Przeczytaj

Zacznijmy od ogólnego wzoru na objętość ostrosłupa:

V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H

gdzie:
$P_{p}$ - pole podstawy,
$H$ - wysokość ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Podstawą naszego ostrosłupa jest sześciokąt foremny, zatem:

P_{p} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}

R1DtCSOGJGIy3

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny, wszystkie jego ściany są zamalowane. Krawędź podstawy podpisano literą a. W postawie zaznaczono wszystkie dłuższe przekątne. Wysokość podpisano literą H, jest ona pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek leży w miejscu przecięcia przekątnych podstawy.

Wzór na objętość możemy więc przedstawić następująco:

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \cdot H

Przykład 1

Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $V$ , a jego krawędź podstawy ma długość $12 cm$ . Wyznacz wysokość ostrosłupa w zależności od $V$ .

Rozwiązanie

Ułóżmy równanie:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot 12^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$ ,

$V = 72 \sqrt{3} H$ .

Ostatecznie wyznaczamy $H$ .

$H = \frac{V}{72 \sqrt{3}} = \frac{V \sqrt{3}}{216}$

Przykład 2

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegoostrosłup prawidłowy sześciokątnyostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość wynosi $s$ .

Rozwiązanie

Przeanalizujmy rysunek przedstawiający opisaną sytuację.

RoKGYQC8qogf4

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź podstawy podpisano literą a. W postawie zaznaczono jedną z jej dłuższych przekątnych. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Wysokość opuszczoną z tego wierzchołka podpisano literą małe s, wysokość jest pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek O leży na przekątnej podstawy. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt O C S, gdzie C to jeden z wierzchołków podstawy. Kąt pomiędzy krawędzią boczną SC a odcinkiem OC ma 60 stopni.

Niech $a$ – długość krawędzi podstawy. Wówczas $a = \frac{s \sqrt{3}}{3}$ .

$P_{p} = \frac{6 \cdot {(\frac{s \sqrt{3}}{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \cdot 3 s^{2} \sqrt{3}}{9 \cdot 4} = \frac{s^{2} \sqrt{3}}{2}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \sqrt{3}}{2} \cdot s = \frac{s^{3} \sqrt{3}}{6}$

Przykład 3

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ . Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość $p$ .

Rozwiązanie

Przeanalizujmy rysunek przedstawiający opisaną sytuację.

R1N2e1Utcuumi

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź podstawy podpisano literą p. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek podpisano literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt A O S, gdzie A to spodek wysokości ściany bocznej. Wysokość ściany bocznej AS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej boczną AS a odcinkiem AO ma 45 stopni.

Niech $H$ – wysokość ostrosłupa.
Trójkąt $S O A$ jest równoramienny, zatem $H = \frac{p \sqrt{3}}{2}$ . Stąd:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 p^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{p \sqrt{3}}{2} = \frac{3 p^{3}}{4}$ .

Przykład 4

Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością jego ściany bocznej wynosi $30 °$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość $2 x$ .

Rozwiązanie

Zapoznajmy się z rysunkiem przedstawiającym opisaną sytuację.

R1N3PbsAJEsZs

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź podstawy podpisano 2x Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Wysokość H opuszczona z tego wierzchołka jest pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek podpisano literą O. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt A O S, gdzie A to spodek wysokości ściany bocznej. Wysokość ściany bocznej AS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej boczną AS a wysokością ostrosłupa SO ma 30 stopni.. Odcinek OA podpisano x3.

Niech $H$ – wysokość ostrosłupa.

$H = 3 x$

Stąd:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot {(2 x)}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 3 x = \frac{1}{3} \frac{6 \cdot 4 x^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 3 x = 6 x^{3} \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że wysokość ściany bocznej:

$h = 2 x \sqrt{3}$ .

Stąd:

$P_{c} = 6 \cdot \frac{{(2 x)}^{2} \sqrt{3}}{4} + 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot 2 x \sqrt{3} = 6 x^{2} \sqrt{3} + 12 x^{2} \sqrt{3} = 18 x^{2} \sqrt{3}$ .

Słownik

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup prosty, w którym podstawa jest wielokątem foremnym

ostrosłup prawidłowy sześciokątny

ostrosłup prosty, w którego podstawie jest sześciokąt foremny

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik