Przygotujmy kod, który – wśród liczb pierwszych – pozwoli odnaleźć liczby bliźniacze. W tym przypadku przygotujemy funkcję obliczającą liczby pierwsze w przedziale $⟨2,n⟩$ metodą Eratostenesa (więcej na jej temat znajdziesz w e‑materiale Sito EratostenesaP7MwVxKT0Sito Eratostenesa). Następnie zbadamy, które spośród znalezionych liczb pierwszych spełniają warunki liczb bliźniaczych. Działanie naszego programu sprawdzimy, szukając liczb bliźniaczych do liczby 80.

Specyfikacja:

Dane:

• n – górna granica przedziału; liczba naturalna, większa od 2

Wynik:

Program ma znaleźć i wypisać pary liczb bliźniaczych w zadanym przedziale.

Zaczynamy od zaimplementowania funkcji wyszukującej wszystkie liczby pierwsze w przedziale $⟨2,n⟩$. Tworzymy definicję naszej funkcji. Następnie przygotowujemy dwie listy: lista_liczb, która będzie przechowywała znalezione liczby pierwsze, oraz lista, która będzie służyła do przechowywania wykreślonych liczb (wartość True oznacza, że liczba nie została jeszcze wykreślona).

def sito_eratostenesa(n):
	lista_liczb = []
	lista = [True] * (n + 1)

Następnie tworzymy pętlę, której zadaniem będzie znajdowanie najmniejszej niewykreślonej liczby w danym momencie. Będzie ona działała w przedziale $⟨2,\sqrt{n}⟩$. W celu obliczenia pierwiastka, importujemy z biblioteki math funkcję sqrt. Jeżeli obecnie sprawdzana liczba nie była jeszcze wykreślona, to zaczynamy wykreślanie wszystkich jej wielokrotności z tablicy lista. W tym celu tworzymy pętlę odpowiadającą za wyznaczanie kolejnych wielokrotności liczby indeks. Swoje działanie będzie zaczynała od jej dwukrotności i zwiększała wartość o wartość sprawdzanej liczby.

from math import sqrt

def sito_eratostenesa(n):
	lista_liczb = []
	lista = [True] * (n + 1)

	for indeks in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
		if lista[indeks]:
			for indeks_2 in range(2 * indeks, n + 1, indeks):
				lista[indeks_2] = False

Kolejnym krokiem będzie odszukanie liczb pierwszych, czyli tych, które nie zostały wykreślone z listy lista. W tym celu tworzymy pętlę, która zapisuje te liczby do listy lista_liczb. Na końcu zwracamy nasz wynik, czyli listę liczb pierwszych znalezionych w podanym przedziale.

from math import sqrt

def sito_eratostenesa(n):
	lista_liczb = []
	lista = [True] * (n + 1)

	for indeks in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
		if lista[indeks]:
			for indeks_2 in range(2 * indeks, n + 1, indeks):
				lista[indeks_2] = False

	for element in range(2, n + 1):
		if lista[element]:
			lista_liczb.append(element)

	return lista_liczb

Przejdźmy teraz do wyszukiwania liczb bliźniaczych. W tym celu, za pomocą zaimplementowanej funkcji, wyszukamy najpierw wszystkie liczby pierwsze z przedziału $⟨2,n⟩.$

liczby_pierwsze = sito_eratostenesa(80)
print('Liczby pierwsze:', liczby_pierwsze)
# Wypisze:
# Liczby pierwsze: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79]

Tworzymy listę liczby_blizniacze, która będzie przechowywała znalezione pary liczb bliźniaczych. Następnie, za pomocą pętli, sprawdzamy każde dwie kolejne znalezione liczby pierwsze z tablicy liczby_pierwsze.

