Przeczytaj

O potęgowaniu mówili już Platon, Archytas i Eudoksos żyjący na przełomie $V$ i $IV$ wieku przed nasza erą. Opisywali liczby powierzchniowe (kwadratowe) i cielesne (stereometryczne), mając na myśli drugie i trzecie potęgi, które wykorzystywano odpowiednio do obliczania pól i objętości (źródło: O. Spengler, $1917$ , Zmierzch zachodu, Monachium).

Inne potęgi dla matematyków w Starożytnej Grecji były nie do wyobrażenia. Potęgi o wykładniku ujemnym pojawiają się w Chinach w $V$ wieku naszej ery i służą tam do zapisywania liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, zaś oznaczenia $5^{\frac{1}{2}}$ (czyli potęgi o wykładniku wymiernym) używał w wieku $XIV$ Mikołaj Oresme.

O potęgowaniu w sposób zbliżony do naszego, zaczęto myśleć dopiero w wieku $XVII$ za sprawą takich matematyków jak Kartezjusz, Pascal, Fermat, Desargues (źródło: Krótka historia matematyki. Ryszard Paweł Kostecki).

Rptm1liPjBzKH1

Przypomnijmy kolejne definicje, które omawialiśmy we wcześniejszych tematach:

Dla liczby naturalnej $n$ i liczby rzeczywistej $a$ definiujemy:

$a^{0} = 1$ , dla $a \neq 0$

$a^{1} = a$

$a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}$

Nie definiujemy wyrażenia $0^{0}$ – nazywamy go symbolem nieoznaczonym.

Jeśli podstawa potęgi nie jest zerem, możemy zdefiniować potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym.

Dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n$ :

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Wszystkie poznane własności potęg zachodzą dla wykładników całkowitych, o ile podstawy nie są równe zeru.

Dla $a \neq 0$ , $b \neq 0$ oraz dowolnych liczb całkowitych $k$ i $m$ zachodzą wzory:

a^{k} \cdot a^{m} = a^{k + m}

a^{k} : a^{m} = a^{k - m}

{(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}

a^{k} \cdot b^{k} = {(a \cdot b)}^{k}

a^{k} : b^{k} = {(a : b)}^{k}

Choć w pewnych szczególnych przypadkach mają sens potęgi o wykładnikach ułamkowych i ujemnych podstawach, to jednak ogólnie potęgi o wykładnikach wymiernych definiujemy dla podstaw dodatnich.

Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$

a^{\frac{k}{m}} = \sqrt[m]{a^{k}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

Potęgi o wykładnikach niewymiernych definiujemy korzystając z możliwości przybliżania z nieskończoną dokładnością liczb niewymiernych liczbami wymiernymi. Wszystkie przypomniane powyżej własności potęgowania pozostają prawdziwe dla wykładników wymiernych niecałkowitych i niewymiernych, jeśli podstawy są liczbami dodatnimi.

Przykład 1

Przekształcimy wyrażenie $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}}$ do najprostszej postaci korzystając z własności działań na potęgach.

$\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 125^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(5^{- 2})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{4} \cdot 5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{5^{4 + (- 1) + \frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{4 \frac{1}{4}}}{5^{3 \frac{3}{4}}} =$

$= 5^{4 \frac{1}{4} - 3 \frac{3}{4}} =$

$= 5^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{5}$

Przykład 2

Uprościmy wyrażenie $\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3}{3^{n - 1} \cdot 3^{2} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{30 \cdot 3^{n}}{10 \cdot 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3 \cdot 3^{n}}{3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n + 1}}{3^{n - 1}} =$

$= 3^{n + 1 - (n - 1)} =$

$= 3^{n + 1 - n + 1} =$

$= 3^{2} =$

$= 9$

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $2^{x + 3} - 0, 5^{- x} + 2^{x - 2} = 29$ .

Korzystając z własności potęg, wykonujemy kolejne przekształcenia:

$2^{x} \cdot 2^{3} - 2^{x} + 2^{x} \cdot 2^{- 2} = 29$

$2^{x} \cdot (2^{3} - 1 + 2^{- 2}) = 29$

$2^{x} \cdot (7 \frac{1}{4}) = 29$

$2^{x} = 4$

$2^{x} = 2^{2}$

$x = 2$

W ostatnim kroku skorzystaliśmy z twierdzenia o równości potęgtwierdzenie o równości potęgtwierdzenia o równości potęg.

Przykład 4

Uprościmy wyrażenie ${({\sqrt{5}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} \cdot {({\sqrt[4]{6}}^{\sqrt{2}})}^{2 \sqrt{2}}$ .

${({\sqrt{5}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} \cdot {({\sqrt[4]{6}}^{\sqrt{2}})}^{2 \sqrt{2}} =$

$= {\sqrt{5}}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \cdot {\sqrt[4]{6}}^{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}} =$

$= {\sqrt{5}}^{2} \cdot {\sqrt[4]{6}}^{4} =$

$= {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot {(6^{\frac{1}{4}})}^{4} =$

$= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 6^{\frac{1}{4} \cdot 4} =$

$= 5 \cdot 6 =$

$= 30$

Przykład 5

Dane jest równanie $2^{x^{3} - x^{2}} = 2^{4 x - 4}$ . Rozstrzygniemy, które spośród liczb: $- 2$ , $- 1$ , $1$ , $2$ spełniają to równanie. Aby to zrobić, wystarczy do lewej i prawej strony równania za niewiadomą $x$ podstawić tę samą liczbę i sprawdzić, czy obie strony przyjmują tę samą wartość.

Podstawmy za niewiadomą liczbę $- 2$ :

$2^{x^{3} - x^{2}} \overset{^{x = - 2}}{=} 2^{{(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2}} = 2^{- 8 - 4} = 2^{- 12}$

$2^{4 x - 4} \overset{^{x = - 2}}{=} 2^{4 \cdot (- 2) - 4} = 2^{- 8 - 4} = 2^{- 12}$

Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba $- 2$ spełnia równanie.

Rozważmy teraz liczbę $- 1$ :

$2^{x^{3} - x^{2}} \overset{^{x = - 1}}{=} 2^{{(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2}} = 2^{- 1 - 1} = 2^{- 2}$

$2^{4 x - 4} \overset{^{x = - 1}}{=} 2^{4 \cdot (- 1) - 4} = 2^{- 4 - 4} = 2^{- 8}$

Ponieważ każda ze stron równania przyjmuje inną wartość, liczba $- 1$ nie spełnia równania.

Rozważmy liczbę $1$ :

$2^{x^{3} - x^{2}} \overset{^{x = 1}}{=} 2^{1^{3} - 1^{2}} = 2^{1 - 1} = 2^{0}$

$2^{4 x - 4} \overset{^{x = 1}}{=} 2^{4 \cdot 1 - 4} = 2^{4 - 4} = 2^{0}$

Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba $1$ spełnia równanie.

Pozostała do sprawdzenia liczba $2$ :

$2^{x^{3} - x^{2}} \overset{^{x = 2}}{=} 2^{2^{3} - 2^{2}} = 2^{8 - 4} = 2^{4}$

$2^{4 x - 4} \overset{^{x = 2}}{=} 2^{4 \cdot 2 - 4} = 2^{8 - 4} = 2^{4}$

Ponieważ obie strony równania przyjmują tę samą wartość, zatem liczba $2$ spełnia równanie.

Zatem równanie jest spełnione przez liczby $- 2$ , $1$ i $2$ . Liczba $- 1$ nie spełnia równania.

W rozwiązaniu tego zadania korzystaliśmy również z twierdzenia o równości potęg.

Słownik

twierdzenie o równości potęg

twierdzenie, które orzeka, że jeśli potęgi mają równe podstawy będące liczbami dodatnimi różnymi od $1$ i równe wartości, to ich wykładniki są równe

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik