Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-x^2+2$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że zgodnie z opisanymi przekształceniami, wystarczy naszkicować parabolę, będącą wykresem funkcji $y=x^2$, a następnie odbić ten wykres symetrycznie względem osi $X$ układu współrzędnych i przesunąć o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

RJpqv9nt9C0ke

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(0;2\right)$, a ramiona skierowane są w dół. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-2;-2\right)$, oraz $\left(2;-2\right)$.

W celu naszkicowania paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2+3$ wystarczy przesunąć wykres funkcji $y=x^2$ o wektor $\left[-1,3\right]$. Wyznaczymy oś symetrii tej paraboli oraz zbiór wartości podanej funkcji.

RluO4x40X9dYW

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(-1;3\right)$, a ramiona skierowane są w górę. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-3;7\right)$, oraz $\left(1;7\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że osią symetrii naszkicowanej paraboli jest prosta o równaniu $x=-1$, zaś zbiorem wartości funkcji przedział $\left.⟨3,\infty \right)$. Ma to ścisły związek z przesunięciem wykresu funkcji o wektor.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$.

Rozwiązanie:

Do naszkicowania paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wystarczy narysować wykres funkcji $y={\left(x-1\right)}^2$, a następnie część wykresu dla argumentów nieujemnych odbić symetrycznie względem osi $Y$.

RWzExO618kmtD

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z krzywych. Wykres biegnie od minus nieskończoności do punktu $\left(-1;0\right)$, gdzie odbija w górę i biegnie do punktu $\left(0;1\right)$. Z punktu $\left(0;1\right)$ ponownie biegnie w dół do punktu $\left(1;0\right)$, gdzie odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^2-1$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że zgodnie z opisanymi przekształceniami, wystarczy naszkicować wykres funkcji określonej wzorem $y=x^2$, następnie „rozszerzyć” go odpowiednio  wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych i przesunąć o $1$ jednostkę w dół.

Ri6L7BEiiNhtQ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w punkcie $\left(0;-1\right)$ i ramionach skierowanych w górę. Wykres przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-1;1\right)$, oraz $\left(1;1\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\left|{\left(x-2\right)}^2-3\right|$, a następnie określimy liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=m$, w zależności od parametru $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji wygląda następująco:

RysdVNIauLZUs

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, składający się z krzywych biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności, wykres biegnie niemal pionowo w dół, przez punkt $\left(0;1\right)$. Odbija od osi $X$, następnie biegnie w górę do punktu $\left(2;3\right)$, gdzie ponownie odbija w dół. Odbija od osi $X$ i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Jeżeli rozwiązujemy równanie $f\left(x\right)=m$, to rozpatrujemy liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu $y=m$ z parabolą, będącą wykresem funkcji $f$. Zatem równanie $f\left(x\right)=m$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$ ma:

• $0$ rozwiązań, dla $m\in \left(-\infty ,0\right)$,

• $2$ rozwiązania dla $m\in \left\{0\right\}\cup \left(3,\infty \right)$,

• $4$ rozwiązania dla $m\in \left(0,3\right)$,

• $3$ rozwiązania dla $m=3$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$.

Rozwiązanie:

W celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$ wystarczy wykonać kolejne kroki:

• szkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $y={\left(x-1\right)}^2$,

• dla $x\ge 0$ wykresy funkcji $f$ i $y={\left(x-1\right)}^2$ pokrywają się,

• wykres funkcji $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$ jest symetryczny względem osi $Y$.

Zatem wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R1XfO6rbPiJji

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji $y={\left(x-1\right)}^2$ stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(1;0\right)$ i ramionach skierowanych w górę. Wykres przechodzi przez punkty $\left(0;1\right)$, oraz $\left(2;1\right)$. Wykres drugiej funkcji opisanej wzorem $y={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$ biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności, w dół do punktu $\left(-1;0\right)$ gdzie odbija od osi $X$ i biegnie do punktu $\left(0;1\right)$. Następnie biegnie w dół do punktu $\left(1;0\right)$, gdzie odbija od osi $X$ i biegnie do plus nieskończoności.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej jej kwadrat pomniejszony o $3$. Wyznaczymy wzór funkcji $g\left(x\right)=\left|f(x+1)-3\right|$, a następnie naszkicujemy jej wykres.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=x^2-3$.

Wobec tego funkcja $g$ jest określona wzorem:

$g\left(x\right)=|{\left(x+1\right)}^2-6|$

W celu naszkicowania wykresu funkcji $g$ należy wykonać następujące kroki:

• naszkicować wykres funkcji $y=x^2$,

• przesunąć otrzymany wykres o wektor o współrzędnych $\left[-1,-6\right]$,

• część otrzymanej paraboli, znajdującą się pod osią X, odbijamy symetrycznie względem tej osi.

Zatem wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

RR7wIpOQA5dTb

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Czerwony wykres funkcji $y=x^2$ stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$ i ramionach skierowanych do dołu. Wykres przebiega przez punkty $\left(-2;4\right)$, oraz $\left(2;4\right)$. Niebieski wykres funkcji $y=\left|{\left(x+1\right)}^2-6\right|$ biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności, niemal pionowo w dół, gdzie w punkcie $x=-3\frac{1}{2}$ odbija od osi $X$ i biegnie w górę do punktu $\left(-1;6\right)$. W punkcie $\left(-1;6\right)$ wykres odbija w dół i biegnie do punktu $x=1\frac{1}{2}$ gdzie ponownie odbija w górę i biegnie niemal pionowo w górę, przez punkt $\left(2;3\right)$ do plus nieskończoności.

funkcja określona na zbiorze $\mathrm{ℝ}$ wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a$,$b$,$c$ ∈ $\mathrm{ℝ}$ oraz $a\ne 0$

zbiór wszystkich punktów $\left(x,f\left(x\right)\right)$, gdzie $x$ należy do dziedziny funkcji $f$