Warto przeczytać

Ruch harmonicznyruch harmonicznyRuch harmoniczny to taki ruch drgającyruch drgającyruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Jej współrzędną wzdłuż osi OX można zapisać jako

gdzie $x$ – wychylenie, $m$ – masa, $\omega$ – wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgańczęstotliwość drgańczęstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgańczęstość kołowa drgańczęstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia, tj. ku położeniu równowagi.

W ruchu harmonicznym wykresy zależności wychylenia ($x$) i współrzędnej siły ($F_x$) od czasu ($t$) mają kształt sinusoidalny, ale siła i wychylenie są przeciwne w fazie. Potwierdzają to wyniki pomiarów wykonanych za pomocą czujników cyfrowych: czujnika odległości i siły, na którym zawieszono sprężynę z ciężarkiem (Rys. 1.). Wykresy siły i wychylenia są przesunięte względem siebie o połowę okresu, czyli argumenty funkcji sinus różnią się o $\pi$ radianów.

R1TKpYOdzK6Lg

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, który ma jedną oś poziomą i dwie osie pionowe znajdujące się po dwóch stronach wykresu. Na osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t. Na osi pionowej znajdującej się z lewej strony odłożono wychylenie ciężarka w metrach oznaczone literą małe x. Na osi pionowej znajdującej się z prawej strony odłożono wartość siły działającej na ciężarek w niutonach oznaczoną literą wielkie F z indeksem dolnym małe x. Wykres zależności wychylenia od czasu jest niebieską sinusoidą, a wykres zależności siły od czasu jest czerwoną sinusoidą. Czerwona sinusoida jest przesunięta względem niebieskiej sinusoidy o połowę okresu. Każde maksimum czerwonej sinusoidy znajduje się dokładnie nad minimum niebieskiej sinusoidy, a każde minimum czerwonej sinusoidy znajduje się dokładnie pod maksimum niebieskiej sinusoidy. Obie sinusoidy przecinają poziomą oś w tych samych punktach.

Re1sSGetxDkmR

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono wychylenie ciężarka w metrach oznaczone literą małe x. Na osi pionowej odłożono siłę działającą na ciężarek w niutonach oznaczoną literą wielkie F z indeksem dolnym małe x. Wykres to linia prosta przechodząca przez punkt przecięcia obu osi i nachylona w prawo i w dół. Wzdłuż tej linii, w małej odległości od niej, znajduje się wiele krzyżyków, które są wynikami pomiarów wychylenia i siły. Linia jest najlepszym dopasowaniem punktów pomiarowych.

Każdy układ drgający ma pewną „sprężystość” i bezwładność opisaną przez masę. W przypadku drgań klocka na sprężynie, poruszającego się po gładkiej poziomej płaszczyźnie, ruch odbywa się pod wpływem siły sprężystości sprężyny. Przy analizie ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie trzeba jeszcze uwzględnić siłę ciężkości $\overrightarrow{Q}$ (Rys. 3.), działającą na poruszający się ciężarek (pomijamy masę sprężyny). Wypadkowa siła jest sumą wektorów siły sprężystości ${\overrightarrow{F}}_s$ i siły ciężkości $\overrightarrow{Q}$ .

RqLKHdwvw3hYf

Rys. 3. Na rysunku pokazano ciężarek zawieszony na pionowej sprężynie, umocowanej górnym końcem do płaszczyzny. Ciężarek przedstawiono w trzech położeniach w ruchu harmonicznym. Z lewej strony rysunku znajduje się pionowa oś skierowana w dół, na której odłożono położenie ciężarka oznaczone literą małe x. Na osi zaznaczono 3 punkty, od których poprowadzono w prawo przerywane linie poziome. Punkt położenia równowagi ciężarka oznaczony jest cyfrą zero. Pod nim leży punkt maksymalnego wychylenia w dół oznaczony literą wielkie A. Nad punktem zero leży punkt maksymalnego wychylenia w górę oznaczony jako minus A. Odległości punktów A i minus A od punktu zero są jednakowe. Na prawo od osi narysowano ciężarek w najwyższym położeniu, na górnej przerywanej linii. Sprężyna jest ściśnięta. Do ciężarka przyłożone są 2 wektory skierowane pionowo w dół. Czerwony wektor siły sprężystości oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym s i strzałką nad nią. Niebieski wektor siły ciężkości oznaczony jest literą wielkie Q ze strzałką nad nią. Wektor siły sprężystości jest krótszy niż wektor siły ciężkości. Dalej na prawo narysowano ciężarek w położeniu równowagi, na środkowej przerywanej linii. Sprężyna jest rozciągnięta. Do ciężarka przyłożone są 2 pionowe wektory. Czerwony wektor siły sprężystości skierowany jest do góry i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym s i strzałką nad nią. Niebieski wektor siły ciężkości skierowany jest w dół oznaczony literą wielkie Q ze strzałką nad nią. Wektory siły sprężystości i siły ciężkości mają równe długości. Jeszcze dalej na prawo narysowano ciężarek znajdujący się poniżej położenia równowagi między przerywaną linią środkową i dolną. Sprężyna jest jeszcze bardziej rozciągnięta. Do ciężarka przyłożone są 2 pionowe wektory. Czerwony wektor siły sprężystości skierowany jest do góry i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym s i strzałką nad nią. Niebieski wektor siły ciężkości skierowany jest w dół oznaczony literą wielkie Q ze strzałką nad nią. Wektor siły sprężystości jest dłuższy niż wektor siły ciężkości.

Inna sytuacja występuje przy ruchu wahadła matematycznegowahadło matematycznewahadła matematycznego. Tu „sprężystość” nie ma nic wspólnego z siłą sprężystości ściskanej lub rozciąganej sprężyny. Drgania wahadła wokół położenia równowagi powoduje składowa siły ciężkości styczna do toru ruchu (Rys. 4.).

RAYDSVAdpDpDT

Rys. 4. Na rysunku pokazano wahadło matematyczne, czyli mały ciężarek zawieszony na nitce. Pod wahadłem znajduje się pozioma oś skierowana w prawo, na której odłożono położenie rzutu ciężarka na oś oznaczone literą małe x. Na osi zaznaczono 3 punkty. Punkt położenia równowagi ciężarka, leżący pod punktem przyczepienia górnego końca nici, oznaczony jest cyfrą zero. Od tego punktu do punktu przyczepienia górnego końca nici poprowadzono przerywaną, pionową linię prostą. Na lewo od punktu zero leży punkt maksymalnego wychylenia w lewo oznaczony jako minus wielkie A. Na prawo od punktu zero leży punkt maksymalnego wychylenia w prawo oznaczony jako wielkie A. Odległości punktów A i minus A od punktu zero są jednakowe. Wahadło matematyczne przedstawione jest w położeniu maksymalnego wychylenia w lewo. Ciężarek znajduje się nad punktem na osi oznaczonym jako minus wielkie A. Nitka tworzy z przerywaną linią pionową kąt oznaczony grecką literą alfa. Od ciężarka w lewo narysowano łuk o promieniu równym długości nici, który pokazuje tor, po jakim porusza się ciężarek. Do ciężarka przyłożona jest siła ciężkości skierowana pionowo w dół i oznaczona iloczynem małe m razy małe g ze strzałką u góry oraz siła napięcia nici skierowana wzdłuż nici, w górę i w prawo, i oznaczona literą wielkie N ze strzałką nad nią. Siłę ciężkości rozłożono na dwie składowe, które są bokami równoległoboku. Pierwsza składowa jest styczna do toru ciężarka, skierowana w prawo i dół i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym s i strzałką nad nią. Druga składowa ma kierunek zgodny z kierunkiem nici, ale skierowana jest w lewo i dół, przeciwnie do siły napięcia nici i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym wielkie N i strzałką nad nią. Zaznaczono kąt alfa między wektorem siły ciężkości i wektorem składowej siły ciężkości o kierunku zgodnym z kierunkiem nici.

Z Rys. 4. wynika, że długość składowej stycznej do toru wynosi

Dla małych argumentów sinus kąta jest równy w przybliżeniu kątowi w mierze łukowej, a ta z kolei dobrze przybliżana jest tangensem kąta. Zatem dla małych kątów wychylenia wahadła od pionu

gdzie $x$ to wychylenie z położenia równowagi, a $l$ - długość nici wahadła. Zatem składowa styczna siły działającej na ciężarek na wahadle ma współrzędną

Wykres zależności współrzędnej siły od wychylenia jest linią prostą (Rys. 5.).

R1HYAbOjwgBOD

Rys. 5. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono wychylenie wahadła matematycznego oznaczone literą małe x. Na osi pionowej odłożono siłę oznaczoną literą wielkie F z indeksem dolnym sx. Wykres to linia prosta przechodząca przez punkt przecięcia obu osi i nachylona w prawo i w dół.

Słowniczek