Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W tym materiale zastanowimy się, co to znaczy dodać do siebie nieskończenie wiele liczb i jaki jest wynik tego działania.

Weźmy przykład następujący:

1-1+1-1+1-1+...

Może zrobimy tak:

1-1+1-1+1-1+...=0+0+0...=0.

Czyli pogrupowaliśmy po dwa składniki sumy i dodalismy pogrupowane elementy i otrzymalismy 0.

A może spróbujemy tak:

1+-1+1+-1+1+-1+0+...=1+0+0+0+...=1.

Tu równeż pogrupowaliśmy składniki, ale grupowanie zaczęliśmy od drugiego składnika. Ale tym razem wyszło nam 1, czyli wynik inny niż poprzednio.

A może oznaczmy sumę s=1-1+1-1+1-1+...

Wówczas zauważamy, że s=1-1-1+1-1+1-1+..., czyli s=1-s, gdyż wyrażenie w nawiasie jest równe s.

Stąd otrzymujemy: s=12.

Zauważmy, że za każdym razem, w zależności od przyjętej metody, otrzymujemy inny wynik. To znaczy, że nasze podejście do sumowania nieskończenie wielu elementów jest niepoprawne - nie możemy dostawać różnych wyników przy sumowaniu tych samych elementów ustawionych w tej samej kolejności. Dodajmy, że wszystkie otrzymane wyniki w świetle przyjętej poniżej definicji są BŁĘDNE.

Musimy zdefiniować w taki sposób sumowanie, aby wynik był jednoznaczny.

szeregu liczbowego
Definicja: szeregu liczbowego

Szeregiem o wyrazach a1,a2,a3,... nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu an:

s1=a1,

s2=a1+a2,

s3=a1+a2+a3,

...

Liczby s1,s2,s3,... nazywane są sumami częściowymi szeregu o wyrazach a1,a2,a3,... Szereg o wyrazach a1,a2,a3,... oznaczamy symbolem a1+a2+a3+... lub symbolem n=1an.

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu, jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym. Jeżeli szereg ma sumę skończoną, to oznaczamy ją tak jak szereg a1+a2+a3+... lub symbolem n=1an.

Przykład 1

Wracamy do przykładu 1-1+1-1+1-1+...=n=1-1n+1.

Rozwiązanie

Mamy ciąg an=-1n+1.

Zobaczmy jak wygląda ciąg sum częsciowych:

s1=1,

s2=1-1=0,

s3=1-1+1=1,

s4=1-1+1-1=0,

i tak dalej.

Zatem ciąg sn jest ciągiem 1,0,1,0,1,0,... rozbieżnym.

Zatem szereg n=1-1n+1 jest szeregiem rozbieżnym.

Przykład 2

Zbadamy zbieżność szeregu: n=1n+1-n.

Rozwiązanie

Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu an=n+1-n:

s1=2-1,

s2=2-1+3-2=3-1,

s3=2-1+3-2+4-3=4-1,

...

Zatem wzór ciągu sum częściowych jest następujący:

sn=2-1+3-2+4-3++n+1-n=

=n+1-1=n+1-1.

Ponieważ

limnsn=limnn+1-1=+,

zatem szereg n=1n+1-n jest rozbieżny.

Przykład 3

Zbadamy zbieżność szeregu: n=112n.

Rozwiązanie

Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu an=12n:

s1=12

s2=12+14=34

s3=12+14+18=78

Możemy zauważyć, że sumy częściowe to sumy początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1=12 i ilorazie q=12. Zatem możemy zastosować wzór na sumę początkowych wyrazówsuma początkowych wyrazów ciągu geometrycznegowzór na sumę początkowych wyrazów:

sn=121-12n1-12

czyli

sn=1-12n.

Ponieważ ciąg bn=12n zmierza do 0, zatem granicą ciągu sn=1-12n jest 1.

Wobec tego szereg n=112n jest zbieżny do 1.

Ten przykład możemy zwizualizować na poniższym rysunku: w kwadracie o boku 1 sumujemy pola prostokątów o polach kolejno: 12,14,18,... Łatwo zauważyć, że prostokąty te wypełniają cały kwadrat, czyli nieskończona suma wszystkich pól prostokątów jest równa 1.

R1GAAHkxGSIXR
Przykład 4

Zbadamy zbieżność szeregu: n=11nn+1.

Rozwiązanie

Wykorzystamy znaną zależność: 1nn+1=1n-1n+1.

Wówczas ciąg sum częściowych szeregu 1nn+1=1n-1n+1 ma postać:

sn=11·2+12·3++1n·n+1=

=1-12+12-13++1n-1n+1=1-1n+1.

Zauważmy, że ciąg sn=1-1n+1 jest zbieżny i jego granicą jest 1.

Zatem szereg n=11nn+1 jest zbieżny.

Przykład 5

Zbadamy zbieżność szeregu: n=112n-12n+1.

Rozwiązanie

Wykorzystamy zależność podobną do tej z poprzedniego przykładu: 12n-12n+1=1212n-1-12n+1.

Wówczas ciąg sum częściowych szeregu n=112n-12n+1 ma postać:

sn=11·3+13·5++12n-12n+1=

=12(113+1315++12n112n+1)=12(112n+1)

Zauważmy, że ciąg sn=12(112n+1) jest zbieżny i jego granicą jest 12.

Zatem szereg n=112n-12n+1 jest zbieżny.

Przykład 6

Zbadamy zbieżność szeregu: n=1n.

Rozwiązanie

Ciąg sum częściowych szeregu n=1n ma postać:

sn=1+2+3+...+n,

czyli

sn=nn+12

Ciąg sn=nn+12 jest rozbieżny do +, zatem szereg n=1n jest rozbieżny.

Przykład 7

Mając dany ciąg sum częściowych sn=2-1n2 szeregu n=1an znaleźć wzór ciągu an.

Rozwiązanie

Dla liczb naturalnych n>1 możemy zauważyć, że zachodzi następująca zależność:

sn-sn-1=a1+a2+....+an-a1+a2+....+an-1=an.

Zatem w przypadku ciągu z zadania możemy zapisać:

an=2-1n2-2-1n-12=n2-n-12n2n-12=2n-1n2n-12.

Osobno obliczymy wzór na a1:

a1=s1=1.

Ważne!

Zwróćmy uwagę na to, że w ostatnim przykładzie wyraz a1 był obliczany osobno. Dlaczego to jest takie ważne?

Zauważmy, że gdybyśmy wzięli ciąg sum częściowych sn=1-1n2 szeregu n=1an, to dla liczb naturalnych n>1, ciąg an ma taki sam wzór, jak w przykładzie poprzednim. Ciągi różnią się tylko pierwszym wyrazem.

Słownik

suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

  • sn=a11-qn1-q, gdy q1,

  • sn=n·a1, gdy q=1