Przeczytaj
Znasz już niektóre zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Teraz utrwalisz oraz rozwiniesz zdobyte wcześniej umiejętności i poznasz jeszcze inne zastosowania tego wzoru.
Obliczenia arytmetyczne
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.
Aby obliczyć kwadraty liczb , , , zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych , .
Wykażemy, że liczba jest liczbą całkowitą.
Przedstawiamy liczby i jako kwadraty liczb rzeczywistych i skorzystamy z równości .
Stąd:
Zapisujmy wyrażenie określające liczbę w prostszej postaci.
Liczba jest liczbą całkowitą, zatem liczba jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.
Przekształcenia algebraiczne
Wzór zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania.
Rozwiążemy równanie .
Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.
Stąd:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Rozwiążemy równanie .
Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.
Wzór jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.
Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie .
Wyłączyliśmy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.
W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.
Skracamy.
Dowodzenie twierdzeń
Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumywzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.
Uzasadnimy, że jeśli , to liczby rzeczywiste dodatnie takie, że i to . Wartość iloczynu znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy liczb i .
Do wzoru podstawiamy: za liczbę , za liczbę .
Stąd:
Zatem , co należało udowodnić.
Wykażemy, że jeśli jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.
Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.
W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.
Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.
Wykazaliśmy, że liczba jest kwadratem liczby .
Słownik
kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie