Dodawanie linii trendulinia trendulinii trendu

Załóżmy, że chcemy zobaczyć, w jakim kierunku zmierzają ceny akcji spółki notowanej na GPW. Podane zostały następujące dane:

R1OzgTXYvASlr

Na zrzucie ekranu widoczny jest fragment arkusza Excel. W kolumnach A, B wprowadzono dane dotyczące akcji. W arkuszu kolejno dodano opisy: w komórce A1 Data, w komórce B1 Cena akcji. W kolumnie A w komórkach od A2 so A29 wpisano daty. W kolumnie B w komórkach od B2 do B29 wpisano ceny akcji w złotówkach.

Microsoft Excel

Zaczynamy od utworzenia wykresu liniowego. Więcej informacji na temat tworzenia wykresów liniowych znajdziesz w e‑materiale Wykresy punktowe i liniowe w arkuszu kalkulacyjnymPK2AFvRJ5Wykresy punktowe i liniowe w arkuszu kalkulacyjnym.

W celu dodania linii trendu na stworzony wykres liniowy, zaznaczamy obszar wykresu, a następnie przechodzimy do zakładki Projekt wykresu, którą znajdziemy na wstążce. Tam korzystamy z opcji Dodaj element wykresu i z rozwijanego menu wybieramy typ linii trendu, który najlepiej opisuje zależności pomiędzy punktami na wykresie. W tym przypadku będzie to liniowa linia trendu.

Po dodaniu linii trendu możemy stwierdzić, że ceny akcji stale rosną w czasie.

W powyższym przykładzie wykorzystaliśmy liniową linię trendu, ale to oczywiście tylko jeden z wielu typów linii trendu, jakie mamy do dyspozycji. Porównajmy je zatem i sprawdźmy, w jakich sytuacjach warto zastosować każdy z nich.

LibreOffice Calc

Zaczynamy od utworzenia wykresu liniowego. Więcej informacji na temat tworzenia wykresów liniowych znajdziesz w e‑materiale Wykresy punktowe i liniowe w arkuszu kalkulacyjnymPK2AFvRJ5Wykresy punktowe i liniowe w arkuszu kalkulacyjnym.

W celu dodania linii trendu zaznaczamy obszar wykresu, a następnie klikamy prawym przyciskiem myszy na serię danych, dla której chcemy stworzyć linię trendu.  Z menu podręcznego wybieramy opcję Wstaw krzywą regresji... W otwartym oknie wybieramy typ linii trendu, który najlepiej opisuje zależności pomiędzy punktami na wykresie. W tym przypadku będzie to liniowa linia trendu.

Po dodaniu linii trendu możemy stwierdzić, że ceny akcji stale rosną w czasie.

W powyższym przykładzie wykorzystaliśmy liniową linię trendu, ale to oczywiście tylko jeden z wielu typów linii trendu, jakie mamy do dyspozycji. Porównajmy je zatem i sprawdźmy, w jakich sytuacjach warto zastosować każdy z nich.

Liniowa linia trendu

Ten typ linii trendu posłuży do wyznaczania trendu dla danych, których relacja jest liniowa. Oznacza to, że można ją opisać równaniem:

Często jest ona wykorzystywana w wykresach cen akcji spółek na giełdzie, co pozwala inwestorom i analitykom ocenić, w jakim kierunku one zmierzają.

Wykładnicza linia trendu

Linia ta dobrze opisuje relacje pomiędzy zmiennymi, których wartości rosną lub zmniejszają się wykładniczo bądź rosną lub maleją coraz szybciej. Relację pomiędzy danymi można wtedy opisać za pomocą równania:

Warto zauważyć, że nasze dane nie mogą przyjąć wartości, które są mniejsze lub równe 0.

Załóżmy, że chcemy obliczyć odsetki od 1000 zł depozytu złożonego w instytucji finansowej w okresie 45 lat, oprocentowanie w skali roku wynosi 5%. Po każdym roku odsetki są dopisywane do kapitału, a w kolejnym roku odsetki są obliczane od powiększonego kapitału. Dane dotyczące poszczególnych lat, wzrostu depozytu i odsetek zostały zapisane w pliku do pobrania.

R1eSDPgSzSUW1

Ilustracja przedstawia arkusz z danymi. Jest pięć kolumn: od A do E. Zatytułowane są kolejno: lata, depozyt, odsetki po kapitalizacji, oprocentowanie roczne=, 5%. W wierszach są cyfry, kwoty.

Zależność ta jest przykładem wzrostu wykładniczego, tzn. dane w kolumnie B (Depozyt) i C (Odsetki po kapitalizacji) rosną wykładniczo. Możemy zwizualizować te dane na wykresie.

Microsoft Excel

R1TRmq2MOrn0E

Ilustracja przedstawia wykres. Dotyczy depozytu i odsetek. Na osi X są wartości od zera do pięćdziesięciu. Na osi Y wartości od zera złotych do dziewięciu tysięcy. Na wykresie są dwie krzywe w postaci kropek. Jedna jest niebieska, druga pomarańczowa. Niebieska biegnie od wartości zero na osi X i tysiąca złotych na osi Y do wartości czterdzieści pięć na osi X i osiem i pół tysiąca na osi Y. Krzywa pomarańczowa biegnie od zera do czterdziestu pięciu na osi X oraz pięciuset złotych na osi Y. Pod wykresem jest legenda: niebieska kropka - depozyt, pomarańczowa kropka - odsetki po kapitalizacji.

Dodajemy linie trendu wykładniczego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat. Wartość R‑kwadrat oznacza wiarygodność linii trendu, im bliższa 1, tym bardziej wiarygodna jest linia trendu.

R1C8lXEgSs92l

Ilustracja przedstawia wykres. Dotyczy depozytu i odsetek. Na osi X są wartości od zera do pięćdziesięciu. Na osi Y wartości od zera złotych do dziewięciu tysięcy. Na wykresie są dwie krzywe w postaci kropek - pomiędzy większymi kropkami są mniejsze. Jedna krzywa jest niebieska, druga pomarańczowa. Niebieska biegnie od wartości zero na osi X i tysiąca złotych na osi Y do wartości czterdzieści pięć na osi X i osiem i pół tysiąca na osi Y. Krzywa pomarańczowa biegnie od zera do czterdziestu pięciu na osi X oraz pięciuset złotych na osi Y. Na końcu osi niebieskiej jest zapis: y=952,38e indeks górny 0,0488x. R indeks górny kwadrat=1. Na końcu krzywej pomarańczowej jest zapis: y=47,619e indeks górny 0,0488x, R indeks górny kwadrat=1. Pod wykresem jest legenda: niebieska kropka - depozyt, pomarańczowa kropka - odsetki po kapitalizacji, małe niebieskie kropki - Wykł. (Depozyt), małe pomarańczowe kropki - Wykł. (Odsetki po kapitalizacji).

LibreOffice Calc

RufttK7T6flPs

Ilustracja przedstawia wykres. Dotyczy depozytu i odsetek. Na osi X są wartości od zera do pięćdziesięciu. Na osi Y wartości od zera złotych do dziewięciu tysięcy. Na wykresie są dwie krzywe. Jedna jest zbudowana z niebieskich kwadratów, druga z czerwonych rombów. Niebieska biegnie od wartości zero na osi X i tysiąca złotych na osi Y do wartości czterdzieści pięć na osi X i osiem i pół tysiąca na osi Y. Krzywa czerwona biegnie od zera do czterdziestu pięciu na osi X oraz pięciuset złotych na osi Y. Pod wykresem jest legenda: niebieski kwadrat - depozyt, czerwony romb - odsetki po kapitalizacji.

Dodajemy linie trendu wykładniczego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat. Wartość R‑kwadrat oznacza wiarygodność linii trendu, im bliższa 1, tym bardziej wiarygodna jest linia trendu.

RrwMizYIOlY2A

Ilustracja przedstawia wykres. Dotyczy depozytu i odsetek. Na osi X są wartości od zera do pięćdziesięciu. Na osi Y wartości od zera złotych do dziewięciu tysięcy. Na wykresie są dwie krzywe. Jedna jest zbudowana z niebieskich kwadratów połączonych cienkimi kreskami, druga z czerwonych rombów połączonych czerwonymi kreskami. Niebieska biegnie od wartości zero na osi X i tysiąca złotych na osi Y do wartości czterdzieści pięć na osi X i osiem i pół tysiąca na osi Y. Przy krzywej niebieskiej zapis: f(x)=952,38095238095 exp(0,048790164169432 x), R indeks górny kwadrat równa się 1. Krzywa czerwona biegnie od zera do czterdziestu pięciu na osi X oraz pięciuset złotych na osi Y. Przy krzywej jest zapis: f(x)=47,6190476190476 exp(0,048790164169432 x), R indeks górny dwa równa się jeden. Pod wykresem jest legenda: niebieski kwadrat - depozyt, czerwony romb - odsetki po kapitalizacji, niebieska cienka linia - wykładnicza (depozyt), cienka czerwona linia - wykładnicza (odsetki po kapitalizacji).

Logarytmiczna linia trendu

Ten typ linii trendu szczególnie przydatny jest w przypadku danych, których tempo zmiany jest szybkie na początku, a ich wartości osiągają limit, gdy tempo zmiany się stabilizuje. Relację tę można przedstawić za pomocą następującego równania:

Załóżmy, że zajmujemy się analizą przyrostu liczby osób w pełni zaszczepionych przeciwko Covid‑19.

Początkowo liczba całkowicie zaszczepionych będzie rosnąć w szybkim tempie, po czym zmiana stopniowo zacznie się stabilizować. W tym przypadku trend danych zostanie dobrze opisany przez logarytmiczną linię trendu. Możemy zwizualizować te dane na wykresie.

Microsoft Excel

R1NO34LDGTcN2

Ilustracja przedstawia wykres zatytułowany: Całkowicie zaszczepieni. Na osi X są wartości od zera do dwustu jedenastu, na osi Y od zera do dwudziestu pięciu milionów. To liczba osób. Krzywa wykresu biegnie od zera na osi X i około siedmiu milionów na osi Y do wartości dwustu jedenastu na osi X i nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y. Pod wykresem jest legenda: niebieska linia oznacza całkowicie zaszczepionych.

Dodajemy linię trendu logarytmicznego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat.

RJvIl6hlHxJ1V

Ilustracja przedstawia wykres zatytułowany: Całkowicie zaszczepieni. Na osi X są wartości od zera do dwustu jedenastu, na osi Y od zera do dwudziestu pięciu milionów. To liczba osób. Na wykresie są dwie krzywe - jedna w postaci ciągłej linii, druga w postaci linii kropkowanej. Krzywa w postaci ciągłej linii biegnie od zera na osi X i około siedmiu tysięcy na osi Y do wartości dwustu jedenastu na osi X i nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y. Krzywa w postaci kropek biegnie od wartości zero na osi X i około dwóch milionów na osi Y do wartości nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y i dwustu jedenastu na osi X. Na początku krzywe nie pokrywają się ze sobą. Krzywa kropkowana raz biegnie nieco nad ciągłą linią, raz nieco poniżej. Na końcu krzywe pokrywają się ze sobą. Przy krzywych jest zapis: y=4E+06ln(x)+2E+06, R indeks górny dwa = 0,9563. Pod wykresem jest legenda: niebieska linia oznacza całkowicie zaszczepionych, linia kropkowana oznacza Log. (całkowicie zaszczepieni).

LibreOffice Calc

R1H8WD8U95PtI

Ilustracja przedstawia wykres zatytułowany: Całkowicie zaszczepieni. Na osi X są wartości od zera do dwustu ośmiu, na osi Y od zera do dwudziestu pięciu milionów. Krzywa w postaci ciągłej linii biegnie od zera na osi X i około siedmiu milionów na osi Y do wartości dwustu jedenastu na osi X i nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y.

Dodajemy linię trendu logarytmicznego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat.

R16g7CBUdf8fO

Ilustracja przedstawia wykres zatytułowany: Całkowicie zaszczepieni. Na osi X są wartości od zera do dwustu ośmiu, na osi Y od zera do dwudziestu pięciu milionów. Na wykresie są dwie krzywe - jedna w postaci ciągłej grubszej niebieskiej linii, druga w postaci cienkiej niebieskiej linii. Krzywa w postaci grubszej linii biegnie od zera na osi X i około siedmiu milionów na osi Y do wartości dwieście jedenaście na osi X i nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y. Krzywa w postaci cienkiej linii biegnie od wartości zero na osi X i około dwóch milionów na osi Y do wartości nieco ponad dwudziestu milionów na osi Y i dwieście jedenaście na osi X. Na początku krzywe nie pokrywają się ze sobą. Krzywa w postaci cienkiej linii raz biegnie nieco nad grubszą krzywą, raz nieco poniżej. Na końcu krzywe pokrywają się ze sobą. Przy krzywych jest zapis: f(x)= 3624325,66628455 In(x) + 1800771,00425052, R indeks górny dwa równa się 0,956297996541337.

Potęgowa linia trendu

W tym przypadku, podobnie jak przy wykładniczej linii trendu, dane nie mogą przyjmować wartości mniejszych lub równych 0. Potęgowa linia trendu będzie szczególnie przydatna w opisywaniu danych, gdzie zmienne zwiększają się w równym tempie, na przykład podczas badania prędkości spadania gumowej kulki wyrzuconej przez okno.

Zależność opisana jest za pomocą następującego wzoru:

Przyjmijmy, że posiadamy dane opisujące, jak pole koła zmieniało się wraz ze wzrostem długości jego promienia. Jako że zależność między dwiema zmiennymi jest kwadratowa, pole zmieniać się będzie w sposób potęgowy. Oznacza to, że do określenia jego trendu najbardziej adekwatna będzie właśnie potęgowa linia trendu.

R1Uau03LrnqS1

Ilustracja przedstawia fragment arkusza. Arkusz ma dwie kolumny: A i B oraz szesnaście wierszy. Kolumna A to Promień koła, kolumna B - Pole koła. W wierszach są wartości liczbowe.

Możemy zwizualizować te dane na wykresie.

Microsoft Excel

RE9eYlehgHfiK

Ilustracja przedstawia wykres w postaci wykropkowanej linii. Wykres zatytułowany jest Pole koła. Na osi X, zatytułowanej Promień koła, są wartości od zera do siedmiu. Na osi Y, zatytułowanej Pole koła, są wartości od zera do stu dwudziestu. Krzywa biegnie od wartości 1 na osi X i nieco powyżej zera na osi Y do wartości 6 na osi X i 115 na osi Y. Krzywa jest nieco wklęsła.

Dodajemy linię trendu potęgowego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat.

RvSO1lmIsMOUJ

Ilustracja przedstawia wykres w postaci wykropkowanej linii. Linia ma większe niebieskie kropki, pomiędzy którymi są mniejsze kropki. Wykres zatytułowany jest Pole koła. Na osi X, zatytułowanej Promień koła, są wartości od zera do siedmiu. Na osi Y, zatytułowanej Pole koła, są wartości od zera do stu dwudziestu. Krzywa biegnie od wartości 1 na osi X i nieco powyżej zera na osi Y do wartości 6 na osi X i 115 na osi Y. Krzywa jest nieco wklęsła. Na końcu krzywej jest zapis: y=3,1416x indeks górny dwa, R indeks górny dwa równa się 1.

LibreOffice Calc

RsJ5Oie80B80y

Ilustracja przedstawia wykres w postaci linii zbudowanej z małych kwadratów. Wykres zatytułowany jest Pole koła. Na osi X, zatytułowanej Promień koła, są wartości od zera do siedmiu. Na osi Y, zatytułowanej Pole koła, są wartości od zera do stu dwudziestu. Krzywa biegnie od wartości 1 na osi X i nieco powyżej zera na osi Y do wartości 6 na osi X i 115 na osi Y. Krzywa jest nieco wklęsła.

Dodajemy linię trendu potęgowego wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat.

R1OJa6rDqb4ZY

Ilustracja przedstawia wykres w postaci linii zbudowanej z małych kwadratów połączonych cienkimi kreskami. Wykres zatytułowany jest Pole koła. Na osi X, zatytułowanej Promień koła, są wartości od zera do siedmiu. Na osi Y, zatytułowanej Pole koła, są wartości od zera do stu dwudziestu. Krzywa biegnie od wartości 1 na osi X i nieco powyżej zera na osi Y do wartości 6 na osi X i 115 na osi Y. Krzywa jest nieco wklęsła. Przy krzywej jest zapis: f(x)=3,1415926535898 x indeks górny symbol daszka koniec indeksu dwa, R indeks górny dwa koniec indeksu równa się jeden.

Wielomianowa linia trendu

Załóżmy, że wartości naszych danych są nieregularne – tzn. sporadycznie się wahają. W takim przypadku idealnie sprawdzi się wielomianowa linia trendu. Linia wielomianowa, tak samo jak wielomiany, ma określony stopieństopień wielomianustopień. To, który stopień wielomianu najlepiej sprawdzi się w opisie naszych danych, wywnioskujemy na podstawie liczby wzniesień i zagłębień, jakie są w nich widoczne.

Wielomianową linię trendu opiszemy wzorem:

- gdzie n to stopień wielomianu.

Przyjmijmy, że analizujemy ceny akcji firmy w długim okresie czasu. Zastosowanie wielomianowej linii trendu pozwoli nam zobrazować okresy, w których ceny tej akcji spadały, oraz te, w których rosły.

Możemy zwizualizować te dane na wykresie.

Microsoft Excel

R12pw2Rsnfep5

Ilustracja przedstawia wykres w postaci kropek z licznymi wahaniami. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 30.03.2022 do 8.07.2022 co dziesięć dni. Na osi Y są wartości od zera do stu czterdziestu złotych. Wykres biegnie stosunkowo wysoko nad osią X, pomiędzy wartościami 120 złotych a 80 złotych (tendencja spadkowa).

Dodajemy linię trendu wielomianowego, w tym przypadku stopnia 6, wraz z równaniem na wykresie oraz wartością R‑kwadrat.

Rhb8JD0g4faoi

Ilustracja przedstawia wykres w postaci kropek z licznymi wahaniami. Pomiędzy większymi kropkami biegnie kropkowana linia zbudowana z drobnych kropek. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 30.03.2022 do 8.07.2022 co dziesięć dni. Na osi Y są wartości od zera do stu czterdziestu złotych. Wykres biegnie stosunkowo wysoko nad osią X, pomiędzy wartościami 120 złotych a 80 złotych (tendencja spadkowa). Przy wykresie jest zapis: y=3E minus 09x indeks górny pięć koniec indeksu minus 0,0009x indeks górny pięć koniec indeksu dodać 97,391x indeks górny cztery koniec indeksu minus 6E dodać 06x indeks górny trzy koniec indeksu dodać 2E dodać 11x indeks górny dwa koniec indeksu minus 3E dodać 15x dodać 3E dodać 19, R indeks górny dwa koniec indeksu równa się 0928.

LibreOffice Calc

R61cBjEzwkNgw

Ilustracja przedstawia wykres w postaci małych kwadratów z licznymi wahaniami. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 30.03.2022 do 8.07.2022 co dziesięć dni. Na osi Y są wartości od zera do stu czterdziestu złotych. Wykres biegnie stosunkowo wysoko nad osią X, pomiędzy wartościami 120 złotych a 80 złotych (tendencja spadkowa).

Dodajemy linię trendu wielomianowego, wybieramy taki stopień wielomianu, dla którego wartość R‑kwadrat będzie najbliższa 1. W tym przypadku stopniem będzie 4. Pamiętajmy o dodaniu równania oraz wartości R‑kwadrat linii trendu.

RObrBOsoFogwG

Ilustracja przedstawia wykres w postaci małych kwadratów z licznymi wahaniami. Pomiędzy kwadratami biegnie krzywa w postaci linii ciągłej. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 30.03.2022 do 8.07.2022 co dziesięć dni. Na osi Y są wartości od zera do stu czterdziestu złotych. Wykres biegnie stosunkowo wysoko nad osią X, pomiędzy wartościami 120 złotych a 80 złotych (tendencja spadkowa). Przy wykresie jest zapis: f(x)= minus 3,113890186665E x indeks górny cztery koniec indeksu dodać 0,556645641029962 x indeks górny trzy koniec indeksu minus 37315,1736405569 x indeks górny dwa koniec indeksu dodać 1111755968,93778 x minus 12421230099734,2, R indeks górny kwadrat równa się 0,87294155045991.

Średnia ruchoma

W przypadku gdy w naszych danych występują duże nieregularności, które nie pozwalają nam na jednoznaczne stwierdzenie kierunku trendu, możemy posłużyć się linią średniej ruchomej. Zamiast opisywać wszystkie punkty na wykresie, opisuje ona średnie dwóch lub większej liczby punktów. To, z ilu punktów ma zostać wyciągnięta średnia na jeden punkt linii, nazywane jest okresem. Okres możemy ustalić przy tworzeniu linii.

Średnią ruchomą opisujemy za pomocą wzoru:

Warto dodać, że średnia ruchoma jako jedyna linia trendu nie udostępnia nam opcji wykonania prognozy przyszłych wartości danych.

RwERlhY2YD3lF

Ilustracja przedstawia arkusz. Są dwie kolumny: A i B. Kolumna A - Data, kolumna B - Cena Akcji. Arkusz ma kilkanaście wierszy. W wierszach z datą podano kolejne dni czerwca dwa tysiące dwudziestego drugiego roku. W  kolumnie B podano ceny akcji.

Możemy zwizualizować te dane na wykresie.

Microsoft Excel

RPKfOnd0pP8Oz

Ilustracja przedstawia wykres w postaci kropek. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 5.14.2022 do 7.8.2022 co pięć dni. Na osi Y są wartości od zera do sześciu. Wykres biegnie wysoko nad osią X od dnia 6 marca dwa tysiące dwudziestego drugiego roku, na osi Y ma wartości pomiędzy 5 a nieco poniżej czterech. Tendencja jest spadkowa.

Dodajemy linię trendu średniej ruchomej.

R1Jop2ne1gtIt

Ilustracja przedstawia wykres w postaci kropek. Pomiędzy kropkami biegnie linia prosta w postaci drobnych kropek. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 5.14.2022 do 7.8.2022 co pięć dni. Na osi Y są wartości od zera do sześciu. Wykres biegnie wysoko nad osią X od dnia 6 marca dwa tysiące dwudziestego drugiego roku, na osi Y ma wartości pomiędzy 5 a nieco poniżej czterech. Tendencja jest spadkowa.

LibreOffice Calc

RYAz4e8NbTRj4

Ilustracja przedstawia wykres w postaci drobnych kwadratów. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 29.05.2022 do 3.07.2022 co pięć dni. Na osi Y są wartości od zera złotych do sześciu złotych. Wykres biegnie wysoko nad osią X od dnia około 3.06.2022, na osi Y ma wartości pomiędzy 5 a nieco poniżej czterech złotych. Tendencja jest spadkowa.

Dodajemy linię trendu średniej ruchomej.

RzIEnQ6ahpW5O

Ilustracja przedstawia wykres w postaci drobnych kwadratów połączonych cienkimi kreskami. Wykres jest zatytułowany Cena Akcji. Na osi X są daty: od 29.05.2022 do 3.07.2022 co pięć dni. Na osi Y są wartości od zera złotych do sześciu złotych. Wykres biegnie wysoko nad osią X od dnia około 3.06.2022, na osi Y ma wartości pomiędzy 5 a nieco poniżej czterech złotych. Tendencja jest spadkowa.

Słownik