Aby obliczyć kwadraty liczb $41$, $102$, $3008$, zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $5\frac{1}{8}$, $6\frac{3}{4}$.

Wykażemy, że liczba $K=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ jest liczbą całkowitą.

Przedstawiamy liczby $11+6\sqrt{2}$ i $6+4\sqrt{2}$ jako kwadraty liczb rzeczywistych i skorzystamy z równości $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Stąd:

$\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2}{)}^2}=|3+\sqrt{2}|$

$\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{2}{)}^2}=|2+\sqrt{2}|$

Zapisujmy wyrażenie określające liczbę $K$ w prostszej postaci.

$K=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}-2-\sqrt{2}=1$

Liczba $1$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $K$ jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.

Rozwiążemy równanie $x^2+10x+25=0$.

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^2+10x+25=0$

$(x+5{)}^2=0$

Stąd:

$x+5=0$

$x=-5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-5\right)$.

Rozwiążemy równanie $4x^2+4x+5=0$.

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Wzór $(a+b{)}^2$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K=\frac{18x^2+8y^2+24xy}{6y+9x}$.

Wyłączyliśmy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

Skracamy.

Uzasadnimy, że jeśli $x$, $y$ to liczby rzeczywiste dodatnie takie, że $x+y=4$ i $x^2+y^2=10$ to $xy=3$. Wartość iloczynu $x·y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy liczb $x$ i $y$.

Do wzoru podstawiamy: za $x+y$ liczbę $4$, za $x^2+y^2$ liczbę $10$.

Stąd:

Zatem $xy=3$, co należało udowodnić.

Wykażemy, że jeśli $a$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba $M=\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{2}+\frac{a^2}{4}$ jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

$M=\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{2}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^4+2a^3+a^2}{4}$

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

$M=\frac{a^4+2a^3+a^2}{4}=\frac{a^2}{4}\left(a^2+2a+1\right)=\frac{a^2}{4}(a+1{)}^2$

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

Wykazaliśmy, że liczba $M$ jest kwadratem liczby $\frac{a(a+1)}{2}$.

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie