W ulubionej księgarni czwórki przyjaciół interesujących się kosmosem, książka „Astronomia” kosztuje $21,57 \mathrm{zł}$.

RNY0GDY7Mllyu

Ilustracja przedstawia otwartą książkę leżącą na stole. W tle znajduje się regał z książkami. Nad otwartą książką umieszczone są dorysowane miniaturowe konstelacje gwiazd oraz dwie planety z pierścieniami. Po lewej stronie książki umieszczony jest komiksowy dymek, a w nim zapisana jest cena 21 złotych i 57 groszy.

Po powrocie do domu Tomek powiedział, że książka kosztowała prawie $25 \mathrm{zł}$, Tymek – że trochę ponad $20 \mathrm{zł}$, Wojtek – prawie $22 \mathrm{zł}$, a Adam, że około $21 \mathrm{zł}$.

Każdy z chłopców podał przybliżoną wartość ceny książki. Zwróć uwagę, że niektóre z tych przybliżeń są większe od dokładnej wartości, a pozostałe są od niej mniejsze.

W sklepie do ceny netto dolicza się podatek VAT, wynoszący $23\%$ wartości, za którą właściciel chce sprzedać towar.

R1Ss1nZfU2UpV

Zdjęcie przedstawia ogród, na środku którego stoi kosiarka spalinowa. Po jej prawej stronie umieszczony jest dymek z ceną 1689 złotych.

Jeśli cena netto kosiarki spalinowej do trawy wynosi $1373,17 \mathrm{zł}$ i doliczymy do niej $23\%$ podatku, to otrzymamy kwotę $1688,9991 \mathrm{zł}$.

Oczywiście cena brutto podana przez sprzedawcę będzie przybliżeniem powyższej – $1689 \mathrm{zł}$.

Uczniowie zaplanowali wycieczkę w Bieszczady. Postanowili pokonać jedną ze znanych tras Rozsypaniec i Halicz.

R1aKFPlrhkORC

Zdjęcie przedstawia teren wyżynno górzysty oraz niebo.

Korzystając z informacji zawartych na portalach internetowych i mapach, ustalili następujące etapy wyprawy:

1. Wołosate – Rozsypaniec – $9,3 \mathrm{km}$; $2 \mathrm{godz}. 20 \min$.

2. Rozsypaniec – Halicz – $1,4 \mathrm{km}$; $19 \min$.

3. Halicz – Przełęcz Goprowska – $3,4 \mathrm{km}$; $50 \min$.

4. Przełęcz Goprowska – Tarnica – $1,2 \mathrm{km}$; $26 \min$.

5. Tarnica – Wołosate – $4,9 \mathrm{km}$; $1 \mathrm{godz}. 11 \min$.

Oszacowali długość trasy:

$9 \mathrm{km}+1,5 \mathrm{km}+3,5 \mathrm{km}+1 \mathrm{km}+5 \mathrm{km}=20 \mathrm{km}$

oraz czas, jaki powinni przeznaczyć na wycieczkę:

$2,5 \mathrm{h}+0,5 \mathrm{h}+1 \mathrm{h}+0,5 \mathrm{h}+1 \mathrm{h}=5,5 \mathrm{h}$

Sprawdźmy dokładność ich obliczeń.

Długość trasy:

$9,3 \mathrm{km}+1,4 \mathrm{km}+3,4 \mathrm{km}+1,2 \mathrm{km}+4,9 \mathrm{km}=20,2 \mathrm{km}$.

Czas potrzebny na pokonanie trasy:

$2 \mathrm{godz} 20 \min +19 \min + 50 \min +26 \min +1 \mathrm{godz} 11 \min =$

$=3 \mathrm{godz} 126 \min =5 \mathrm{godz} 6 \min$

A zatem ich przybliżenia okazały się być bliskie dokładnej sumy podanych wartości.

Najbardziej znanym w matematyce jest przybliżenie liczbyprzybliżenie liczbyprzybliżenie liczby $\mathrm{\pi }$ (pi).

Już w starożytności Archimedes – słynny starożytny matematyk oszacował liczbę $\mathrm{\pi }$ jako $\frac{22}{7}$.

W $\mathrm{III}$ wieku n.e. Liu Hui ustalił, że wartość $\mathrm{\pi }$ jest równa $3,14159$.

Z biegiem lat pasjonaci matematyki starali się znaleźć coraz dokładniejsze przybliżenia tej liczby.

W $\mathrm{XVII}$ w. niemiecki matematyk Ludolph van Ceulen, podał rozwinięcie liczby $\mathrm{\pi }$ z dokładnością do $35$ miejsc po przecinku.

W $\mathrm{XIX}$ wieku brytyjski pasjonat matematyki William Shanks obliczył jej wartość z dokładnością do $707$ miejsc po przecinku. Obliczenia te prowadził przez $15$ lat.

W obecnych czasach w obliczeniach pomagają maszyny.
W styczniu $2010$ r. francuski informatyk Fabrice Bellard, korzystając z domowego komputera, obliczył prawie $2,7$ bilionów cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\mathrm{\pi }$.

Liczba $\pi$ jest liczbą niewymierną, a zatem jej rozwinięcie dziesiętnerozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistejrozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Najczęściej używane przybliżenie liczby $\pi$:

$\pi \approx 3,14$

Często też przybliżamy wartości innych liczb niewymiernych np. pierwiastków:

$\sqrt{2}=1,414213562...\approx 1,41$

$\sqrt{17}=4,123105626...\approx 4,123$

$\sqrt[3]{16}=2,5198421...\approx 2,5$

Oczywiście możemy również obliczać przybliżenia dziesiętne liczb wymiernych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone lub nieskończone okresowe.

Może się ono składać z bardzo długiego ciągu cyfr, a zatem często wygodniej nam używać przybliżeń tych liczb.

Przypomnijmy, że aby znaleźć rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej przedstawionej w postaci ułamka zwykłego należy podzielić licznik tego ułamka przez jego mianownik.

$\frac{2}{7}=0,2857142857142857...\approx 0,2857$

$4\frac{1}{3}=4,33333333...\approx 4,3$

przedstawienie liczby w postaci ułamka dziesiętnego

podanie wartości liczby z pewną dokładnością