liczby_pierwsze = sito_eratostenesa(80)
print('Liczby pierwsze:', liczby_pierwsze)

liczby_blizniacze = []
for indeks in range(1, len(liczby_pierwsze)):
	x0 = liczby_pierwsze[indeks - 1]
	x1 = liczby_pierwsze[indeks]
	if x1 - x0 == 2:
		liczby_blizniacze.append((x0, x1))

print('Liczby blizniacze:', liczby_blizniacze)
# Wypisze:
# Liczby blizniacze: [(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)]

Oto kod całego programu:

from math import sqrt

# Definicja funkcji
def sito_eratostenesa(n):
	lista_liczb = []
	lista = [True] * (n + 1)

	for indeks in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
		if lista[indeks]:
			for indeks_2 in range(2 * indeks, n + 1, indeks):
				lista[indeks_2] = False

	for element in range(2, n + 1):
		if lista[element]:
			lista_liczb.append(element)

	return lista_liczb


# Wykonanie funkcji
liczby_pierwsze = sito_eratostenesa(80)

print('Liczby pierwsze:', liczby_pierwsze)

liczby_blizniacze = []
for indeks in range(1, len(liczby_pierwsze)):
	x0 = liczby_pierwsze[indeks - 1]
	x1 = liczby_pierwsze[indeks]
	if x1 - x0 == 2:
		liczby_blizniacze.append((x0, x1))

print('Liczby blizniacze:', liczby_blizniacze)

Wynik wywołania kodu będzie następujący:

Liczby pierwsze: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79]
Liczby blizniacze: [(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)]

Napiszmy program, który wypisze listę liczb doskonałych w przedziale $⟨0,n⟩$. Działanie naszego programu przetestujemy dla n = 10000.

Specyfikacja:

Dane:

• n - górna granica zakresu; liczba naturalna

Wyniki:

Program ma znaleźć i wypisać liczby doskonałe z podanego przedziału.

Zacznijmy od zdefiniowania funkcji pomocniczej suma_dzielnikow(liczba), która będzie zwracała sumę dzielników właściwych danej liczby. W tym celu, zaczynając od 1, sprawdzamy, czy kolejne liczby są dzielnikami liczby liczba (wynik operacji modulo, operator %, będzie równy 0). Jeżeli tak, to dodajemy do sumy wartość tego dzielnika.

def suma_dzielnikow(liczba):
	suma = 0
	dzielnik = 1

	while dzielnik <= liczba / 2:
		if liczba % dzielnik == 0:
			suma += dzielnik
		dzielnik += 1

	return suma

Następnie stworzymy funkcję czy_doskonala(liczba), która będzie odpowiadała na pytanie, czy dana liczba jest liczbą doskonałą. W tym celu sprawdzamy, czy liczba jest równa sumie dzielników tej liczby.

def czy_doskonala(liczba):
	if liczba == suma_dzielnikow(liczba):
		return True
	return False

Na samym końcu tworzymy pętlę, która będzie szukała liczb doskonałych w zadanym przedziale. Sprawdzamy kolejne liczby - jeżeli spełniają warunki, zapisujemy je w liście wynikowej i wyświetlamy nasze rozwiązanie.

n = 10000

doskonale = []
for liczba in range(1, n):
	if czy_doskonala(liczba):
		doskonale.append(liczba)

print('Liczby doskonałe:', doskonale)

Oto kod całego programu:

# Obliczanie sumy dzielnikow wlasciwych
def suma_dzielnikow(liczba):
	suma = 0
	dzielnik = 1

	while dzielnik <= liczba / 2:
		if liczba % dzielnik == 0:
			suma += dzielnik
		dzielnik += 1

	return suma

# Sprawdzanie, czy dana liczba jest liczba doskonala
def czy_doskonala(liczba):
	if liczba == suma_dzielnikow(liczba):
		return True
	return False

# Kod wyszukujący liczby doskonale
n = 10000

doskonale = []
for liczba in range(1, n):
	if czy_doskonala(liczba):
		doskonale.append(liczba)

# Wyswietlanie wynikow
print('Liczby doskonałe:', doskonale)

Wynik wywołania kodu będzie następujący:

Liczby doskonałe: [6, 28, 496, 8128]