Niech $A\subset \mathrm{ℝ}$. Funkcję $f:A\to \mathrm{ℝ}$ nazywamy ciągłą w punkcie $x_0\in A$, gdy dla każdego ciągu $\left(x_n\right)$ elementów zbioru $A$ zbieżnego do $x_0$ zachodzi

Mówimy, że funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Rysując wykres funkcji $f\left(x\right)=2x+3$ bez trudu zauważymy, że jest ona funkcją ciągłą.

Uzasadnimy, że funkcja cosinus jest ciągła. Z lekcji fizyki wiemy, że ruch bloczka przyczepionego do sprężyny, na którego nie działa siła grawitacji opisuje funkcja $f\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$, gdzie $A$, $\omega$ oraz $\phi$ są liczbami zależnymi od czynników takich jak choćby wychylenie początkowe. Jeżeli przyjmiemy $A=\omega =1$ oraz $\phi =\frac{\pi }{2}$ otrzymamy $f\left(t\right)=\sin \left(t+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(t\right)$. Wykres rozważanego ruchu przedstawia poniższy rysunek.

RmVVSNZ1KxB8w

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $t$ oraz z pionową osią $y$. Na rysunku przedstawiono głównie pierwszą i czwartą ćwiartkę układu. Pod poziomą osią narysowano równoległą do niej schematyczną płaszczyznę, na której ustawiono po kolei pięć sprężyn w równych odległościach. Sprężyna pierwsza narysowana jest wzdłuż osi $y$. Pierwsza i piąta sprężyna są najbardziej rozprostowane. W związku z tym osiągają najwyższą wartość na osi $y$. Sprężyny druga i czwarta są bardziej ściśnięte i osiągają średnią wysokość. Trzecia, czyli środkowa sprężyna, jest najbardziej ściśnięta i osiąga ona najniższą wartość na osi $y$. Na górze każdej ze sprężyn narysowano szary prostokąt. Przez górne części sprężyn poprowadzono kosinusoidę. Wykres podpisano jako: $y=\cos \left(t\right)$.

Wiemy dobrze, że bloczek zaczepiony na sprężynie nie może się nagle teleportować, a więc funkcja opisująca jego ruch nie może się nigdzie „rozrywać”. Tym samym funkcja $f$ musi być ciągła.

Jeżeli $f$ jest:

• wielomianem,

• funkcją wymierną,

• funkcja potęgową,

• funkcją trygonometryczną,

• funkcją wykładniczą,

• funkcją logarytmiczną,

to $f$ jest funkcją ciągłąfunkcja ciągłafunkcją ciągłą.

Powyższe twierdzenie zapewnia nas, że funkcja

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$

jest ciągła. Możemy to jednak wywnioskować wprost z definicji, posługując się własnościami granic.

Załóżmy, że $\left(x_n\right)$ jest ciągiem zbieżnym do $x$, a więc

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$.

Wtedy

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{x_n^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f\left(x\right)$.

Wzięliśmy więc dowolny punkt $x$ i pokazaliśmy, że zachodzi w nim warunek z definicji ciągłości. W konsekwencji funkcja $f$ jest ciągła w każdym punkcie, a więc jest funkcją ciągłą.

Dana jest funkcja sufit $f(x)=\lceil x\rceil$, która liczbie $x$ przypisuje najmniejszą liczbę całkowitą, nie mniejszą niż $x$. Biorąc, dla przykładu, liczbę $0,73$ otrzymamy, że liczby całkowite nie mniejsze od niej to $1, 2, 3, ...$. Z kolei najmniejsza z wymienionych liczb to $1$. Tym samym $f\left(0,73\right)=1$. Podobnie otrzymamy, iż $f\left(0,17\right)=f\left(0,54\right)=f\left(1\right)=1$, lecz $f\left(1,01\right)=2$. Wykres funkcji $f$ będzie zatem miał następującą postać.

