Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci

ax2+bx+c=0

gdzie:
a, bc – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a0.

Postać ax2+bx+c=0, gdy a0 nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki b lub c są równe 0, nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli b=0c=0, to równanie kwadratowe ax2=0 ma tylko jedno rozwiązanie x=0.

Z definicji wartości bezwzględnej mamy

x=xdla x0-xdla x<0.
Przykład 1

Rozwiążemy równanie x2+3x=4.

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby xwartości bezwzględnej.

Jeżeli a>0, to x=ax=-ax=a.

Otrzymujemy alternatywę równań.

x2+3x=4 lub x2+3x=-4

x2+3x-4=0 lub x2+3x+4=0

=9+16=25 lub =9-16<0 (brak rozwiązań)

=5

x1=-3-52=-4

x2=-3+52=1

Rozwiązaniem równania są liczby  x=-4, x=1.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie x2+x+5=0.

Rozważymy funkcję kwadratową fx=x2+x+5.

Funkcja f nie posiada miejsc zerowych, bo <0.

Ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni ramiona paraboli skierowane są do góry.

Czyli funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x, bo wykres znajduje się powyżej osi X.

Zatem równanie x2+x+5=0 nie posiada rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie x2+2x=1+4x-x2.

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności, że a=ba=b lub a=-b.

Czyli x2+2x=1+4x-x2 lub x2+2x=-1+4x-x2.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem równania x2+2x=1+4x-x2.

2x2-2x-1=0

=4+8=12

=12=23

x1=2-234=1-32

x2=2+234=1+32

Teraz rozwiążemy równanie x2+2x=-1+4x-x2.

x2+2x=-1-4x+x2

6x=-1

x=-16

Rozwiązaniem równania są liczby  x=1-32, x=-16, x=1+32.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie x2-4x-5=x2-4x-5.

Wiemy, że x=x dla x0.

Czyli x2-4x-50.

=16+20=36

=36=6

x1=4-62=-1

x2=4+62=5

x-, -15, 

Równanie spełniają wszystkie liczby x-, -15, .

Przykład 5

Obliczymy,  dla jakiej wartości parametru m równanie x2+2x+3+x2+2x-3=m ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby xwartości bezwzględnej otrzymujemy:

x2+2x+3=x2+2x+3 dla x2+2x+30, x, bo <0.

x2+2x-3=x2+2x-3dla x2+2x-30, x-, -31,  -x2+2x-3dla x2+2x-3<0, x-3, 1

Czyli rozważymy alternatywę dwóch przypadków.

  1. x-, -31, 

    x2+2x+3+x2+2x-3=m

    2x2+4x-m=0

    Równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie może być sprzeczne.

  1. x-3, 1

    x2+2x+3-x2-2x+3=m

    m=6

    Równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań dla m=6.

Słownik

wartość bezwzględna liczby x
wartość bezwzględna liczby x
x=xdla x0-xdla x<0