Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $12$, a krawędź podstawy $10$.

Obliczymy objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

R1UDNzn8lJJJL

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D S oraz jego przekrój E F S. Przez środek boków B C i A D oraz wierzchołek S poprowadzono przekrój bryły. Przekrój ten znajduje się wewnątrz ostrosłupa i jest trójkątem równoramiennym z wpisanym okręgiem. Okrąg jest styczny do trójkąta w trzech punktach. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość S O trójkąta równoramiennego, gdzie punkt O znajduje się na środku odcinka E F. Wysokość ta jest również wysokością ostrosłupa i przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt. Podpisano także odpowiednie odcinki, odcinek A B o  długości dziesięć, odcinek B C o długości dziesięć, oraz odcinek S O o długości dwanaście.

Do obliczenia promienia kuli potrzebujemy pola i obwodu trójkąta $EFS$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $FOS$ obliczymy długość odcinka $FS$:

${\left|FS\right|}^2={\left|SO\right|}^2+{\left|FO\right|}^2$

${\left|FS\right|}^2={12}^2+5^2$

${\left|FS\right|}^2=169$

$\left|FS\right|=13$

Zatem $p=\frac{1}{2}\left(10+2·13\right)=18$ oraz $P_{EFS}=\frac{1}{2}·10·12=60$.

Stąd $r=\frac{P_{EFS}}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}$. Ostatecznie objętość kuli $V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{10}{3}\right)}^3=\frac{4000}{81}\pi$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a$. Przekrój płaszczyzną zawierającą wysokość tego ostrosłupa i przechodząca przez środki przeciwległych krawędzi podstawy jest trójkątem równobocznym. Obliczymy promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

R1ePJHjHU5PLY

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D S oraz jego przekrój E F S. Przez środek boków B C i A D oraz wierzchołek S poprowadzono przekrój bryły. Przekrój ten znajduje się wewnątrz ostrosłupa i jest trójkątem równobocznym z wpisanym okręgiem o środku w punkcie P. Okrąg jest styczny do trójkąta w trzech punktach. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość S O trójkąta równobocznego, gdzie punkt O znajduje się na środku odcinka E F. Wysokość ta jest również wysokością ostrosłupa i przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt. Podpisano także odpowiednie odcinki, odcinki A B, B C oraz S F mają długość a, natomiast odcinek P O ma długość r.

Ponieważ trójkąt $EFS$ jest równoboczny, to promień okręgu wpisanego w ten trójkątpromień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku apromień okręgu wpisanego w ten trójkąt stanowi $\frac{1}{3}$ wysokości tego trójkąta. Stąd $r=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości równej $a$. Obliczymy promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RaXdVrrjZH04r

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D S oraz jego przekrój E F S. Przez środek boków B C i A D oraz wierzchołek S poprowadzono przekrój bryły. Przekrój ten znajduje się wewnątrz ostrosłupa i jest trójkątem równoramiennym z wpisanym okręgiem o środku w punkcie P. Okrąg jest styczny do trójkąta w trzech punktach. Z wierzchołka S poprowadzono wysokość S O trójkąta równoramiennego , gdzie punkt O znajduje się na środku odcinka E F. Wysokość ta jest również wysokością ostrosłupa i przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt. Podpisano także odpowiednie odcinki, odcinki A B, B C oraz S C mają długość a, natomiast odcinek P O ma długość r. W trójkącie B F S przy wierzchołku F zaznaczono kąt prosty.

Odcinek $SO$ jest wysokością tego ostrosłupa oraz $r$ jest promieniem kuli wpisanej w ten ostrosłup. Zauważmy, że ściany boczne ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Stąd trójkąt $EFS$ jest trójkątem równoramiennym o podstawie $a$ i ramionach długości $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Promień kuli wpisanej w ostrosłup jest promieniem okręgu wpisanego w trójkątpromień okręgu wpisanego w dowolny trójkątpromieniem okręgu wpisanego w trójkąt $EFS$.

Jego długość obliczymy ze wzoru $r=\frac{P_{EFS}}{p}$, gdzie $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta $EFS$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $FOS$ obliczymy długość wysokości trójkąta $EFS$.

${\left|SO\right|}^2+{\left|EO\right|}^2=\left|SE\right|{}^2$

${\left|SO\right|}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

${\left|SO\right|}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

$\left|SO\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Stąd $P_{FES}=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$.

Połowa obwodu trójkąta $EFS$ jest równa $p=\frac{1}{2}\left(2·\frac{a\sqrt{3}}{2}+a\right)=\frac{a\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}$.

Zatem $r=\frac{P_{EFS}}{p}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}·\frac{2}{a\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{a\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a$. Przekrój płaszczyzną zawierającą wysokość tego ostrosłupa i przechodząca przez środki przeciwległych krawędzi podstawy jest trójkątem prostokątnym. Obliczymy pole powierzchni kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RJLgObe8Qkv1Q

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D S oraz jego przekrój E F S. Przez środek boków B C i A D oraz wierzchołek S poprowadzono przekrój bryły. Przekrój ten znajduje się wewnątrz ostrosłupa i jest trójkątem równoramiennym z wpisanym okręgiem o środku w punkcie P. Okrąg jest styczny do trójkąta w trzech punktach. Z wierzchołka S upuszczono wysokość S O trójkąta równoramiennego , gdzie punkt O znajduje się na środku odcinka E F. Wysokość ta jest również wysokością ostrosłupa i przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt. Podpisano także odpowiednie odcinki, odcinki A B oraz B C mają długość a, natomiast odcinek P O ma długość r. W trójkącie B F S przy wierzchołku F zaznaczono kąt prosty. W trójkącie E F S przy wierzchołku S również zaznaczono kąt prosty.

Zauważmy, że trójkąt $EFS$ jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym o przeciwprostokątnej długości $a$. Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Stąd promień okręgu wpisanego w ten trójkątpromień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b i przeciwprostokątnej cpromień okręgu wpisanego w ten trójkąt $r=\frac{\left|SE\right|+\left|FS\right|-\left|EF\right|}{2}=\frac{2·\frac{a\sqrt{2}}{2}-a}{2}=\frac{a\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}$.

Zatem pole powierzchni kuli $P=4\pi r^2=4\pi \frac{a^2\left(3-2\sqrt{2}\right)}{4}=\pi a^2\left(3-2\sqrt{2}\right)$.

ostrosłup prosty, który ma w podstawie kwadrat. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery identyczne ściany boczne, które są trójkątami równoramiennymi

promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ i przeciwprostokątnej $c$ wyraża się wzorem $r=\frac{a+b-c}{2}$.

promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku $a$, wyraża się wzorem $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt wyraża się wzorem $r=\frac{P_{\Delta }}{p}$, gdzie $P_{\Delta }$ - pole trójkąta, $p$ – połowa obwodu tego trójkąta