Przeczytaj
Funkcję określoną na zbiorze wzorem , gdzie ,, ∈ oraz nazywamy funkcją kwadratową.
Wykres funkcjiWykres funkcji kwadratowej to parabola.
Jeżeli , to:
dla ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji skierowane są do góry,
dla ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji skierowane są do dołu.
Wykres funkcji kwadratowej f możemy przekształcać.
-wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych o jednostek w prawo dla lub jednostek w lewo dla (jest to równoważne z przesunięciem paraboli, będącej wykresem funkcji o wektor o współrzędnych ),
- wykres funkcji h otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych o jednostek w górę dla lub jednostek w dół dla (jest to równoważne z przesunięciem paraboli, będącej wykresem funkcji o wektor o współrzędnych ),
- wykres funkcji k otrzymano w wyniku odbicia symetrycznego wykresu funkcji względem osi układu współrzędnych,
- wykres funkcji m otrzymano w wyniku odbicia symetrycznego wykresu funkcji względem osi układu współrzędnych.
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że zgodnie z opisanymi przekształceniami, wystarczy naszkicować parabolę, będącą wykresem funkcji , a następnie odbić ten wykres symetrycznie względem osi układu współrzędnych i przesunąć o jednostki w górę wzdłuż osi układu współrzędnych.
Przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji o jednostek w prawo lub w lewo oraz o jednostek w górę lub w dół możemy zapisać jako przesunięcie wykresu funkcji o wektor .
W celu naszkicowania paraboli, będącej wykresem funkcji określonej wzorem wystarczy przesunąć wykres funkcji o wektor . Wyznaczymy oś symetrii tej paraboli oraz zbiór wartości podanej funkcji.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że osią symetrii naszkicowanej paraboli jest prosta o równaniu , zaś zbiorem wartości funkcji przedział . Ma to ścisły związek z przesunięciem wykresu funkcji o wektor.
po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji o jednostek wzdłuż osi układu współrzędnych, otrzymujemy parabolę, której osią symetrii jest prosta .
po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji o jednostek wzdłuż osi układu współrzędnych, otrzymujemy parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowejfunkcji kwadratowej, której zbiór wartości różni się od zbioru wartości funkcji f.
Wykres funkcji kwadratowej f można też przekształcać w inny sposób.
- wykres funkcji g jest przystający do wykresu funkcji , gdy wartości funkcji f są nieujemne, natomiast jest do niego symetryczny względem osi układu współrzędnych, gdy wartości funkcji f są ujemne,
-wykres funkcji h otrzymano w wyniku przekształcenia, które polega na dołączeniu do odpowiadającej argumentom dodatnim części wykresu funkcji , jego odbicia symetrycznego względem osi układu współrzędnych.
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem .
Rozwiązanie:
Do naszkicowania paraboli, będącej wykresem funkcji wystarczy narysować wykres funkcji , a następnie część wykresu dla argumentów nieujemnych odbić symetrycznie względem osi .
Parabole, będące wykresami funkcji kwadratowych możemy także „rozszerzać” lub „zwężać” wzdłuż osi lub osi układu współrzędnych.
Parabolę, będącą wykresem funkcji określonej wzorem dla otrzymujemy przez „rozciągnięcie” (dla ) lub „zwężenie” (dla ) wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych,
Parabolę, będącą wykresem funkcji określonej wzorem dla otrzymujemy przez „rozciągnięcie” (dla ) lub „zwężenie” (dla ) wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych.
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że zgodnie z opisanymi przekształceniami, wystarczy naszkicować wykres funkcji określonej wzorem , następnie „rozszerzyć” go odpowiednio wzdłuż osi układu współrzędnych i przesunąć o jednostkę w dół.
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem , a następnie określimy liczbę rozwiązań równania , w zależności od parametru .
Rozwiązanie:
Wykres funkcji wygląda następująco:
Jeżeli rozwiązujemy równanie , to rozpatrujemy liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu z parabolą, będącą wykresem funkcji . Zatem równanie , gdzie ma:
rozwiązań, dla ,
rozwiązania dla ,
rozwiązania dla ,
rozwiązania dla .
Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem .
Rozwiązanie:
W celu naszkicowania wykresu funkcji określonej wzorem wystarczy wykonać kolejne kroki:
szkicujemy wykres funkcji określonej wzorem ,
dla wykresy funkcji i pokrywają się,
wykres funkcji jest symetryczny względem osi .
Zatem wykres funkcji przedstawia się następująco:
Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej jej kwadrat pomniejszony o . Wyznaczymy wzór funkcji , a następnie naszkicujemy jej wykres.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że funkcja jest określona wzorem .
Wobec tego funkcja jest określona wzorem:
W celu naszkicowania wykresu funkcji należy wykonać następujące kroki:
naszkicować wykres funkcji ,
przesunąć otrzymany wykres o wektor o współrzędnych ,
część otrzymanej paraboli, znajdującą się pod osią X, odbijamy symetrycznie względem tej osi.
Zatem wykres funkcji przedstawia się następująco:
Słownik
funkcja określona na zbiorze wzorem , gdzie ,, ∈ oraz
zbiór wszystkich punktów , gdzie należy do dziedziny funkcji