Przeczytaj
Warto przeczytać
JojoJojo bynajmniej nie jest nową zabawką w naszej kulturze, o czym świadczy Rys. 1.
Rys. 1a. prezentuje urządzenie wykorzystujące tę samą zasadę fizyczną co wspomniane jojo – koło Maxwellakoło Maxwella. Ciężki obiekt, bryła sztywnabryła sztywna o dużym momencie bezwładności, nawijany jest na sznurek i puszczany swobodnie – siła grawitacji sprawia, że koło zaczyna opadać, jednocześnie obracając się coraz szybciej. W efekcie widzimy demonstrację zamiany energii potencjalnej grawitacji na energię kinetyczną.
Warto tu zwrócić uwagę na sposób zamontowania sznurka na osi koła lub jojo. Montaż możliwy jest zarówno w sposób umożliwiający bryle dalsze obracanie się po rozwinięciu sznurka – poprzez zastosowanie łożyska kulkowego – lub „na sztywno”, przez co po rozwinięciu się całej nici, zaczyna się ona ponownie nawijać, podciągając bryłę do góry. Możemy zatem zarówno zamienić całą energię potencjalną na energię kinetyczną ruchu obrotowego, jak i otrzymać ruch okresowy, w którym okresowo następują przemiany energii.
W życiu codziennym częściej będziemy spotykać obracające się bryły sztywne nie umocowane na sznurku. Będą to na przykład obiekty swobodnie toczące się po powierzchni (lewa część Rys. 2.) lub staczające z pochyłości (Rys. 3.) czy pojazdy (kiedy mamy do czynienia z toczeniem się ciał, przeciwieństwie do ruchu obrotowego względem nieruchomej osi obrotu, występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy, jak na prawej części Rys. 2.). We wszystkich tych przypadkach równania związane z przemianami energii są bardzo podobne. Na początek zwróćmy uwagę, że na energię kinetyczną bryły sztywnej składa się zarówno energia kinetyczna ruchu postępowego, jak i obrotowego. Spójrzmy ponownie na Rys. 2.
Przyjrzyjmy się bryle sztywnej o masie i momencie bezwładności , toczącej się po płaszczyźnie. Środek masy tej bryły przemieszcza się z prędkością względem podłoża, a sama bryła obraca się wokół swojego środka masy z prędkością kątową . Na energię ruchu tej bryły sztywnej składa się jej energia ruchu postępowego oraz jej energia ruchu obrotowego . Możemy zatem zapisać, że całkowita energia kinetyczna ruchu bryły sztywnej to:
Załóżmy teraz, że toczenie odbywa się bez poślizgu. Znaczy to, że prędkość środka masy i prędkość kątowa powiązane są relacją . Wstawiając tę zależność do poprzedniego wzoru otrzymamy:
Jak widać z tego wzoru, różne bryły o tej samej masie, toczące się z tą samą prędkością, będą posiadały różną energię kinetyczną. Porównajmy kulę, walec i obręcz, wszystkie o tej same masie i promieniu :
Widzimy, że przy tej samej masie, promieniu i prędkości, całkowita energia kinetyczna obręczy jest większa niż walca, a walca jest większa niż kuli. Zastanówmy się, jaką część całkowitej energii tych brył stanowi ich energia ruchu postępowego, a jaką obrotowego:
Ponownie wynik zależy od momentu bezwładności bryły, przyjrzyjmy się zatem raz jeszcze kuli, walcowi i obręczy:
Widzimy, że w przypadku toczącej się bez poślizgu obręczy jej całkowita energia kinetyczna składa się po połowie z energii ruchu postępowego i energii ruchu obrotowego. Ale już w przypadku walca, energia ruchu postępowego jest dwa razy większa niż obrotowego, a w przypadku kuli, energia ruchu postępowego jest 3,5 razy większa niż jej energia ruchu obrotowego. Jak te bryły będą się staczały z równi pochyłej? Czy wszystkie stoczą się z tej samej wysokości w tym samym czasie? Przyjrzyjmy się Rys. 3.
Odpowiedzi można udzielić bardzo łatwo, przeprowadzając proste rozumowanie: całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej będącej na końcu równi równa jest energii potencjalnej tej bryły w momencie, gdy zaczęła się toczyć:
Skoro zatem energia początkowa każdej z brył jest taka sama (ta sama masa i ten sam promień), to ich energia końcowa też będzie taka sama. Jednakże, jak ustaliliśmy wcześniej, całkowita energia kinetyczna składa się z energii ruchu postępowego i obrotowego – w różnych proporcjach, w zależności od momentu bezwładności tej bryły. Intuicyjnie możemy zatem powiedzieć, że bryła o większym momencie bezwładności stoczy się wolniej i będzie miała mniejszą końcową prędkość ruchu postępowego – ponieważ większa część jej energii będzie stanowiła energia ruchu obrotowego. Poniżej uzasadnimy te wnioski liczbowo.
Porównajmy staczanie się kuli i walca. Jaka jest ich energia końcowa?
Energia początkowa (energia potencjalna grawitacji) dla obu była taka sama . Zatem, które ciało będzie miało większą prędkość kątową po stoczeniu się z równi? Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej, otrzymujemy:
Otrzymany wynik zgadza się z naszymi przewidywaniami – kula, jako obiekt o mniejszym momencie bezwładności niż omawiany walec, porusza się z większą prędkością po stoczeniu się z równi.
Słowniczek
(ang. yo‑yo) inaczej zwane kołem Maxwella to rodzaj zabawki w postaci ciężarka‑szpulki zawieszonego na sznurku. Ciężarek, opuszczony na sznurku trzymanym za nieumocowany koniec, rozwija go wpadając w ruch obrotowy. Po pełnym rozwinięciu sznurka ciężarek zachowuje moment pędu ruchu obrotowego i nawijając sznurek wędruje w górę. Istnieje wiele teorii o pochodzeniu jojo, lecz prawdopodobnie wywodzi się ono z Chin.
(ang. Maxwell's wheel) to krążek, bryła sztywna o dużym momencie bezwładności, zawieszony na linkach nawiniętych na oś, wokół której może się on obracać. Konstrukcja przypomina zabawkę jojo.
(ang. rigid body) inaczej ciało sztywne lub ciało rozciągłe, to pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać.