Przeczytaj

Warto przeczytać

Na wstępie przypomnijmy, że moment bezwładnościmoment bezwładnościmoment bezwładności dla skończonego zbioru punktów materialnych definiujemy jako sumę momentów bezwładności wszystkich jego elementów:

(1) $\displaystyle I = \sum_{i=1}^n I_i = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2\ ,$

przy czym $r_{i}$ oznacza odległość $i$ -tego elementu od osi obrotu. Korzystając z tej zależności, odpowiednio uogólnionej, można obliczyć moment bezwładności dowolnej bryły sztywnej. Dla znanych nam z geometrii brył zwykle jesteśmy w stanie podać pewną wielkość $r$ o wymiarze długości, w pewnym sensie charakterystyczną dla bryły. Dla walca czy sfery będzie to promień, dla stożka - promień jego podstawy. Uwaga - wybór ten może się wydawać „naturalny”, ale nie jest jednoznaczny - jest kwestią umowy.

Dla ustalonego dla danej bryły promienia $r$ wynik sumowania w (1) będzie można przedstawić jako

(2)

I = k m r^{2},

gdzie $k$ to bezwymiarowy współczynnik, który zależy od kształtu bryły i tego, którą oś wybraliśmy. Na przykład dla cienkiego pręta o długości $l$ i masie $m$ współczynnik ten wynosi $\frac{1}{3}$ , jeśli obrotu dokonujemy wokół osi prostopadłej do pręta, przechodzącej przez jego koniec. Jeśli obracamy pręt wokół środka masy, prostopadle do jego osi, to współczynnik otrzymujemy $k = \frac{1}{12}$ . A jaka będzie wartość współczynnika $k$ dla rury?

Spójrzmy na Rys. 1. Widać na nim cienkościenną rurę o promieniu $R$ i zaniedbywalnej grubości $\Delta R$ . Podzielimy ją na $n$ małych elementów, jak na części B Rys. 1. Masa każdego z tych elementów będzie wynosiła $\Delta m_i$ . Jaki będzie moment bezwładności takiej bryły?

R1F20YX1tULzj

Rys. 1. Rysunek składa się z dwóch części A i B. Z lewej strony na rysunku A znajduje się poziomy, cienkościenny pierścień, którego promień oznaczony jest literą wielkie R. Przez środek pierścienia poprowadzono pionową linię prostą, która stanowi oś symetrii pierścienia. Z prawej strony na rysunku B znajduje się ten sam poziomy pierścień podzielony na wąskie elementy cięciami wzdłuż promienia. Masy dwóch sąsiednich elementów oznaczono jako delta m z indeksem dolnym 1 oraz delta m z indeksem dolnym 2. Dalej na prawo od tych elementów narysowano jeszcze jeden element oznaczony jako delta m z indeksem dolnym i. — Rys. 1. Cienkościenny pierścień o promieniu R podzielony na n małych elementów.

Skorzystajmy ze wzoru (1). Otrzymamy

(3) $\displaystyle\begin{align} I &= \sum_{i=1}^n \Delta m_i r_i^2 = \Delta m_1 R^2 + \Delta m_2 R^2 + \ldots + \Delta m_n R^2 =\\ &= (\Delta m_1 + \Delta m_2 + \ldots + \Delta m_n)R^2 = mR^2\ . \end{align}$

Zatem moment bezwładności cienkościennej rury względem jej osi symetrii wynosi

(4)

I = m R^{2} .

Zauważmy, że nigdzie nie pojawia się tu wysokość (czy długość) tej rury, tj. rozmiar wzdłuż osi symetrii. Możemy więc równie dobrze patrzeć na (4) jako na wyrażenie na moment bezwładności cienkiego pierścienia o promieniu $R$ i masie $m$ - znów: względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny, przechodzącej przez jego środek. Możemy powiedzieć, że współczynnik $k$ ze wzoru (2) wynosi tu $1$ , ale gdybyśmy z jakichkolwiek względów zechcieli zmienić umowę co do promienia, $k$ również by się zmieniło, ponieważ wielkość fizyczna $I$ pozostaje niezmieniona.

Obliczymy teraz moment bezwładności jednorodnego walca o wysokości $h$ i promieniu $R$ względem osi pokrywającej się z jego osią symetrii obrotowej, jak na Rys. 2. Naszym zadaniem będzie znalezienie wartości współczynnika $k$ , który wprowadziliśmy we wzorze (2).

RaEIplZuq5Lz0

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych składający się z trzech wzajemnie prostopadłych osi. Osie oznaczone literami y i z leżą w płaszczyźnie rysunku. Oś y skierowana jest poziomo w prawo, oś z skierowana jest pionowo do góry. Oś oznaczona literą x jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i skierowana jest do nas. W układzie współrzędnych narysowano walec, którego pionowa oś symetrii leży na osi z. Walec ma wysokość oznaczoną literą małe h i promień oznaczony literą wielkie R. — Rys. 2. Walec o wysokości h i promieniu R

W pierwszym kroku podzielimy ten walec na dwie części. Z walca „wytniemy” cienki pierścień o grubości $\Delta R$ . Jego promień zewnętrzny nadal będzie wynosił $R$ , a wewnętrzny $R_1 = R - \Delta R$ .

R1Vhk3No4ntO9

Rys. 3. Rysunek składa się z dwóch części A i B. Z lewej strony na rysunku A znajduje się walec, o pionowej osi symetrii. Promień walca oznaczony jest literą wielkie R. Z prawej strony na rysunku B znajduje się cienki pierścień, którego promień wewnętrzny oznaczony jest literą wielkie R z indeksem dolnym 1, a promień zewnętrzny oznaczony jest literą wielkie R. Rysunki ilustrujące wyrażenia na momenty bezwładności kilku brył: Cienkościenna rura o promieniu r Na rysunku znajduje się cienkościenna rura, której oś symetrii skierowana jest pionowo. Oś obrotu rury pokrywa się z osią symetrii. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się małe m razy małe r do kwadratu. Rura o wewnętrznym promieniu r z indeksem dolnym 1 i zewnętrznym promieniu r z indeksem dolnym 2 Na rysunku znajduje się rura, której oś symetrii skierowana jest pionowo i oznaczona literą małe z. Oś obrotu rury pokrywa się z osią symetrii. Promień wewnętrzny rury oznaczony jest literą małe r z indeksem dolnym 1, promień zewnętrzny oznaczony jest literą małe r z indeksem dolnym 2, a wysokość rury literą małe h. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i z indeksem dolnym małe z równa się jedna druga razy małe m razy otworzyć nawias małe r z indeksem dolnym 1 do kwadratu plus małe r z indeksem dolnym 2 do kwadratu zamknąć nawias równa się jedna druga razy mała grecka litera pi razy mała grecka litera ro razy małe h razy otworzyć nawias małe r z indeksem dolnym 2 do czwartej potęgi minus małe r z indeksem dolnym 1 do czwartej potęgi zamknąć nawias. Lity walec o promieniu r Na rysunku znajduje się walec, którego oś symetrii skierowana jest pionowo. Oś obrotu walca pokrywa się z osią symetrii. Promień walca oznaczony jest literą małe r, a wysokość walca literą małe h. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się jedna druga razy małe m razy małe r do kwadratu. Sfera o promieniu r, obrót względem dowolnej średnicy Na rysunku znajduje się sfera, której promień oznaczony jest literą małe r. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się dwie trzecie razy małe m razy małe r do kwadratu. Kula o promieniu r, obrót względem dowolnej średnicy Na rysunku znajduje się kula, której promień oznaczony jest literą małe r. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się dwie piąte razy małe m razy małe r do kwadratu. Prostopadłościan o krawędziach małe a z indeksem dolnym x, małe a z indeksem dolnym y, małe a z indeksem dolnym z Na rysunku znajduje się prostopadłościan umieszczony w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Dwie osie układu oznaczone literami x i y leżą w płaszczyźnie poziomej. Oś x skierowana jest w lewo, oś y skierowana jest prostopadle do płaszczyzny rysunku do nas. Oś z skierowana jest pionowo w górę. Prostopadłościan ustawiony jest tak, że osie przecinają ściany prostopadłościanu w punkach przecięcia przekątnych ścian. Krawędź prostopadłościanu równoległa do osi x oznaczona jest literą małe a z indeksem dolnym x. Krawędź równoległa do osi y oznaczona jest literą małe a z indeksem dolnym y. Krawędź prostopadłościanu równoległa do osi z oznaczona jest literą małe a z indeksem dolnym z. Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi obrotu pokrywającej się z osią x wyraża się wzorem: Wielkie i z indeksem dolnym małe x równa się jedna dwunasta razy małe m razy otworzyć nawias małe a z indeksem dolnym y do kwadratu plus małe a z indeksem dolnym z do kwadratu zamknąć nawias. Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi obrotu pokrywającej się z osią y wyraża się wzorem: Wielkie i z indeksem dolnym małe y równa się jedna dwunasta razy małe m razy otworzyć nawias małe a z indeksem dolnym z do kwadratu plus małe a z indeksem dolnym x do kwadratu zamknąć nawias. Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi obrotu pokrywającej się z osią z wyraża się wzorem: Wielkie i z indeksem dolnym małe z równa się jedna dwunasta razy małe m razy otworzyć nawias małe a z indeksem dolnym x do kwadratu plus małe a z indeksem dolnym y do kwadratu zamknąć nawias. Pręt o długości małe L i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu w środku masy pręta Na rysunku znajduje się poziomy pręt. Oś obrotu jest pionowa i przechodzi przez środek pręta. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się jedna dwunasta razy małe m razy małe L do kwadratu. Pręt o długości małe L i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu na końcu pręta Na rysunku znajduje się poziomy pręt. Oś obrotu jest pionowa i przechodzi przez koniec pręta. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się jedna trzecia razy małe m razy małe L do kwadratu. Torus o promieniach głównym wielkie R, i wewnętrznym małe r. Oś obrotu pokrywa się z osią symetrii torusa. Na rysunku znajduje się torus, czyli bryła o kształcie napompowanej dętki lub obwarzanka. Torus leży w płaszczyźnie poziomej, a przez jego środek przechodzi pionowa oś symetrii, która jest też osią obrotu. Narysowano przekrój poprzeczny torusa o kształcie koła. Promień tego koła to promień wewnętrzny torusa oznaczony literą małe r. Promień główny zaznaczono poziomym odcinkiem o jednym końcu na osi symetrii, a drugim końcu w środku koła, będącym przekrojem poprzecznym torusa. Pod rysunkiem zapisano wzór: Wielkie i równa się małe m razy otworzyć nawias wielkie R do kwadratu plus trzy czwarte razy małe r do kwadratu zamknąć nawias. — Rys. 3. Wycięcie z jednorodnego walca cienkiego pierścienia

Moment bezwładności całego ciała jest sumą momentów bezwładności jego składowych. Moment bezwładności pełnego walca o promieniu $R$ oznaczmy przez $I_{wR}$ . Analogicznie, moment bezwładności mniejszego walca o promieniu $R_1$ oznaczmy przez $I_{wR1}$ . Moment bezwładności pierścienia to $I_p$ , opisany wzorem (4). Ale skoro

(5)

I_{w R} = I_{p} + I_{w R_{1}},

(6)

I_{p} = I_{w R} - I_{w R_{1}} .

Innymi słowy: moment bezwładności pierścienia to różnica momentu bezwładności całego walca o promieniu $R$ i walca o promieniu $R_1$ . Masa pierwotnego walca to $m$ . Masa mniejszego - co można pokazać, licząc ich objętości - wynosi $m_{1} = m \frac{R_{1}^{2}}{R^{2}}$ . Wstawiając ten wynik do wzoru (4), otrzymamy

(7) $\displaystyle\begin{align} I_p &= I_{wR} - I_{wR_1} = kmR^2 - km_1R_1^2 = \\ &= kmR^2 - km\frac{R_1^2}{R^2}R_1^2 = k\frac{m}{R^2}(R^4 - R_1^4)\ . \end{align}$

Ze wzoru na różnicę kwadratów wynika, że

I_{p} = \frac{k m}{R^{2}} (R^{4} - R_{1}^{4}) = k \frac{m (R^{2} - R_{1}^{2})}{R^{2}} (R^{2} + R_{1}^{2}),

ale czynnik $\frac{m (R^{2} - R_{1}^{2})}{R^{2}}$ to masa pierścienia $m_p$ . Wobec tego

(8)

I_{p} = k m_{p} (R^{2} + R_{1}^{2}) .

Ponieważ założyliśmy, że pierścień jest bardzo cienki, to możemy przyjąć, że $R_1 \approx R$ . Wtedy (8) uprości się do

(9)

I_{p} \approx 2 k m_{p} R^{2} .

Ale to jest inne wyrażenie wyniku, który już znamy. Przyrównując lewe strony (9) i (4), otrzymujemy wartość współczynnika $k$

m_{p} R^{2} = 2 k m_{p} R^{2},

skąd

k = \frac{1}{2},

więc ostatecznie

I_{p} = \frac{1}{2} m R^{2} .

Ogólnie rzecz biorąc tego typu składanie i wycinanie jak powyżej, daje prawidłowy wynik, ale nie zawsze mamy odpowiednik wzoru (4). Np. gdybyśmy chcieli w ten sposób „poskładać” kulę z koncentrycznych sfer, możemy to zrobić, ale jeśli nie znamy momentu bezwładności sfery, powyższa metoda najwyżej pozwoli nam powiązać współczynniki $k$ dla sfery i kuli. W harmonii poniżej możesz zapoznać się z wyrażeniami opisującymi momenty bezwładności różnych jednorodnych brył.

RO5HXQkJiSytE

Cienkościenna rura o promieniu

r

opis WCAG

I = m r^{2}

, Rura o promieniach wewnętrznym

r_{1}

i wewnętrznym

r_{2}

opis WCAG

I = \frac{1}{2} π ϱ h ({r_{2}}^{4} - {r_{1}}^{4})

, Lity walec o promieniu

r

opis WCAG

I = \frac{1}{2} m r^{2}

, Sfera o promieniu

r

opis WCAG

I = \frac{2}{3} m r^{2}

, Kula o promieniu

r

opis WCAG

I = \frac{2}{5} m r^{2}

, Prostopadłościan o krawędziach długości

a_{x}

a_{y}

a_{z}

. opis WCAG

I_{x} =\frac{1}{12}({a_{y}}^{2}+{a_{z}}^{2})

I_{y} =\frac{1}{12}({a_{z}}^{2}+{a_{x}}^{2})

I_{z} =\frac{1}{12}({a_{x}}^{2}+{a_{y}}^{2})

, Pręt o długości

l

i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu w środku masy pręta. opis WCAG

I = \frac{1}{12}

, Pręt o długości

l

i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu na końcu pręta. opis WCAG

I = \frac{1}{3}

, Torus o promieniach zewnętrznym

R

i wewnętrznym

r

. opis WCAG

I = m (R^{2} + \frac{3}{4}

Wyrażenia opisujące momenty bezwładności kilku brył względem wybranych osi. Każda z brył ma masę $m$ i stałą gęstość $ρ$ .

Cienkościenna rura o promieniu $r$ , czyli ciało w kształcie walca, który nie jest wypełniony w środku i składa się jedynie z powierzchni bocznej. Moment bezwładności dla osi obrotu pokrywającej się z osią walca wynosi $I = m r^{2}$ .
Rura (wydrążony w środku walec) o promieniach wewnętrznym $r_{1}$ i zewnętrznym $r_{2}$ . Moment bezwładności dla osi obrotu pokrywającej się z osią rury wynosi $I_{z} = \frac{1}{2} m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) = \frac{1}{2} π ϱ h (r_{2}^{4} - r_{1}^{4})$ .
Lity walec o promieniu $r$ . Moment bezwładności dla osi obrotu pokrywającej się z osią walca wynosi $I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ .
Sfera o promieniu $r$ , obrót względem dowolnej średnicy. Moment bezwładności wynosi $I = \frac{2}{3} m r^{2}$ .
Kula o promieniu $r$ , obrót względem dowolnej średnicy. Moment bezwładności wynosi $I = \frac{2}{5} m r^{2}$ .
Prostopadłościan o krawędziach długości $a_{x}$ , $a_{y}$ i $a_{z}$ . Moment obrotu wokół każdej z osi wynosi odpowiednio $I_{x} =\frac{1}{12}m({a_{y}}^{2}+{a_{z}}^{2})$ , $I_{y} =\frac{1}{12}m({a_{z}}^{2}+{a_{x}}^{2})$ i $I_{z} =\frac{1}{12}m({a_{x}}^{2}+{a_{y}}^{2})$ .
Pręt o długości $l$ i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu w środku masy pręta (prostopadle do pręta). Moment bezwładności wynosi $I = \frac{1}{12} m l^{2}$ .
Pręt o długości $l$ i zaniedbywalnej grubości przekroju poprzecznego, oś obrotu na końcu pręta (prostopadle do niego). Moment bezwładności wynosi $I = \frac{1}{3} m l^{2}$ .
TorustorusTorus o promieniach głównym $R$ i wewnętrznym $r$ . Oś obrotu pokrywa się z osią symetrii obrotowej torusa. Moment bezwładności wynosi $I = m (R^{2} + \frac{3}{4} r^{2})$ .

Słowniczek

moment bezwładności

(ang. moment of inertia) wielkość fizyczna opisująca bezwładność w ruchu obrotowym, analogicznie do roli masy w opisie ruchu postępowego.

torus

(ang. torus) dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa powstała z obrotu okręgu wokół prostej w płaszczyźnie tego okręgu, nieprzecinającej go. Kształt torusa mają popularne pączki typu donut (ang. doughnut).

Wprowadzenie

Grafika interaktywna

Warto przeczytać

Słowniczek