Przeczytaj
Warto przeczytać
Rozpad promieniotwórczy jest jednym z niewielu procesów, które są określane jako czysto losowe. Oznacza to, że obserwując zbiór jąder promieniotwórczych nie można przewidzieć, które z nich i kiedy ulegnie przemianie promieniotwórczej. Jedyną informacją, jaką posiadamy jest prawdopodobieństwo rozpadu jąder w pewnym przedziale czasowym.
Zgodnie z definicją, prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zjawiska może być wyznaczone jako stosunek liczby zdarzeń tzw. sprzyjających, czyli takich, które spełniają definicję danego zjawiska, do wszystkich możliwych zdarzeń. W naszym przypadku prawdopodobieństwem rozpadu jednego jądra w jakimś czasie będzie stosunek liczby jąder, które uległy rozpadowi do wszystkich jąder w próbce :
Liczbę jąder, które uległy rozpadowi można wyrazić przez zmianę liczby jąder rozważanego izotopu w próbce, czyli końcowa liczba jąder minus liczba początkowa , skąd
Z drugiej strony ważną cechą jąder atomowych jest to, że prawdopodobieństwo ich rozpadu w jednostce czasu jest stałe. Inaczej mówiąc, im dłużej obserwujemy jakieś nietrwałe jądro atomowe, tym prawdopodobieństwo, że ulegnie ono rozpadowi w trakcie tej obserwacji rośnie, w dodatku rośnie liniowo.
Literką lambda zaznaczono tzw. stałą rozpadu promieniotwórczego, będącą prawdopodobieństwem rozpadu jądra w jednostce czasu, która charakteryzuje dane jądro atomowe. Jednostką stałej rozpadu jest sIndeks górny -1-1.
Łącząc te dwa wzory otrzymujemy:
Zmiana liczby jąder promieniotwórczych jest ujemna, czyli ich liczba maleje w czasie, i jest proporcjonalna do początkowej liczby jąder, stałej rozpadu oraz czasu, który upłynął. Zauważ, że podana we wzorze wielkość nie jest stała, po każdym kroku czasowym jej wartość maleje o liczbę rozpadów w tym kroku. Wzór jest więc pewnym uproszczeniem, aby był dokładny powinniśmy przejść do bardzo małego kroku czasowego, dla którego wartość byłaby niemalże stała. Taki krok oznacza się symbolem , podobnie zmiana liczby jąder w takim małym kroku czasowym jest zapisywana jako :
Rozwiązaniem takiego równania jest wyrażenie na , czyli liczbę promieniotwórczych jąder w czasie:
gdzie jest liczbą jąder w czasie , a literą oznaczono stałą Eulerastałą Eulera.
Graficzna postać funkcji , zwanej krzywą zaniku promieniotwórczego, została zaprezentowana na Rys. 1.
Na rysunku zaznaczono punkt, w którym liczba jąder w próbce zmalała o połowę. Wyznacza on czas połowicznego rozpadu nietrwałego izotopu.
Wyznaczmy zależność łączącą czas połowicznego rozpadu ze stałą rozpadu .
Z definicji czas połowicznego rozpadu jest to czas, po którym liczba jąder nietrwałych jest równa połowie początkowej liczby jąder:
Skorzystajmy z definicji logarytmu.
Jeżeli to . W naszym przypadku
Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy literami ln
Stała rozpadu jest odwrotnie proporcjonalna do czasu połowicznego rozpadu, czyli im krótszy jest czas połowiczego rozpadu, tym stała rozpadu jest większa. ln2, czyli logarytm naturalny z 2 jest równy w przybliżeniu 0,69, jest to konkretna liczba.
Krzywą zaniku promieniotwórczego można zapisać wykorzystując czas połowicznego rozpadu w następującej postaci:
Jest to matematyczna postać prawa rozpadu promieniotwórczegoprawa rozpadu promieniotwórczego.
Słowniczek
(ang.: half‑life) – czas, po którym liczba nietrwałych jąder w promieniotwórczej próbce zmniejsza się o połowę.
(ang.: radioactive decay) – zachodząca samorzutnie przemiana, w wyniku której jądro atomowe zmienia się w inne jądro. Najpopularniejszymi rozpadami promieniotwórczymi są rozpad alfa i rozpad beta. Rozpadowi promieniotwórczemu towarzyszy emisja promieniowania jądrowego.
(ang.: radioactive decay law) – zależność określająca liczbę atomów nietrwałego izotopu w czasie. Prawo głosi, że prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego jądra w jednostce czasu jest stałe. Prawo przyjmuje postać wzoru, określającego liczbę atomów badanego izotopu w czasie :
gdzie NIndeks dolny 00 jest liczbą atomów w próbce w czasie , a jest czasem połowicznego rozpadu, czyli czasem, po którym liczba atomów badanego izotopu zmniejszy się o połowę.
(ang.: Euler's number) - stała matematyczna, oznaczana literą e, równa w przybliżeniu 2,72. Logarytm o podstawie e jest nazywany logarytmem naturalnym, a funkcja wykładnicza o podstawie e funkcją eksponencjalną.