Przeczytaj

Całkowanie numeryczne

Definicja: Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne to przybliżenie całkicałkacałki, poprzez sumy ważone wartości całkowanej funkcji w wielu punktach. Przedział całkowania należy podzielić na niewielkie fragmenty, a wynikiem całkowania jest suma oszacowań całek w tych obszarach.

Znamy różne sposoby obliczania wartości całki. Są to m.in.:

metoda prostokątów (omówiona w innym e‑materiale z tej serii),
metoda trapezów.

Podczas stosowania metody trapezów, będziemy korzystać ze wzoru na pole trapezu:

P = \frac{(p o d s t a w a_{1} + p o d s t a w a_{2}) \cdot h}{2}

Wysokość $h$ obliczamy jako:

h = \frac{b - a}{i}

$a$ – początek przedziału całkowania,
$b$ – koniec przedziału całkowania,
$i$ – liczba podprzedziałów, w których będziemy liczyć pole trapezu (im większe $i$ , tym większa dokładność algorytmu, ponieważ będziemy liczyć pola większej liczby trapezów na mniejszych przedziałach).

Długość pierwszej podstawy obliczamy jako:

p o d s t a w a_{1} = f (x_{i})

Długość drugiej podstawy obliczamy jako:

p o d s t a w a_{2} = f (x_{i + 1})

RJjek6xfBZtsc

Ilustracja przedstawia wykres funkcji f(x). Zaznaczone na nim są części funkcji o równaniach f(xi) oraz f(xi+h). Przy osi x zaznaczono pole pod funkcją: delta x równe h. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 1

Spróbujmy stworzyć program, który może posłużyć do obliczania całki funkcji o podanym przepisie. W tym przypadku niech to będzie funkcja kwadratowa f(x) = xIndeks górny 2².

def calka_trapez(a, b, i):

	def f(x):
		return x*x # tu możemy zdefiniować funkcję, której całkę chcemy obliczyć
		
	dx = (b - a) / i
	calka = 0
	for elem in range(i):
		elem = elem * dx + a
		fx1 = f(elem)
		fx2 = f(elem+dx)
		calka += 0.5 * dx * (fx1 + fx2)
	return calka

Dla przykładowej funkcji:

f (x) = x^{2} dla x \in (0, 1) oraz dla 10 przedziałów

jej wykres możemy zaprezentować w następujący sposób:

RuMihSMDmwHUF

Ilustracja przedstawia połowę paraboli po stronie dodatniej. Posiada ona miejsce zerowe w punkcie: (0, 0). Przyjmuje ona maksymalną wartość: 1 w punkcie: (1, 1) — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Teraz możemy wywołać funkcję dla określonego przedziału liczb (a, b) i wyświetlić wynik:

wynik = calka_trapez(0, 1, 10)
print(wynik)

# 0.3350000000000001
# dokładny wynik to 1/3, więc uzyskaliśmy dość dobre przybliżenie

Przykład 2

Możemy wykorzystać wbudowaną funkcję eval()eval( )eval() do stworzenia funkcji, która jako parametr będzie przyjmować kod funkcji do wykonania w momencie obliczania. Nazwa zmiennej w tym kodzie musi być identyczna z użytą do enumeracji w pętli for. Przygotujmy zatem kod, który zrealizuje taki sposób obliczania.

def calka_trapez_eval(fun_txt, a, b, i):
	dx = (b - a) / i
	calka = 0
	for elem in range(i):
		elem = elem * dx + a
		fx1 = eval(fun_txt)
		elem += dx
		fx2 = eval(fun_txt)
		calka += 0.5 * dx * (fx1 + fx2)
	return calka
	
# przykład wywołania:
wynik = calka_trapez_eval('elem**2', 0, 1, 100)
print(wynik)

# 0.33335

W języku Python istnieją możliwości wygenerowania wykresu funkcji i zaprezentowania go na ekranie. Oto przykład z wykorzystaniem biblioteki matplotlibmatplotlibmatplotlib:

import matplotlib.pyplot as plt

def wykres_funkcji(a, b, i):
	"""
	a - punkt początkowy
	b - punkt końcowy
	i - krok
	"""

	def f(x):
		return x**2

	X = [ x for x in range(a,b,i) ]
	Y = [ f(x) for x in range(a,b,i) ]
	plt.plot(X, Y)
	plt.show()

wykres_funkcji(-2, 50, 1)

Wynikiem działania takiego programu będzie wykres:

RqL7kOjdP3kkb

Ilustracja przedstawia wykres. na osi Y znajduje się skala od 0 do 2500, na osi X od 0 do 50. Linia na osi ma trend rosnący. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Moduł matplotlib możemy również wykorzystać w celu nałożenia różnych typów wykresów. Tym samym wyświetlimy jednocześnie wykres słupkowy (otrzymany za pomocą metody bar()) oraz wykres liniowy (otrzymany za pomocą metody plot()). Używając wykresu słupkowego, możemy zobaczyć, na jakich przedziałach nasza funkcja liczyła pola trapezów. Oto zdefiniowana funkcja:

import matplotlib.pyplot as plt

def wykres_funkcji(a, b, i):
	"""
	a - punkt początkowy
	b - punkt końcowy
	i - krok
	"""

	def f(x):
		return x**2

	X = [ x for x in range(a,b,i) ]
	Y = [ f(x) for x in range(a,b,i) ]
	
	# bar - wykres słupkowy
	plt.bar(X, Y)
	
	# plot - wykres liniowy
	plt.plot(X, Y, 'r-')
	
	plt.show()

wykres_funkcji(-2, 50, 1)

Wynikiem działania takiego programu będzie wykres:

RIG9leMC1HKKM

Ilustracja przedstawia wykres. na osi Y znajduje się skala od 0 do 2500, na osi X od 0 do 50. Linia na osi ma trend rosnący. >br> Pola pod linią oznaczono niebieskimi słupkami. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Już wiesz

Wartość całki możemy obliczyć, wykorzystując metodę trapezów.
W celu obliczenia wartości różnych funkcji, możemy użyć funkcji eval().

Słownik

całka

uogólnione pojęcie sumy; można ją sobie wyobrazić jako sumę nieskończonej liczby nieskończenie małych wartości funkcji f(x)

eval( )

wbudowana funkcja w języku Python; może służyć do dynamicznego wyliczania wartości wyrażenia w programie

matplotlib

biblioteka służąca do przedstawienia obrazów złożonych z punktów o współrzędnych x oraz y (wykresów, histogramów, rozkładów itp.); moduł matplotlib nie jest dostępny w standardowej instalacji języka Python – należy go zainstalować, korzystając z mechanizmu pip

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Słownik