Ilustracja pierwsza. Rozwiążemy równanie $\left|x-1\right|+\left|x^2+3x+2\right|=2$. W rozwiązaniu równania skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Rozwiązanie. Pierwszy składnik sumy: $\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}x-1, x\ge 1\\ -\left(x-1\right), x<0\end{array}\right.$. Drugi składnik sumy: $\left|x^2+3x+2\right|=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3x+2, x^2+3x+2\ge 0, x\in \left(-\infty ,-2\right.⟩\cup \left.⟨-1,\infty \right)\\ -\left(x^2+3x+2\right), x^2+3x+2<0, x\in \left(-2,-1\right)\end{array}\right.$.

Ilustracja druga, część dalsza rozwiązania. Naszkicujemy wykres funkcji liniowej $f\left(x\right)=x-1$ oraz $g\left(x\right)=x^2+3x+2$. Rysunek. Na poziomej prostej x przedstawionej od minus dwóch do jeden narysowano wykresy funkcji f i g. Wykres funkcji g jest parabolą o wierzchołku znajdującym się pod osią x i o ramionach skierowanych do góry. Jej miejscami zerowymi są punkty minus 2 i minus jeden. Część osi x na lewo od punktu minus dwa, gdzie parabola leży na osią, zaznaczono plusami, odcinek osi od minus dwóch do minus jeden, gdzie parabola znajduje się pod osią, oznaczono minusami i część osi na prawo od minus jeden oznaczono plusami, gdyż w tej części parabola znajduje się na osią x. Wykres funkcji f jest z kolei ukośną prostą przechodzącą przez punkt jeden. Na lewo od punktu jeden zaznaczono minusami fakt, iż wykres znajduje się pod osią x, na prawo od punktu jeden plusami oznaczono fakt, iż wykres funkcji znajduje się nad osią x. Dalsza część rozwiązania. Na podstawie wykresów funkcji wyznaczymy przedziały liczbowe, w których rozpatrzymy równanie z wartościami bezwzględnymi. Mamy tu trzy następujące przypadki. Przypadek pierwszy: $x^2+3x+2\ge 0\wedge x-1\ge 0, x\in \left.⟨1,\infty \right)$. Przypadek drugi: $x^2+3x+2<0\wedge x-1<0, x\in \left(-2,-1\right)$. Przypadek trzeci: $x^2+3x+2\ge 0\wedge x-1<0, x\in \left(-\infty ,-2\right.⟩\cup \left.⟨-1,1\right)$

Ilustracja trzecia. Rozważymy przypadek pierwszy. Najpierw rozwiążemy równanie w pierwszym wyznaczonym przedziale. $x\in \left.⟨1,\infty \right)$. Równanie w tym przedziale przyjmuje postać: $x-1+x^2+3x+2=2$. Po uproszczeniu mamy: $x^2+4x-1=0$. Następnie obliczmy wyznacznik trójmianu kwadratowego: $\Delta =16+4=20$. Pierwiastek z wyróżnika wynosi: $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{5}$. Zatem ostatecznie otrzymujemy: $x_1=\frac{-4-2\sqrt{5}}{2}=-2-\sqrt{5}$ oraz $x_2=\frac{-4+2\sqrt{5}}{2}=-2+\sqrt{5}$. Sprawdzimy teraz, czy otrzymane liczby zawierają się w wyznaczonym przedziale. $x_1=-2-\sqrt{5}\notin \left.⟨1,\infty \right)$ oraz $x_2=-2+\sqrt{5}\notin \left.⟨1,\infty \right)$. Żadne z rozwiązań nie należy więc do przedziału $\left.⟨1,\infty \right)$.

Ilustracja czwarta. Rozważymy przypadek drugi. Najpierw rozwiążemy równanie w pierwszym wyznaczonym przedziale. $x\in \left(-2,-1\right)$. Równanie w tym przedziale przyjmuje postać: $-x+1-x^2-3x-2=2$. Po uproszczeniu mamy: $-x^2-4x-3=0$. Wymnażamy obie strony przez minus jeden, otrzymując $x^2+4x+3=0$. Następnie obliczmy wyznacznik trójmianu kwadratowego: $\Delta =16-4=4$. Pierwiastek z wyróżnika wynosi: $\sqrt{\Delta }=2$. Zatem ostatecznie otrzymujemy: $x_1=\frac{-4-2}{2}=-3$ oraz $x_1=\frac{-4+2}{2}=-1$. Sprawdzimy teraz, czy otrzymane liczby zawierają się w wyznaczonym przedziale. $x_1=-3\notin \left(-2,-1\right)$ oraz $x_2=-2\notin \left(-2,-1\right)$. Żadne z rozwiązań nie należy więc do przedziału $\left(-2,-1\right)$.

Ilustracja piąta. Rozważymy przypadek trzeci. Najpierw rozwiążemy równanie w pierwszym wyznaczonym przedziale. $x\in \left(-\infty ,-2\right.⟩\cup \left.⟨-1,1\right)$. Równanie w tym przedziale przyjmuje postać: $-x+1+x^2+3x+2=2$. Po uproszczeniu mamy: $x^2+2x+1=0$. Zauważmy, że jest to rozwinięcie wzoru na kwadrat sumy. Zapisujemy więc nasze równanie jako kwadrat sumy: ${\left(x+1\right)}^2=0$. Otrzymujemy więc, że $x=-1$. Sprawdzamy, czy nasza liczba należy do rozpatrywanego przez nas przedziału. $x=-1\in \left(-\infty ,-2\right.⟩\cup \left.⟨-1,1\right)$. Alternatywą dla wszystkich trzech przypadków jest $x=-1$. Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest $x=-1$.