Przeczytaj
W tym materiale zastanowimy się, co to znaczy dodać do siebie nieskończenie wiele liczb i jaki jest wynik tego działania.
Weźmy przykład następujący:
Może zrobimy tak:
.
Czyli pogrupowaliśmy po dwa składniki sumy i dodalismy pogrupowane elementy i otrzymalismy .
A może spróbujemy tak:
.
Tu równeż pogrupowaliśmy składniki, ale grupowanie zaczęliśmy od drugiego składnika. Ale tym razem wyszło nam , czyli wynik inny niż poprzednio.
A może oznaczmy sumę
Wówczas zauważamy, że , czyli , gdyż wyrażenie w nawiasie jest równe .
Stąd otrzymujemy: .
Zauważmy, że za każdym razem, w zależności od przyjętej metody, otrzymujemy inny wynik. To znaczy, że nasze podejście do sumowania nieskończenie wielu elementów jest niepoprawne - nie możemy dostawać różnych wyników przy sumowaniu tych samych elementów ustawionych w tej samej kolejności. Dodajmy, że wszystkie otrzymane wyniki w świetle przyjętej poniżej definicji są BŁĘDNE.
Musimy zdefiniować w taki sposób sumowanie, aby wynik był jednoznaczny.
Szeregiem o wyrazach nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu :
,
,
,
...
Liczby nazywane są sumami częściowymi szeregu o wyrazach Szereg o wyrazach oznaczamy symbolem lub symbolem .
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu, jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym. Jeżeli szereg ma sumę skończoną, to oznaczamy ją tak jak szereg lub symbolem .
Wracamy do przykładu .
Rozwiązanie
Mamy ciąg .
Zobaczmy jak wygląda ciąg sum częsciowych:
,
,
,
,
i tak dalej.
Zatem ciąg jest ciągiem rozbieżnym.
Zatem szereg jest szeregiem rozbieżnym.
Zbadamy zbieżność szeregu: .
Rozwiązanie
Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu :
,
,
,
...
Zatem wzór ciągu sum częściowych jest następujący:
.
Ponieważ
,
zatem szereg jest rozbieżny.
Zbadamy zbieżność szeregu: .
Rozwiązanie
Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu :
Możemy zauważyć, że sumy częściowe to sumy początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie . Zatem możemy zastosować wzór na sumę początkowych wyrazówwzór na sumę początkowych wyrazów:
czyli
.
Ponieważ ciąg zmierza do , zatem granicą ciągu jest .
Wobec tego szereg jest zbieżny do .
Ten przykład możemy zwizualizować na poniższym rysunku: w kwadracie o boku sumujemy pola prostokątów o polach kolejno: Łatwo zauważyć, że prostokąty te wypełniają cały kwadrat, czyli nieskończona suma wszystkich pól prostokątów jest równa .
Zbadamy zbieżność szeregu: .
Rozwiązanie
Wykorzystamy znaną zależność: .
Wówczas ciąg sum częściowych szeregu ma postać:
.
Zauważmy, że ciąg jest zbieżny i jego granicą jest .
Zatem szereg jest zbieżny.
Zbadamy zbieżność szeregu: .
Rozwiązanie
Wykorzystamy zależność podobną do tej z poprzedniego przykładu: .
Wówczas ciąg sum częściowych szeregu ma postać:
Zauważmy, że ciąg jest zbieżny i jego granicą jest .
Zatem szereg jest zbieżny.
Zbadamy zbieżność szeregu: .
Rozwiązanie
Ciąg sum częściowych szeregu ma postać:
,
czyli
Ciąg jest rozbieżny do , zatem szereg jest rozbieżny.
Mając dany ciąg sum częściowych szeregu znaleźć wzór ciągu .
Rozwiązanie
Dla liczb naturalnych możemy zauważyć, że zachodzi następująca zależność:
.
Zatem w przypadku ciągu z zadania możemy zapisać:
.
Osobno obliczymy wzór na :
.
Zwróćmy uwagę na to, że w ostatnim przykładzie wyraz był obliczany osobno. Dlaczego to jest takie ważne?
Zauważmy, że gdybyśmy wzięli ciąg sum częściowych szeregu , to dla liczb naturalnych , ciąg ma taki sam wzór, jak w przykładzie poprzednim. Ciągi różnią się tylko pierwszym wyrazem.
Słownik
Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , to suma początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
, gdy ,
, gdy