Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=4(x-2)(x+1)(x-7)$.

• Zauważmy, że wielomian  $W$ przyjmuje wartość $0$ dla $x=-1$, $x=2$ lub $x=7$ i są to jedyne pierwiastki tego wielomianu$.$

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty.

Jeżeli wielomian
$W\left(x\right)=$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots$$+a_{1}x+a_0$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W\left(x\right)=$$a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$.

• Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych.

• Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywistypierwiastek wielomianupierwiastek rzeczywisty.

Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=(x^2-3x-4)(x^2+x-6)$.

• Korzystamy z postaci iloczynowejpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej wielomianów stopnia 2: $Q\left(x\right)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$ oraz $P\left(x\right)=x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ i otrzymujemy: $W\left(x\right)=(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)$.

• Zatem $W\left(x\right)$ jest podzielny przez dwumiany $x+1$, $x-4$, $x-2$ oraz $x+3$.

• Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniem Bézouta liczby $-1$, $<mn>4</mn>$, $<mn>2</mn>$ i $-3$ są pierwiastkami $W\left(x\right)$.

• $W\left(x\right)$ jest wielomianem czwartego stopnia, więc to jedyne pierwiastki tego wielomianu.

Sprawdźmy, czy wielomian $W(x)=x^{51}-17x^{32}+18$ jest podzielny przez

• $x-1$,

• $x-2$,

• $x+1$.

Ustalmy, dla jakich liczb naturalnych jednocyfrowych $a$ wielomian $W(x)=x^{14} - 3 x^{13} + 2 x^{12} + x^2 - 3 x + 2$ jest podzielny przez $x-a$.

• Zauważmy, że $W(x)=x^{12}(x^2-3x+2)+(x^2-3x+2)$.

• Zatem $W(x)=(x^2-3x+2)(x^{12}+1)$.

• Sprowadzając trójmian kwadratowy $x^2-3x+2$ do postaci iloczynowej dostajemy
  $W(x)=(x-1)(x-2)(x^{12}+1)$.

• Wiemy, że $W(1)=W(2)=0$, więc, z twierdzenia Bézouta, wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x-2$.

• Trójmian kwadratowy nie ma więcej miejsc zerowych, a wyrażenie $x^{12}+1$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $x-a$ tylko dla $a=1$ lub $a=2$.

wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych; wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$

jeżeli wielomian
$W\left(x\right)=$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots$$+a_{1}x+a_0$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W\left(x\right)=$$a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty