Przeczytaj

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Reguła: Dzielenie wyrażeń wymiernych

Aby wykonać dzielenie wyrażeń wymiernychwyrażenie wymiernewyrażeń wymiernych $\frac{F (x)}{P (x)} : \frac{G (x)}{Q (x)}$ , wykonujemy opisane poniżej kroki.

Zapisujemy je w postaci mnożenia przez odwrotność dzielnika.
$\frac{F (x)}{P (x)} : \frac{G (x)}{Q (x)} = \frac{F (x)}{P (x)} \cdot \frac{Q (x)}{G (x)}$

Wykonujemy mnożenie.

Podajemy założenia wynikające z zakazu dzielenia przez $0$ .
$\{\begin{cases} P (x) \neq 0 \\ Q (x) \neq 0 \\ G (x) \neq 0 \end{cases}$

Przykład 1

Obliczmy $\frac{1}{x - 3} : \frac{x - 2}{x - 4}$ .

Zapiszmy działanie w postaci iloczynu.
$\frac{1}{x - 3} : \frac{x - 2}{x - 4} =$
$= \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 2} =$
$= \frac{x - 4}{(x - 2) (x - 3)}$

Założenia: $\{\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x - 4 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$ , czyli $x \in ℝ ∖ \{2; 3; 4\}$ .

Przykład 2

Obliczmy $\frac{2 x + 14}{x^{2} + 3 x - 28} : 6$ .

Zamieńmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadźmy wielomiany do postaci iloczynowej.

$\frac{2 x + 14}{x^{2} + 3 x - 28} : 6 =$
$= \frac{2 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4)} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} =$
$= \frac{2 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4)} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} =$
$= \frac{1}{3 (x - 4)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 7; 4\}$

Przykład 3

Obliczmy $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} : \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150}$ .

Zamieńmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i sprowadźmy wielomiany do postaci iloczynowej. Pamiętajmy o skracaniu.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} : \frac{x^{2} + 2 x - 15}{6 x^{2} - 150} =$
$= \frac{x^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9} \cdot \frac{6 x^{2} - 150}{x^{2} + 2 x - 15} =$
$= \frac{{(x - 3)}^{2}}{3 (x - 3)} \cdot \frac{2 \cdot 3 (x - 5) (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} =$
$= \frac{(x - 3)^{2}}{3 (x - 3)} \cdot \frac{2 \cdot 3 (x - 5) (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} = 2 (x - 5)$

Nie zapomnijmy, by wyznaczając dziedzinędziedzina wyrażenia wymiernegodziedzinę, uwzględnić istnienie zarówno drugiego ułamka, jak i jego odwrotności.
$x \in ℝ ∖ \{- 5; 3; 5\}$

Przykład 4

Obliczmy $\frac{\frac{x^{3} + 27}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9}}$ .

Ten przykład rozwiążemy dwiema metodami.

ROHRuKKl1fWp8

Mnożenie przez odwrotność:

Możemy główną kreskę ułamkową potraktować jak znak dzielenia i zastąpić dzielenie odpowiednim mnożeniem przez odwrotność.
$\frac{\frac{x^{3} + 27}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9}} =$
$= \frac{x^{3} + 27}{x - 3} : \frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9} =$
$= \frac{x^{3} + 27}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= {(x + 3)}^{2}$ .

, Rozszerzanie ułamka:

Możemy zamienić wszystkie wielomiany na postać iloczynową i rozszerzyć ułamek tak, by zlikwidować ułamek piętrowy
$\frac{\frac{x^{3} + 27}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9}} =$
$= \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}} = (i)$
Rozszerzmy teraz ułamek przez $(x + 3) (x - 3)$ .
$(i) = \frac{{(x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= {(x + 3)}^{2}$ , Założenia: $x \in ℝ ∖ - 3; 3)$
Założenia nie zależą od wybranej metody. Wynikają z niemożności dzielenia przez $0$ .

Mnożenie przez odwrotność:

Możemy główną kreskę ułamkową potraktować jak znak dzielenia i zastąpić dzielenie odpowiednim mnożeniem przez odwrotność.
$\frac{\frac{x^{3} + 27}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9}} =$
$= \frac{x^{3} + 27}{x - 3} : \frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9} =$
$= \frac{x^{3} + 27}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= {(x + 3)}^{2}$ .

Rozszerzanie ułamka:

Możemy zamienić wszystkie wielomiany na postać iloczynową i rozszerzyć ułamek tak, by zlikwidować ułamek piętrowy
$\frac{\frac{x^{3} + 27}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{x^{2} - 9}} =$
$= \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x - 3}}{\frac{x^{2} - 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}} = (i)$
Rozszerzmy teraz ułamek przez $(x + 3) (x - 3)$ .
$(i) = \frac{{(x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9} =$
$= {(x + 3)}^{2}$
Założenia:
$x \in ℝ ∖ ""- 3; 3)$
Założenia nie zależą od wybranej metody. Wynikają z niemożności dzielenia przez $0$ .

Przykład 5

Obliczmy $\frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} : \frac{2 x + 4}{3 x^{2} - 12}$ .

Zacznijmy od zapisania dzielenia jako mnożenia przez odwrotność i zapisania wielomianów w postaci iloczynowej.

$\frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} : \frac{2 x + 4}{3 x^{2} - 12} =$
$= \frac{2}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{3 x^{2} - 12}{2 x + 4} =$
$= \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{2 (x + 2)} =$
$= \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{2 (x + 2)} =$
$= \frac{3}{x - 2}$

$x \in ℝ ∖ \{- 2; 2\}$

Przykład 6

Obliczmy $\frac{15 x^{4} - 30 x^{3} - 120 x + 240}{12 - 12 x^{2}} : \frac{5 x^{2} + 10 x + 20}{6 x - 6}$ .

Zacznijmy od zapisania dzielenia jako mnożenia przez odwrotność i zapisania wielomianów w postaci iloczynowej. Nie zapomnijmy o wyłączeniu znaku „ $-$ ” w mianowniku pierwszego ułamka.

$\frac{15 x^{4} - 30 x^{3} - 120 x + 240}{12 - 12 x^{2}} : \frac{5 x^{2} + 10 x + 20}{6 x - 6} =$
$= \frac{15 x^{4} - 30 x^{3} - 120 x + 240}{12 - 12 x^{2}} \cdot \frac{6 x - 6}{5 x^{2} + 10 x + 20} =$
$= \frac{15 {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 2 x + 4)}{- 12 (x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{6 (x - 1)}{5 (x^{2} + 2 x + 4)} =$
$= \frac{3 \cdot 5 {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 2 x + 4)}{- 2 \cdot 6 (x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{6 (x - 1)}{5 (x^{2} + 2 x + 4)} =$
$= - \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2 (x + 1)}$

$x \in ℝ ∖ \{- 1; 1\}$

Słownik

wyrażenie wymierne

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym

dziedzina wyrażenia wymiernego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik