Przeczytaj
O potęgowaniu mówili już Platon, Archytas i Eudoksos żyjący na przełomie i wieku przed nasza erą. Opisywali liczby powierzchniowe (kwadratowe) i cielesne (stereometryczne), mając na myśli drugie i trzecie potęgi, które wykorzystywano odpowiednio do obliczania pól i objętości (źródło: O. Spengler, , Zmierzch zachodu, Monachium).
Inne potęgi dla matematyków w Starożytnej Grecji były nie do wyobrażenia. Potęgi o wykładniku ujemnym pojawiają się w Chinach w wieku naszej ery i służą tam do zapisywania liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, zaś oznaczenia (czyli potęgi o wykładniku wymiernym) używał w wieku Mikołaj Oresme.
O potęgowaniu w sposób zbliżony do naszego, zaczęto myśleć dopiero w wieku za sprawą takich matematyków jak Kartezjusz, Pascal, Fermat, Desargues (źródło: Krótka historia matematyki. Ryszard Paweł Kostecki).
Przypomnijmy kolejne definicje, które omawialiśmy we wcześniejszych tematach:
Dla liczby naturalnej i liczby rzeczywistej definiujemy:
, dla
Nie definiujemy wyrażenia – nazywamy go symbolem nieoznaczonym.
Jeśli podstawa potęgi nie jest zerem, możemy zdefiniować potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym.
Dla i liczby naturalnej :
Wszystkie poznane własności potęg zachodzą dla wykładników całkowitych, o ile podstawy nie są równe zeru.
Dla , oraz dowolnych liczb całkowitych i zachodzą wzory:
Choć w pewnych szczególnych przypadkach mają sens potęgi o wykładnikach ułamkowych i ujemnych podstawach, to jednak ogólnie potęgi o wykładnikach wymiernych definiujemy dla podstaw dodatnich.
Dla oraz liczb naturalnych i , gdzie
Potęgi o wykładnikach niewymiernych definiujemy korzystając z możliwości przybliżania z nieskończoną dokładnością liczb niewymiernych liczbami wymiernymi. Wszystkie przypomniane powyżej własności potęgowania pozostają prawdziwe dla wykładników wymiernych niecałkowitych i niewymiernych, jeśli podstawy są liczbami dodatnimi.
Przekształcimy wyrażenie do najprostszej postaci korzystając z własności działań na potęgach.
Uprościmy wyrażenie dla dowolnej liczby całkowitej .
Rozwiążemy równanie .
Korzystając z własności potęg, wykonujemy kolejne przekształcenia:
W ostatnim kroku skorzystaliśmy z twierdzenia o równości potęgtwierdzenia o równości potęg.
Uprościmy wyrażenie .
Dane jest równanie . Rozstrzygniemy, które spośród liczb: , , , spełniają to równanie. Aby to zrobić, wystarczy do lewej i prawej strony równania za niewiadomą podstawić tę samą liczbę i sprawdzić, czy obie strony przyjmują tę samą wartość.
Podstawmy za niewiadomą liczbę :
Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba spełnia równanie.
Rozważmy teraz liczbę :
Ponieważ każda ze stron równania przyjmuje inną wartość, liczba nie spełnia równania.
Rozważmy liczbę :
Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba spełnia równanie.
Pozostała do sprawdzenia liczba :
Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba spełnia równanie.
Zatem równanie jest spełnione przez liczby , i . Liczba nie spełnia równania.
W rozwiązaniu tego zadania korzystaliśmy również z twierdzenia o równości potęg.
Słownik
twierdzenie, które orzeka, że jeśli potęgi mają równe podstawy będące liczbami dodatnimi różnymi od i równe wartości, to ich wykładniki są równe