Funkcję określoną wzorem

gdzie $a\in R$ i $b\in R,$nazywamy funkcją liniową.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej dwukrotność pomniejszoną o $4$.

Wyznaczymy:

a) wzór tej funkcji,

b) wartość funkcji dla argumentu $\frac{1}{3}$,

c) argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $\left(-2\right)$.

Rozwiązanie:

a) Funkcja jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=2x-4$,

b) $f\left(\frac{1}{3}\right)=2·\frac{1}{3}-4$, zatem $f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{10}{3}$,

c) $f\left(x\right)=-2$, zatem $-2=2x-4$.

Wobec tego $x=1$.

Funkcja liniowa  $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+4$.

Wyznaczymy:

a) odpowiedni podzbiór zbioru wartości tej funkcji, jeżeli podzbiorem jej dziedziny jest zbiór $⟨-3,2⟩$,

b) odpowiedni podzbiór dziedziny tej funkcji, jeżeli podzbiorem zbioru wartości jest zbiór $⟨3,5⟩$.

Rozwiązanie:

a) Zauważmy, że wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału (funkcja liniowa jest monotoniczna i różnowartościowa), zatem:

$f\left(-3\right)=-\frac{1}{2}·\left(-3\right)+4=\frac{11}{2}$,

$f\left(2\right)=-\frac{1}{2}·2+4=3$.

Wobec tego podzbiorem zbioru wartości jest zbiór  $⟨3,\frac{11}{2}⟩$.

b) Zauważmy, że wystarczy obliczyć argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości z końców podanego przedziału, zatem:

$3=-\frac{1}{2}x+4$, czyli $x=2$,

$5=-\frac{1}{2}x+4$, czyli $x=-2$.

Dlatego też szukanym podzbiorem dziedziny tej funkcji jest zbiór $⟨-2,2⟩$.

Zapiszemy wzór funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$, jeżeli:

a) $a=-2$ oraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-3\right)$ wynosi $4$,

b) $b=2$ oraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-5\right)$ wynosi $1$.

Rozwiązanie:

a) Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=-2x+b$.

Ponieważ wartość funkcji dla argumentu $\left(-3\right)$ wynosi $4$, to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$4=\left(-2\right)·\left(-3\right)+b$, wobec tego $b=-2$.

Funkcja wyraża się więc wzorem $f\left(x\right)=-2x-2$.

b) Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=ax+2$.

Ponieważ wartość funkcji dla argumentu $\left(-5\right)$ wynosi $1$, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1=a·\left(-5\right)+2$, wobec tego $a=\frac{1}{5}$.

Zatem funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{5}x+2$.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej liczbę do niej przeciwną, powiększoną o $2$.

Wyznaczymy:

a) wzór tej funkcji,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ze zbioru $\left\{-3, -1, 3, 5\right\}$.

Rozwiązanie:

a) Funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-x+2$,

b) wyznaczamy wartości argumentów:

$-3=-x+2$, zatem $x=5$,

$-1=-x+2$, zatem $x=3$,

$3=-x+2$, zatem $x=-1$,

$5=-x+2$, zatem $x=-3$.

Zależność pomiędzy temperaturą $t_C$ mierzoną w stopniach Celsjusza ($°\mathrm{C}$) i temperaturą $t_F$ mierzoną w stopniach Fahrenheita ($°\mathrm{F}$) wyraża wzór $t_C=\frac{5}{9}·\left(t_F-32\right)$.

Wyznaczymy:

a) wartość temperatury wyrażonej w $°\mathrm{C}$, gdy temperatura wynosi $59°\mathrm{F}$,

b) wartość temperatury wyrażonej w $°\mathrm{F}$, gdy temperatura wynosi $5°\mathrm{C}$.

Rozwiązanie

a) $t_C=\frac{5}{9}·\left(59-32\right)=\frac{5}{9}·27=15$,

b) $5=\frac{5}{9}·\left(t_F-32\right)$.

Równanie przekształcamy do postaci $45=5t_F-160$, zatem $t_F=41$.

funkcja określona wzorem

gdzie: $a, b, x\in \mathrm{ℝ}$