Przeczytaj
Wyznaczmy pierwiastki wielomianu .
Zauważmy, że wielomian przyjmuje wartość dla , lub i są to jedyne pierwiastki tego wielomianu
Liczba jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez dwumian bez reszty.
Twierdzenie ma postać równoważności (), aby je udowodnić należy wykazać prawdziwość dwóch implikacji.
Dowód
Zakładamy, że . Wtedy reszta z dzielenia wielomianu przez wynosi , czyli wielomian jest podzielny przez .Dowód :
Zakładamy, że dzieli się przez . Zatem istnieje wielomian taki, że . Ale wtedy , czyli jest pierwiastkiem wielomianu .
Z twierdzenia Bézouta wiemy, że jeżeli liczba jest pierwiastkiem wielomianu , to wielomian ten można zapisać w postaci
.
To spostrzeżenie można uogólnić:
Jeżeli wielomian
stopnia ma pierwiastków , , , , to można go zapisać w postaci iloczynowej
.
Z postaci iloczynowej wynika zależność między stopniem wielomianu i maksymalną liczbą jego pierwiastkówliczbą jego pierwiastków.
Wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych.
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywistypierwiastek rzeczywisty.
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu .
Korzystamy z postaci iloczynowejpostaci iloczynowej wielomianów stopnia 2: oraz i otrzymujemy: .
Zatem jest podzielny przez dwumiany , , oraz .
Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzeniem Bézouta liczby , , i są pierwiastkami .
jest wielomianem czwartego stopnia, więc to jedyne pierwiastki tego wielomianu.
Sprawdźmy, czy wielomian jest podzielny przez
,
,
.
Ustalmy, dla jakich liczb naturalnych jednocyfrowych wielomian jest podzielny przez .
Zauważmy, że .
Zatem .
Sprowadzając trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej dostajemy
.Wiemy, że , więc, z twierdzenia Bézouta, wielomian jest podzielny przez dwumiany oraz .
Trójmian kwadratowy nie ma więcej miejsc zerowych, a wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Zatem wielomian jest podzielny przez tylko dla lub .
Słownik
wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych; wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty
dla wielomianu jednej zmiennej to liczba taka, że
jeżeli wielomian
stopnia ma pierwiastków , , , , to można go zapisać w postaci iloczynowej
liczba jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez dwumian bez reszty