wyżej warunkach, zawsze zachodzić będzie, że .
Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania . Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że . Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie . Znajdujemy drugie rozwiązanie . Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .
Uwaga: W przypadku równań jest tylko jedna seria rozwiązań.
Teraz pokażemy kilka zastosowań podanego algorytmu.
Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: .
Najpierw znajdziemy rozwiązanie równania w przedziale .
Ponieważ , korzystając ze wzoru redukcyjnego otrzymujemy . Zatem poszukiwanym jest liczba .
Z parzystości funkcji cosinus otrzymujemy, że . Wobec tego rozwiązaniami równania są: lub , gdzie .
Rozwiążemy równanie: w przedziale .
Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale . Są to: .
Rozwiążemy równanie w przedziale .
Przekształcamy równanie do postaci: . Podstawmy , czyli otrzymujemy równanie . Znajdujemy jedno rozwiązanie: . Zatem rozwiązaniami równania są: lub , gdzie .
Ponieważ , wówczas rozwiązaniami równania są: lub , gdzie .
Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału : .
A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.
Dla jakich wartości parametru równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie?
Ponieważ zbiorem wartości funkcji jest przedział , zatem muszą być spełnione dwie nierówności: i .
Wówczas i . Wobec tego otrzymujemy i . Stąd otrzymujemy odpowiedź: lub .
Słownik
liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczby po prawej i lewej stronie równania.
zbiór liczb spełniających równanie.