Rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia funkcji ciągłej.
Funkcja ciągła w punkcie
Definicja: Funkcja ciągła w punkcie
Niech . Funkcję nazywamy ciągłą w punkcie , gdy dla każdego ciągu elementów zbioru zbieżnego do zachodzi
Funkcja ciagła
Definicja: Funkcja ciagła
Mówimy, że funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Do tej pory ciągłość funkcji sprawdzaliśmy głównie w oparciu o jej wykres. W ten sposób możemy łatwo stwierdzić, że każda funkcja liniowa jest ciągła.
Przykład 1
Rysując wykres funkcji bez trudu zauważymy, że jest ona funkcją ciągłą.
Ciągłość wielu funkcji możemy też wywnioskować z ich fizycznej interpretacji.
Przykład 2
Uzasadnimy, że funkcja cosinus jest ciągła. Z lekcji fizyki wiemy, że ruch bloczka przyczepionego do sprężyny, na którego nie działa siła grawitacji opisuje funkcja , gdzie , oraz są liczbami zależnymi od czynników takich jak choćby wychylenie początkowe. Jeżeli przyjmiemy oraz otrzymamy . Wykres rozważanego ruchu przedstawia poniższy rysunek.
RmVVSNZ1KxB8w
Wiemy dobrze, że bloczek zaczepiony na sprężynie nie może się nagle teleportować, a więc funkcja opisująca jego ruch nie może się nigdzie „rozrywać”. Tym samym funkcja musi być ciągła.
Wiemy już zatem, że funkcje liniowe i funkcja cosinus są funkcjami ciągłymi. Warto zastanowić się czy pozostałe funkcje trygonometryczne oraz dowolne wielomiany są także ciągłe? Na tak postawione pytanie odpowiada poniższe twierdzenie.
Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych usprawiedliwia sposób w jaki do tej pory rysowaliśmy wykresy wymienionych powyżej funkcji. Ciągłość oznacza bowiem, że wyznaczone rachunkowo punkty wykresu łączone są krzywą, a co za tym idzie, wyznaczone komputerowo rysunki powinny oddawać rzeczywisty kształt omawianych funkcji.
Przykład 3
Powyższe twierdzenie zapewnia nas, że funkcja
jest ciągła. Możemy to jednak wywnioskować wprost z definicji, posługując się własnościami granic.
Załóżmy, że jest ciągiem zbieżnym do , a więc
.
Wtedy
.
Wzięliśmy więc dowolny punkt i pokazaliśmy, że zachodzi w nim warunek z definicji ciągłości. W konsekwencji funkcja jest ciągła w każdym punkcie, a więc jest funkcją ciągłą.
Należy jednak zachować ostrożność, gdyż nie każda funkcja, której wzór potrafimy zapisać w prosty sposób jest funkcją ciągłąfunkcja ciągłafunkcją ciągłą.
Przykład 4
Dana jest funkcja sufit , która liczbie przypisuje najmniejszą liczbę całkowitą, nie mniejszą niż . Biorąc, dla przykładu, liczbę otrzymamy, że liczby całkowite nie mniejsze od niej to . Z kolei najmniejsza z wymienionych liczb to . Tym samym . Podobnie otrzymamy, iż , lecz . Wykres funkcji będzie zatem miał następującą postać.
R8xnvc8gi5kXb
Bez trudu można zauważyć, że funkcja nie jest ciągła w punkcie . Pokażemy to wprost z definicji. Zauważmy, że
i jednocześnie
,
zaś . Tym samym warunek w definicji ciągłości nie jest spełniony w punkcie i w konsekwencji funkcja jest nieciągła w punkcie .
Należy również uważać by przedwcześnie nie stwierdzić nieciągłości funkcji ciągłej.
Przykład 5
Zaskakującym możne się wydawać fakt, że ciągłe są także takie funkcje jak lub , których wykresy w ewidentny sposób „rozrywają się”.
R1Ir412UeIwUG
Przypomnijmy jednak, że dziedzinydziedzina funkcjidziedziny funkcji i wynoszą odpowiednio
oraz
Aby zbadać ciągłość funkcji musimy, zgodnie z definicją, wpierw ustalić dowolny punkt . Następnie zauważamy, że na (być może bardzo małym) otoczeniu tego punktu wykres funkcji „nie rozrywa się”. Punktów w postaci , , nie możemy brać pod uwagę, gdyż nie należą do dziedziny.
Słownik
funkcja ciągła
funkcja ciągła
funkcja ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny
dziedzina funkcji
dziedzina funkcji
zbiór, na którym funkcja jest określona, dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej – największy (w sensie zawierania się zbiorów) zbiór, na którym funkcja może być określona