Warto przeczytać

JojojojoJojo bynajmniej nie jest nową zabawką w naszej kulturze, o czym świadczy Rys. 1.

R1dqvNQRBM9y9

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek człowieka bawiącego się zabawką przypominająca jojo. Na czarnym tle widoczny jest pomarańczowy okrąg. W środku okręgu widoczna jest stojąca postać narysowana pomarańczowym kolorem. Postać ubrana jest w długą grecką lub rzymską togę. Postać skierowana jest w prawą stronę. W ręku trzyma przedmiot przypominający zabawkę jojo.

RJUUGJ9wLCM7Q

Rys. 1a. Ilustracje przedstawia rysunek koła Maxwella. Do poziomej, szarej belki przymocowane są dwie linki narysowane szarym kolorem. Linki zwisają pionowo, równolegle do siebie. Na ich końcach zamocowano poziomy pręt, narysowany w postaci poziomego, długiego cylindra. Linki nawinięto na cylinder. W połowie odległości pomiędzy linkami nawiniętymi na pręt widoczny jest szary walec współśrodkowy z cylindrycznym prętem.

Rys. 1a. prezentuje urządzenie wykorzystujące tę samą zasadę fizyczną co wspomniane jojo – koło Maxwellakoło Maxwellakoło Maxwella. Ciężki obiekt, bryła sztywnabryła sztywnabryła sztywna o dużym momencie bezwładności, nawijany jest na sznurek i puszczany swobodnie – siła grawitacji sprawia, że koło zaczyna opadać, jednocześnie obracając się coraz szybciej. W efekcie widzimy demonstrację zamiany energii potencjalnej grawitacji na energię kinetyczną.

Warto tu zwrócić uwagę na sposób zamontowania sznurka na osi koła lub jojo. Montaż możliwy jest zarówno w sposób umożliwiający bryle dalsze obracanie się po rozwinięciu sznurka – poprzez zastosowanie łożyska kulkowego – lub „na sztywno”, przez co po rozwinięciu się całej nici, zaczyna się ona ponownie nawijać, podciągając bryłę do góry. Możemy zatem zarówno zamienić całą energię potencjalną na energię kinetyczną ruchu obrotowego, jak i otrzymać ruch okresowy, w którym okresowo następują przemiany energii.

W życiu codziennym częściej będziemy spotykać obracające się bryły sztywne nie umocowane na sznurku. Będą to na przykład obiekty swobodnie toczące się po powierzchni (lewa część Rys. 2.) lub staczające z pochyłości (Rys. 3.) czy pojazdy (kiedy mamy do czynienia z toczeniem się ciał, przeciwieństwie do ruchu obrotowego względem nieruchomej osi obrotu, występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy, jak na prawej części Rys. 2.). We wszystkich tych przypadkach równania związane z przemianami energii są bardzo podobne. Na początek zwróćmy uwagę, że na energię kinetyczną bryły sztywnej składa się zarówno energia kinetyczna ruchu postępowego, jak i obrotowego. Spójrzmy ponownie na Rys. 2.

RcjvY2mP43Q97

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części, prawą i lewą. Po lewej, widoczny jest rysunek przedstawiający niebieskie koło, spoczywające na poziomej, szarej powierzchni narysowanej w postaci szarego, poziomego prostokąta. Do środka koła przyłożono wektor prędkości mała litera v narysowany w postaci czarnej, poziomej strzałki, skierowanej w prawo. Nad górną częścią niebieskiego koło widoczny jest łuk, równoległy do obwodu koła i zakończony grotem strzałki wskazującym kierunek. Kierunek wskazany przez łuk jest zgony z ruchem wskazówek zegara. Czarny łuk opisany jest jako prędkość kątowa mała grecka litera omega. Po prawej stronie widoczny jest rysunek niebieskiego koła. Do środka koła przyłożono wektor prędkości mała litera v, narysowany w postaci czarnej, pionowej strzałki skierowanej w dół. Nad górną częścią niebieskiego koło widoczny jest łuk, równoległy do obwodu koła i zakończony grotem strzałki wskazującym kierunek. Kierunek wskazany przez łuk jest zgony z ruchem wskazówek zegara. Czarny łuk opisany jest jako prędkość kątowa mała grecka litera omega. Po prawej stronie od niebieskiego koła widoczna jest czarna, pionowa strzałka skierowana w dół. Opisano ją jako przyspieszenia mała litera a.

Przyjrzyjmy się bryle sztywnej o masie $m$ i momencie bezwładności $I$, toczącej się po płaszczyźnie. Środek masy tej bryły przemieszcza się z prędkością $\overrightarrow{v}$ względem podłoża, a sama bryła obraca się wokół swojego środka masy z prędkością kątową $\omega$. Na energię ruchu tej bryły sztywnej składa się jej energia ruchu postępowego $E_{post}=\frac{m{v}^2}{2}$ oraz jej energia ruchu obrotowego $E_{obr}=\frac{I{\omega }^2}{2}$. Możemy zatem zapisać, że całkowita energia kinetyczna ruchu bryły sztywnej to:

Załóżmy teraz, że toczenie odbywa się bez poślizgu. Znaczy to, że prędkość $v$ środka masy i prędkość kątowa $\omega$ powiązane są relacją $v=\omega R$. Wstawiając tę zależność do poprzedniego wzoru otrzymamy:

Jak widać z tego wzoru, różne bryły o tej samej masie, toczące się z tą samą prędkością, będą posiadały różną energię kinetyczną. Porównajmy kulę, walec i obręcz, wszystkie o tej same masie $m$ i promieniu $R$:

Widzimy, że przy tej samej masie, promieniu i prędkości, całkowita energia kinetyczna obręczy jest większa niż walca, a walca jest większa niż kuli. Zastanówmy się, jaką część całkowitej energii tych brył stanowi ich energia ruchu postępowego, a jaką obrotowego:

Ponownie wynik zależy od momentu bezwładności bryły, przyjrzyjmy się zatem raz jeszcze kuli, walcowi i obręczy:

Widzimy, że w przypadku toczącej się bez poślizgu obręczy jej całkowita energia kinetyczna składa się po połowie z energii ruchu postępowego i energii ruchu obrotowego. Ale już w przypadku walca, energia ruchu postępowego jest dwa razy większa niż obrotowego, a w przypadku kuli, energia ruchu postępowego jest 3,5 razy większa niż jej energia ruchu obrotowego. Jak te bryły będą się staczały z równi pochyłej? Czy wszystkie stoczą się z tej samej wysokości w tym samym czasie? Przyjrzyjmy się Rys. 3.

R8tIga3Lw0Y0h

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek równi pochyłej, narysowanej czarnymi liniami, której wierzchołek znajduje się z lewej strony a podnóże po prawej. Kąt nachylenia równi do kierunku poziomego oznaczono małą grecką literą alfa. Na równi widoczne są dwa niebieskie koła o promieniu wielka litera R. jedno koło niebieskie koło znajduje się na zboczu równi a drugie u jej podstawy. Do środka niebieskiego koła u podstawy równi przyłożono wektor prędkości mała litera v, narysowany w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Nad górną częścią niebieskiego koło widoczny jest łuk, równoległy do obwodu koła i zakończony grotem strzałki wskazującym kierunek. Kierunek wskazany przez łuk jest zgony z ruchem wskazówek zegara. Czarny łuk opisany jest jako prędkość kątowa mała grecka litera omega. Przez środki niebieskich kół poprowadzono czarne, poziome i przerywane linie. Odległość pionową pomiędzy czarnymi liniami, która stanowi również różnicę wysokości ich środków opisano wielką grecką literą delta i wielką literą H.

Odpowiedzi można udzielić bardzo łatwo, przeprowadzając proste rozumowanie: całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej będącej na końcu równi równa jest energii potencjalnej tej bryły w momencie, gdy zaczęła się toczyć:

Skoro zatem energia początkowa każdej z brył jest taka sama (ta sama masa i ten sam promień), to ich energia końcowa też będzie taka sama. Jednakże, jak ustaliliśmy wcześniej, całkowita energia kinetyczna składa się z energii ruchu postępowego i obrotowego – w różnych proporcjach, w zależności od momentu bezwładności tej bryły. Intuicyjnie możemy zatem powiedzieć, że bryła o większym momencie bezwładności stoczy się wolniej i będzie miała mniejszą końcową prędkość ruchu postępowego – ponieważ większa część jej energii będzie stanowiła energia ruchu obrotowego. Poniżej uzasadnimy te wnioski liczbowo.

Porównajmy staczanie się kuli i walca. Jaka jest ich energia końcowa?

Energia początkowa (energia potencjalna grawitacji) dla obu była taka sama $E_{pot}=mgH$. Zatem, które ciało będzie miało większą prędkość kątową po stoczeniu się z równi? Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej, otrzymujemy:

Otrzymany wynik zgadza się z naszymi przewidywaniami – kula, jako obiekt o mniejszym momencie bezwładności niż omawiany walec, porusza się z większą prędkością po stoczeniu się z równi.

Słowniczek