Dana jest płaszczyzna $\pi$ oraz proste $k$ i $l$. Mówimy, że prosta i płaszczyzna są równoległe, gdy nie mają punktów wspólnych (płaszczyzna $\pi$ i prosta $k$), lub prosta zawarta jest w tej płaszczyźnie (płaszczyzna $\pi$ i prosta $l$).

R5R271Ge2RXzg

Grafika przedstawia dwie proste k oraz l i płaszczyznę $\pi$. Prosta k jest pozioma i znajduje się nad płaszczyzną $\mathrm{\pi }$. Prosta l jest ukośna i leży na płaszczyźnie $\mathrm{\pi }$.

Dany jest prostopadłościan $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Wskażemy wszystkie proste, które zawierają krawędzie prostopadłościanu i są równoległe do płaszczyzny $ADD\text{'}A\text{'}$.

R1P5tvVWbDrAJ

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C D, a wierzchołki górnej podstawy to $\mathrm{A}\text{'}$, $\mathrm{B}\text{'}$, $\mathrm{C}\text{'}$, $\mathrm{D}\text{'}$. Ściana A, $\mathrm{A}\text{'}$, D, $\mathrm{D}\text{'}$ jest częścią płaszczyzny.

Rozwiązanie:

Jeżeli wykorzystamy definicję prostej równoległej do płaszczyzny, prostymi równoległymi do płaszczyzny $ADD\text{'}A\text{'}$, zawierającymi krawędzie prostopadłościanu są proste:

• zawarte w tej płaszczyźnie: $AD$, $AA\text{'}$, $A\text{'}D\text{'}$, $DD\text{'}$,

• nie należące do tej płaszczyzny: $BC$, $BB\text{'}$, $B\text{'}C\text{'}$, $CC\text{'}$.

Dany jest prostopadłościan $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Obliczymy odległości prostych zawierających krawędzie tego prostopadłościanu, równoległych do płaszczyzny $B{B}_1{D}_{1}D$, nienależących do tej płaszczyzny, jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości: $\left|AB\right|=2\sqrt{2}$, $\left|BC\right|=4$, $\left|C{C}_1\right|=6$.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R16itOFmXI85P

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C, D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu to: ${\mathrm{A}}_1$, ${\mathrm{B}}_1$, ${\mathrm{C}}_1$, ${\mathrm{D}}_1$. Krawędź AB ma długość $2\sqrt{2}$. Krawędź BC ma długość 4. Krawędź C${\mathrm{C}}_1$ ma długość sześć. Wierzchołki B, D, ${\mathrm{B}}_1$ oraz ${\mathrm{D}}_1$ wyznaczają płaszczyznę. Odcinek BD popisano literą x. Z punktu A poprowadzono linię prostopadle do płaszczyzny i podpisano ją literą d.

Zauważmy, że tylko proste $A{A}_1$ oraz $C{C}_1$ zawierają krawędzie tego prostopadłościanu, które są równoległe do płaszczyzny $B{B}_1{D}_{1}D$ i nie należą do tej płaszczyzny.

Odległości tych prostych od płaszczyzny $B{B}_1{D}_{1}D$ są takie same. Niech $d$ będzie szukaną odległością.

Wówczas:

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+4^2=8+16=24$

$\left|AC\right|=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.

Zatem $x=2\sqrt{6}$.

Pole trójkąta $ABD$ jest równe:

$P=\frac{2\sqrt{2}·4}{2}$ oraz

$P=\frac{2\sqrt{6}·d}{2}$.

Wobec tego:

$\frac{2\sqrt{6}·d}{2}=\frac{2\sqrt{2}·4}{2}$

$2\sqrt{6}·d=8\sqrt{2}$

$d=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCA\text{'}B\text{'}C\text{'}$, jak na poniższym rysunku oraz płaszczyzna, przechodząca przez środki krawędzi $AB$, $AC$, $A\text{'}B\text{'}$, $A\text{'}C\text{'}$ graniastosłupa.

R11eSkCsVX1NJ

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, a wierzchołki górnej podstawy to $\mathrm{A}\text{'}$, $\mathrm{B}\text{'}$, $\mathrm{C}\text{'}$. Krawędzie podstawy są podpisane literą a. Przez graniastosłup przechodzi pionowa płaszczyzna, w taki sposób, że przecina obie podstawy graniastosłupa oraz jego dwie ściany.

Wskażemy proste zawierające krawędzie graniastosłupa, które są równoległe do danej płaszczyzny, a następnie obliczymy odległości tych prostych od płaszczyzny, jeżeli długość krawędzi podstawy graniastosłupa jest równa $a$.

Rozwiązanie

Proste równoległe do podanej płaszczyzny, zawierające krawędzie graniastosłupa, to: $AA\text{'}$, $BB\text{'}$ oraz $CC\text{'}$.

Zauważmy, że odległości tych prostych od podanej płaszczyzny są równe. Niech $d$ będzie szukaną odległością.

Rozpatrzmy trójkąt równoboczny, jak na poniższym rysunku:

R1XbUjpuzYBLk

Grafika przedstawia trójkąt równoboczny o wierzchołkach A, B, C. Boki trójkąta mają długość a. W środku wysokości została poprowadzona pozioma linia równoległa do podstawy łącząca dwa boki trójkąta: bk A C oraz B C. Linia ta została przedłużona za pomocą linii przerywanej poza obszar figury. Z punktu A oraz punktu B poprowadzone zostały prostopadle odcinki o długości d każdy do narysowanej linii przerywanej. Z punktu C do poziomego odcinka dzielącego trójkąt A B C poprowadzono odcinek do niej prostopadły o długości d. Jest to część wysokości trójkąta A B C.

Szukana odległość jest równa połowie długości wysokości omawianego trójkąta.

Zatem $d=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Niech prosta $k$ będzie określona przez wektor do niej równoległy $\left[a,b,c\right]$ (wektor kierunkowy), a płaszczyzna $\pi$ przez wektor do niej prostopadły $\left[A,B,C\right]$ (wektor normalny).

Mówimy, że prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ wtedy, gdy wektory normalny i kierunkowy są do siebie prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarnyiloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny jest równy $0$.

Sprawdzimy, czy prosta $k$ określona przez wektor kierunkowy $\overrightarrow{u}=\left[3,4,-2\right]$ oraz płaszczyzna $\pi$ o wektorze normalnym $\overrightarrow{v}=\left[-2,3,1\right]$ są do siebie równoległe.

Rozwiązanie

Obliczamy iloczyn skalarnyiloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$.

Zatem

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left[3,4,-2\right]\circ \left[-2,3,1\right]=3·\left(-2\right)+4·3+\left(-2\right)·1=$

$=-6+12-2=4$.

Ponieważ $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}\ne 0$, zatem prosta $k$ i płaszczyzna $\pi$ nie są równoległe.

Wyznaczymy dla jakich wartości parametru $m$ prosta $k$ określona przez wektor kierunkowy $\overrightarrow{u}=\left[m,-1,2\right]$ oraz płaszczyzna $\pi$ określona przez wektor normalny $\overrightarrow{v}=\left[m,-m,-6\right]$ są równoległe.

Rozwiązanie

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ sprawdzimy, kiedy zachodzi warunek $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=0$.

Wobec tego:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=\left[m,-1,2\right]\circ \left[m,m,-6\right]=m^2-m-12$.

Rozwiązujemy równanie $m^2-m-12=0$.

Zatem $m\in \left\{-3,4\right\}$.

długość najkrótszej krzywej łączącej dane punkty

funkcja przyporządkowująca dwóm wektorom przestrzeni liniowej pewną wartość liczbową