Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Na wstępie przypomnijmy, że moment bezwładnomoment bezwładnościścimoment bezwładnościmoment bezwładnomoment bezwładnościści dla bryły sztywnej definiujemy jako sumę momentów bezwładności wszystkich jej elementów:

I=i=1nIi=i=1nmiri2,(1)

przy czym ri oznacza odległość i-tego elementu od osi obrotu. Korzystając z tej zależności można obliczyć moment bezwładności dowolnej bryły sztywnej. Dla znanych nam z geometrii brył zwykle jesteśmy w stanie podać pewną wielkość r o wymiarze długości, w pewnym sensie charakterystyczną dla bryły. Dla walca czy sfery będzie to promień, dla stożka - promień jego podstawy. Uwaga - wybór ten może się wydawać „naturalny”, ale nie jest jednoznaczny - jest kwestią umowy.

Dla ustalonego dla danej bryły promienia r, wynik sumowania w (1) będzie można przedstawić jako

I=kmr2,(2)

gdzie k to bezwymiarowy współczynnik, który zależy od kształtu bryły i tego, którą oś wybraliśmy. Na przykład dla cienkiego pręta o długości l i masie m współczynnik k wynosi 1/3, jeśli obrotu dokonujemy wokół osi prostopadłej do pręta, przechodzącej przez jego koniec. Jeśli obracamy pręt wokół środka masy, prostopadle do jego osi, to współczynnik k wynosi 1/12. A jaka będzie wartość współczynnika k dla rury?

Spójrzmy na Rys. 1. Widać na nim cienkościenną rurę o promieniu R i zaniedbywalnej grubości deltaR. Podzielimy ją na n małych elementów, jak na części B Rys. 1. Masa każdego z tych elementów będzie wynosiła deltamIndeks dolny i. Jaki będzie moment bezwładności takiej obręczy?

R1F20YX1tULzj
Rys. 1. Cienkościenny pierścień o promieniu R podzielony na n małych elementów.

Skorzystajmy ze wzoru 1:

I=i=1nΔmiri2=Δm1R2+Δm2R2++ΔmnR2=
=(Δm1+Δm2+...+Δmn)R2=mR2.(3)

Zatem moment bezwładności cienkościennej rury względem jej osi symetrii wynosi

I=mR2.(4)

Zauważmy, że nigdzie nie pojawia się tu wysokość tej rury, tj. rozmiar wzdłuż osi symetrii. Możemy więc równie dobrze patrzeć na (4) jako na wyrażenie na moment bezwładności cienkiego pierścienia o promieniu R i masie m - znów: względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny, przechodzącej przez jego środek. Możemy powiedzieć, że współczynnik k ze wzoru (2) wynosi tu 1, ale gdybyśmy z jakichkolwiek względów zechcieli zmienić umowę co do promienia, k również by się zmieniło, ponieważ wielkość fizyczna I pozostaje niezmieniona.

Obliczymy teraz moment bezwładności jednorodnego walca o wysokości h i promieniu R względem osi pokrywającej się z jego osią symetrii obrotowej, jak na Rys. 2. Naszym zadaniem będzie znalezienie wartości współczynnika k, który wprowadziliśmy we wzorze (2).

RaEIplZuq5Lz0
Rys. 2. Walec o wysokości h i promieniu R

W pierwszym kroku podzielimy ten walec na dwie części. Z walca „wytniemy” cienki pierścień o grubości deltar. Jego promień zewnętrzny nadal będzie wynosił R. Promień wewnętrzny będzie wynosił RIndeks dolny 1 = R - deltar, jak na Rys. 3.

R1Vhk3No4ntO9
Rys. 3. Wycięcie z jednorodnego walca cienkiego pierścienia

Moment bezwładności całego ciała jest sumą momentów bezwładności jego składowych. Moment bezwładności pełnego walca o promieniu R oznaczmy przez IIndeks dolny wR. Analogicznie moment bezwładności mniejszego walca o promieniu RIndeks dolny 1 oznaczmy przez IIndeks dolny wR1. Moment bezwładności pierścienia to IIndeks dolny p opisywany wzorem (4). Ale skoro

IwR=Ip+IwR1,(5)

to

Ip=IwRIwR1.(6)

Innymi słowy, moment bezwładności pierścienia to różnica momentu bezwładności całego walca o promieniu R i walca o promieniu RIndeks dolny 1. Masa „dużego” walca to m. Masa „małego” walca to m1=mR12R2. Wstawiając powyższe do wzoru (4) otrzymamy

Ip=IwRIwR1=kmR2km1R12=kmR2kmR12R2R12=kmR2(R4R14).(7)

Ze wzoru na różnicę kwadratów wynika, że

Ip=kmR2(R4R14)=km(R2R12)R2(R2+R12),(8)

ale czynnik m(R2R12)R2 to masa pierścienia mIndeks dolny p. Wobec tego

Ip=kmp(R2+R12).(9)

Ponieważ założyliśmy, że pierścień jest bardzo cienki, to możemy przyjąć, że RIndeks dolny 1R. Zapis wzoru (9) uprości się więc do

Ip2kmpR2.(10)

Ze wzoru (4) wiemy, że Ip=mR2. Przyrównując lewe strony otrzymujemy wartość współczynnika k,

mpR2=2kmpR2,

skąd

k=12,

więc ostatecznie

Ip=12mR2.

Ogólnie rzecz biorąc tego typu składanie i wycinanie jak powyżej, daje prawidłowy wynik, ale nie zawsze mamy odpowiednik wzoru (4). Np. gdybyśmy chcieli w ten sposób „poskładać” kulę z koncentrycznych sfer, możemy to zrobić, ale jeśli nie znamy momentu bezwładności sfery, powyższa metoda najwyżej pozwoli nam powiązać współczynniki k dla sfery i kuli.

W tabeli poniżej możesz zapoznać się z momentami bezwładności różnych jednorodnych brył:

Opis

Rysunek

Moment bezwładności

Cienkościenna cylindryczna rura o promieniu r i masie m

R7mUww5nW4FYy

I=mr2

Cylindryczna rura o wewnętrznym promieniu rIndeks dolny 1 zewnętrznym promieniu rIndeks dolny 2 i masie m

R1c3rqKxKB92V

I=12m(r22+r12)

Dla rIndeks dolny 1=0 pełny walec, dla rIndeks dolny 1=rIndeks dolny 2 rura cienkościenna.

Cylindryczna rura o wewnętrznym promieniu rIndeks dolny 1 zewnętrznym promieniu rIndeks dolny 2, długości h i gęstości rho

I=12πρ(r24r14)h

Pełny walec o promieniu r, wysokości h i masie m

R5cWEkeCLjNRm

Iz=12mr2
Ix=Iy=112m(3r2+h2)

Wypełniona kula o promieniu r i masie m

RsSekkcs2W6iq

I=25mr2

Sfera o promieniu r i masie m

RVWfBkL4zCgC0

I=23mr2

Prostopadłościan o wysokości h, długości w, szerokości d i masie m

R1ZBhSXupJRyE

Ih=112m(w2+d2)
Iw=112m(h2+d2)
Id=112m(h2+w2)

Dla podobnie ułożonego sześcianu o krawędziach długości s i masie m, ICM=16ms2

Pręt o długości L i masie m

R4Rk0D055gQuZ

Isrodek=112mL2+J

Gdzie J jest momentem bezwładności przekroju

Pręt o długości L i masie m

RpW83p7hbpisx

Ikoniec=13mL2

Dla zaniedbywalnie małej grubości pręta.

TorustorusTorus o promieniu R, masie m i promieniu przekroju r w

R1VSEJRMAjbKK

Isrodek=m(R2+34r2)

Słowniczek

moment bezwładności
moment bezwładności

(ang. moment of inertia) skalarna wielkość fizyczna opisująca bezwłasność w ruchu obrotowyma, odpowiednik masy w ruchu postępowym.

torus
torus

(ang. torus) dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa powstała z obrotu okręgu wokół prostej w płaszczyźnie tego okręgu, nie przecinającej go. Kształt torusa mają popularne poączki typu donut (ang. doughnut).