Przeczytaj

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci

a x^{2} + b x + c = 0,

gdzie:
$a$ , $b$ i $c$ – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ , to równanie kwadratowe $a x^{2} = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie $x = 0$ .

Z definicji wartości bezwzględnej mamy

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 3 x| = 4$ .

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej.

Jeżeli $a > 0$ , to $|x| = a \Leftrightarrow x = - a \lor x = a$ .

Otrzymujemy alternatywę równań.

$x^{2} + 3 x = 4$ lub $x^{2} + 3 x = - 4$

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$ lub $x^{2} + 3 x + 4 = 0$

$Δ = 9 + 16 = 25$ lub $Δ = 9 - 16 < 0$ (brak rozwiązań)

$\sqrt{Δ} = 5$

$x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 4$ , $x = 1$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + x + 5| = 0$ .

Rozważymy funkcję kwadratową $f (x) = x^{2} + x + 5$ .

Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, bo $Δ < 0$ .

Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ramiona paraboli skierowane są do góry.

Czyli funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in ℝ$ , bo wykres znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem równanie $|x^{2} + x + 5| = 0$ nie posiada rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 2 x| = |1 + 4 x - x^{2}|$ .

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności, że $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ lub $a = - b$ .

Czyli $x^{2} + 2 x = 1 + 4 x - x^{2}$ lub $x^{2} + 2 x = - (1 + 4 x - x^{2})$ .

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem równania $x^{2} + 2 x = 1 + 4 x - x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

$Δ = 4 + 8 = 12$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$x_{1} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$x_{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Teraz rozwiążemy równanie $x^{2} + 2 x = - (1 + 4 x - x^{2})$ .

$x^{2} + 2 x = - 1 - 4 x + x^{2}$

$6 x = - 1$

$x = - \frac{1}{6}$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ , $x = - \frac{1}{6}$ , $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4 x - 5| = x^{2} - 4 x - 5$ .

Wiemy, że $|x| = x$ dla $x \geq 0$ .

Czyli $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ .

$Δ = 16 + 20 = 36$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{36} = 6$

$x_{1} = \frac{4 - 6}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$

Równanie spełniają wszystkie liczby $x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$ .

Przykład 5

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $|x^{2} + 2 x + 3| + |x^{2} + 2 x - 3| = m$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$|x^{2} + 2 x + 3| = x^{2} + 2 x + 3$ dla $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ , $x \in ℝ$ , bo $Δ < 0$ .

$|x^{2} + 2 x - 3| = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 & dla x^{2} + 2 x - 3 \geq 0, x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨1, \infty) \\ - (x^{2} + 2 x - 3) & dla x^{2} + 2 x - 3 < 0, x \in (- 3, 1) \end{cases}$

Czyli rozważymy alternatywę dwóch przypadków.

$x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨1, \infty)$
$x^{2} + 2 x + 3 + x^{2} + 2 x - 3 = m$
$2 x^{2} + 4 x - m = 0$
Równanie kwadratowe z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie może być sprzeczne.

$x \in (- 3, 1)$
$x^{2} + 2 x + 3 - x^{2} - 2 x + 3 = m$
$m = 6$
Równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań dla $m = 6$ .

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik