Przeczytaj

Przykład 1

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W (x) = 4 (x - 2) (x + 1) (x - 7)$ .

Zauważmy, że wielomian $W$ przyjmuje wartość $0$ dla $x = - 1$ , $x = 2$ lub $x = 7$ i są to jedyne pierwiastki tego wielomianu $.$

Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie: Twierdzenie Bézouta

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W (x)$ dzieli się przez dwumian $x - a$ bez reszty.

Dowód

Twierdzenie ma postać równoważności ( $\Leftrightarrow$ ), aby je udowodnić należy wykazać prawdziwość dwóch implikacji.

Dowód $\Rightarrow$
Zakładamy, że $W (a) = 0$ . Wtedy reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $x - a$ wynosi $0$ , czyli wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $x - a$ .
Dowód $\Leftarrow$ :
Zakładamy, że $W (x)$ dzieli się przez $x - a$ . Zatem istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ . Ale wtedy $W (a) = (a - a) \cdot Q (a) = 0$ , czyli $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Z twierdzenia Bézouta wiemy, że jeżeli liczba $x_{1}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ , to wielomian ten można zapisać w postaci
$W (x) = (x - x_{1}) \cdot Q (x)$ .
To spostrzeżenie można uogólnić:

Postać iloczynowa wielomianu

Własność: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli wielomian
$W (x) =$ $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots$ $+ a_{1} x + a_{0}$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ , to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W (x) =$ $a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$ .

Z postaci iloczynowej wynika zależność między stopniem wielomianu i maksymalną liczbą jego pierwiastkówliczba pierwiastków wielomianuliczbą jego pierwiastków.

Liczba pierwiastków wielomianu

Własność: Liczba pierwiastków wielomianu

Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych.
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywistypierwiastek wielomianupierwiastek rzeczywisty.

Przykład 2

Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu $W (x) = (x^{2} - 3 x - 4) (x^{2} + x - 6)$ .

Korzystamy z postaci iloczynowejpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej wielomianów stopnia 2: $Q (x) = x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)$ oraz $P (x) = x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ i otrzymujemy: $W (x) = (x + 1) (x - 4) (x - 2) (x + 3)$ .
Zatem $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $x + 1$ , $x - 4$ , $x - 2$ oraz $x + 3$ .
Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniem Bézouta liczby $- 1$ , $4$ , $2$ i $- 3$ są pierwiastkami $W (x)$ .
$W (x)$ jest wielomianem czwartego stopnia, więc to jedyne pierwiastki tego wielomianu.

Przykład 3

Sprawdźmy, czy wielomian $W(x)=x^{51}-17x^{32}+18$ jest podzielny przez

$x-1$ ,
$x-2$ ,
$x+1$ .

RC1BMabCFtSd3

Sprawdzimy, które z liczb: 1, 2, -1 są pierwiastkami wielomianu $W (x)$ .

$x - 1$
$W (1) = 1 - 17 + 18 \neq 0$ , więc wielomian $W (x)$ nie jest podzielny przez $x - 1$ .

$x - 2$
$W (2) = 2^{51} - 17 \cdot 2^{32} + 18 =$ $2^{32} (2^{19} - 17) + 18 > 0$ (bo $2^{19} > 17$ ), więc wielomian $W (x)$ nie jest podzielny przez $x - 2$ .

$x + 1$
$W (- 1) = - 1 - 17 + 18 = 0$ , więc wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $x + 1$ .

Przykład 4

Ustalmy, dla jakich liczb naturalnych jednocyfrowych $a$ wielomian $W(x)=x^{14} - 3 x^{13} + 2 x^{12} + x^2 - 3 x + 2$ jest podzielny przez $x-a$ .

Zauważmy, że $W(x)=x^{12}(x^2-3x+2)+(x^2-3x+2)$ .
Zatem $W(x)=(x^2-3x+2)(x^{12}+1)$ .
Sprowadzając trójmian kwadratowy $x^2-3x+2$ do postaci iloczynowej dostajemy
$W(x)=(x-1)(x-2)(x^{12}+1)$ .
Wiemy, że $W(1)=W(2)=0$ , więc, z twierdzenia Bézouta, wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x-2$ .
Trójmian kwadratowy nie ma więcej miejsc zerowych, a wyrażenie $x^{12}+1$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $x-a$ tylko dla $a=1$ lub $a=2$ .

Słownik

liczba pierwiastków wielomianu

wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych; wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

pierwiastek wielomianu

dla wielomianu $W (x)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_{0}$ taka, że $W (x_{0}) = 0$

postać iloczynowa wielomianu

jeżeli wielomian
$W (x) =$ $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots$ $+ a_{1} x + a_{0}$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ , to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W (x) =$ $a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$

twierdzenie Bézouta

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W (x)$ dzieli się przez dwumian $x - a$ bez reszty

Wprowadzenie

Animacja

Słownik