Dwie płaszczyzny, prostopadłe do tej samej prostej, są do siebie równoległe.

RnAWqb0Cr2obz

Grafika przedstawia prostą k przecinającą dwie płaszczyzny P i Q. Miejsca przecięcia prostej k z płaszczyznami wyznaczają punkty A oraz B.

Zauważmy, że jeżeli przez punkt $A$ należący do wybranej prostej $k$ poprowadzimy płaszczyznę $P$ prostopadłą do tej prostej, a przez punkt $B$ (również należący do tej prostej) płaszczyznę $Q$ także prostopadłą do prostej $k$, to płaszczyzny $P$ i $Q$ będą do siebie równoległe.

Wniosek
Przez dany punkt można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę równoległą do danej płaszczyzny.

Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny są przecięte jakąkolwiek trzecią, to linie przecięcia tych płaszczyzn są do siebie równoległe.

R172xCzG2sdjk

Rysunek przedstawia trzy przecinające się płaszczyzny R, P i Q. Płaszczyzna ustawiona ukośnie R przecina dwie płaszczyzny położone poziomo równolegle do siebie, przy czym płaszczyzna P znajduje się nad płaszczyzną Q. Miejsca przecięcia się płaszczyzny R z płaszczyzną P wyznaczają punkty A i B. Miejsca przecięcia się płaszczyzny R z płaszczyzną Q wyznaczają punkty C i D.

Przyglądając się dwóm równoległym płaszczyznom $P$ i $Q$ przeciętym trzecią płaszczyzną $R$, zauważamy, że proste $AB$ oraz $CD$ wyznaczone przez przecięcie płaszczyzn $P$ i $Q$ płaszczyzną $R$ nie mają punktu wspólnego. Gdyby miały taki punkt, oznaczałoby to, że płaszczyzny $P$ i $Q$, na których leżą te proste, mają punkt wspólny, co przeczy ich równoległości. Jeżeli zatem proste nie mają punktu wspólnego, to mogą być równoległe lub skośne. Skośność prostych wyklucza fakt, że leżą one na płaszczyźnie $R$. Zatem proste stanowiące przecięcia dwóch płaszczyzn równoległych trzecią płaszczyzną są równoległe.

Jeżeli dwie równoległe proste są przecięte dwiema płaszczyznami równoległymi, to odcinki zawarte między tymi płaszczyznami są sobie równe.

Wizualizacje płaszczyzn równoległych przedstawiają przecięcia dowolnych brył właśnie takimi płaszczyznami. Warto przy tym zastosować aplikacje i wykorzystać bryły, które zostały wpisane w inne bryły w przestrzeni, bądź na nich opisane.