R8xnvc8gi5kXb

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Wykres funkcji całość z $x$ składa się z poziomych lewostronnie otwartych odcinków o długości jednej jednostki każdy. Odcinki te biegną od minus nieskończoności do plus nieskończoności zgodnie z następującą zasadą. Na rysunku dla wartości $y=-3$ odcinek ograniczony jest z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-4;-3\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-3;-3\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=-2$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-3;-2\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-2;-2\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=-1$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-2;-1\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-1;-1\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=0$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-1;0\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(0;0\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=1$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;1\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=2$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(1;2\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(2;2\right)$. Kolejny odcinek jest dla wartości $y=3$. Ograniczony jest on z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;3\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(3;3\right)$.

Bez trudu można zauważyć, że funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $0$. Pokażemy to wprost z definicji. Zauważmy, że

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$

i jednocześnie

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(\frac{1}{n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\lceil \frac{1}{n}\rceil =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1=1$,

zaś $f\left(0\right)=\lceil 0\rceil =0$. Tym samym warunek w definicji ciągłości nie jest spełniony w punkcie $0$ i w konsekwencji funkcja $f$ jest nieciągła w punkcie $0$.

Zaskakującym możne się wydawać fakt, że ciągłe są także takie funkcje jak $f\left(x\right)=\mathrm{tg}x$ lub $g\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-1}$, których wykresy w ewidentny sposób „rozrywają się”.

R1Ir412UeIwUG

Ilustracja przedstawia dwa wykresy współrzędnych umieszczone obok siebie. Lewy układ współrzędnych składa się z poziomej osi $X$ od minus dwóch pi do dwóch pi i z pionowej osi $Y$ od minus pięciu do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji tangens wraz z asymptotami pionowymi oznaczonymi linią przerywaną. Tutaj asyptoty pionowe opisują wzory: $x=-\frac{3\pi }{2}, x=-\frac{\pi }{2}, x=\frac{\pi }{2}, x=\frac{3\pi }{2}$. Lewy układ współrzędnych podpisano jako: $f\left(x\right)=\mathrm{tg}x$. Prawy układ współrzędnych składa się z poziomej osi $X$ od minus siedmiu do sześciu i z pionowej osi $Y$ od minus pięciu do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-1}$ i tak też podpisano prawą część rysunku. Wykres tej funkcji jest nieco bardziej skomplikowany i składa się z trzech części. Pierwsza część znajduje się w trzeciej i w drugiej ćwiartce. Od minus nieskończoności od minus trzech mamy bardzo wolno rosnące ramię wykresu, które leży tuż pod osią $X$. Dla argumentów od minus trzech do minus jeden funkcja zaczyna gwałtownie rosnąć tak, że przy wartości pięć wykres jest już niemal pionowy. Dalej narysowano linią przerywaną jedną z dwóch pionowych asymptot. Ta opisana jest wzorem $x=-1$. Druga część wykresu znajduje w ćwiartce trzeciej i czwartej. Od minus jeden do jeden, wykres przypomina parabolę o ściśniętych do siebie ramionach skierowanych w dół i wierzchołku po lewej stronie punktu zero minus trzy. Ramiona tej części również są ściśnięte asymptotami. Druga asymptota opisana jest wzorem $x=1$. Trzecia część wykresu znajduje się w pierwszej ćwiartce. Dla argumentów od jeden do około dwa funkcja bardzo szybko maleje, jest niemal pionowa. Dalej wykres wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i łagodnie maleje w kierunku plus nieskończoności tak, że od argumentu $x=6$ wykres jest niemal poziomy.

Przypomnijmy jednak, że dziedzinydziedzina funkcjidziedziny funkcji $f$ i $g$ wynoszą odpowiednio

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$ oraz $D_g =\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1,1\right\}$

Aby zbadać ciągłość funkcji musimy, zgodnie z definicją, wpierw ustalić dowolny punkt $x\in D_f$. Następnie zauważamy, że na (być może bardzo małym) otoczeniu tego punktu wykres funkcji $f$ „nie rozrywa się”. Punktów w postaci $\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nie możemy brać pod uwagę, gdyż nie należą do dziedziny.

funkcja ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny

zbiór, na którym funkcja jest określona, dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej – największy (w sensie zawierania się zbiorów) zbiór, na którym funkcja może być określona