Przeczytaj

Zapisanie poprawnego układu równań do zadania z treścią jest kluczem do efektywnego rozwiązania zadania. Nawet zawiła treść zadania zapisana za pomocą równań liniowych okazuje się prosta. Zacznijmy od prostych przykładów.

Przykład 1

W drugim półroczu roku $2020$ obroty pewnej restauracji były o $18 %$ mniejsze niż w pierwszym półroczu tego roku. Łączny obrót restauracji w roku $2020$ wyniósł $133224 zł$ . Obliczymy jakie były obroty tej restauracji w pierwszym, a jakie w drugim półroczu 2020 roku.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ obroty restauracji w pierwszym półroczu $2020$ roku, a przez $y$ obroty w drugim półroczu $2020$ i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:

$\{\begin{cases} y = (100 - 18) % x \\ x + y = 133224 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 82 % x \\ x + y = 133224 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 0, 82 x \\ x + 0, 82 x = 133224 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 0, 82 x \\ 1, 82 x = 133224 | : 1, 82 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 60024 \\ x = 73200 \end{cases}$

W pierwszym półroczu roku $2020$ ta restauracja zrobiła $73200 zł$ obrotu, natomiast w drugim półroczu – $60024 zł$ .

Przykład 2

Pewien hotel organizuje bal sylwestrowy. Cena biletu wynosi $300 zł$ od osoby i $500 zł$ od pary. Ile było par na balu, jeśli w zabawie uczestniczyły $83$ osoby, a ze sprzedaży biletów hotel uzyskał $22600 zł$ ?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza liczbę par, a $y$ liczbę „singli” bawiących się na zabawie sylwestrowej w tym hotelu. Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 x + y = 83 \\ 500 x + 300 y = 22600 | : 100 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x + y = 83 | \cdot 3 \\ 5 x + 3 y = 226 | \cdot (- 1) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 6 x + 3 y = 249 \\ - 5 x - 3 y = - 226 \end{cases}$

Otrzymaliśmy układ równań, który możemy rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Dodając do siebie równania otrzymujemy:

$x = 23$

i z równania $2 x + y = 83$ obliczamy $y$ :

$y = 83 - 2 x = 83 - 46 = 37$ .

Na balu sylwestrowym bawiły się $23$ pary.

Jedną z najpopularniejszych i najbezpieczniejszych inwestycji kapitałowych jest lokata bankowa. Mechanizm działania lokat bankowych jest bardzo prosty:

wpłacamy do banku kwotę, którą chcemy zainwestować, oznaczmy ją przez $K_{0}$ ;

bank wyznacza roczne oprocentowanie lokaty, tzn. podaje roczną stopę procentową $r$ ;

bank ustala po jakim czasie odsetki podlegają kapitalizacji (kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału, co w praktyce oznacza, że w kolejnym okresie odsetki są obliczane od kwoty powiększonej o dopisane odsetki z poprzedniego okresu); można się spotkać z kapitalizacją roczną, półroczną, kwartalną itd. Liczbę kapitalizacji w ciągu jednego roku nazywamy częstotliwością kapitalizacji i będziemy oznaczać literą $k$ ;

po $n$ latach odbieramy z lokaty zainwestowany kapitał wraz z odsetkami (nie uwzględniając podatku od odsetek), którego wielkość wylicza się ze wzoruoprocentowanie składanewylicza się ze wzoru:
$K_{n} = K_{0} {(1 + \frac{r}{100 k})}^{n \cdot k}$

Gdybyśmy na przykład zdecydowali się wpłacić $1000 zł$ na dwuletnią lokatę z oprocentowaniem $8 %$ w skali roku oraz z roczną kapitalizacją odsetek, to po dwóch latach z lokaty moglibyśmy wypłacić:

K_{2} = 1000 {(1 + 0, 08)}^{2} = 1166, 40 zł

Gdyby jednak odsetki kapitalizowane były co kwartał, to na koniec odebralibyśmy kwotę:

K_{2} = 1000 {(1 + \frac{0, 08}{4})}^{2 \cdot 4} = 1000 \cdot {(1, 02)}^{8} = 1171, 66 zł

Zauważmy, że im częściej odsetki są kapitalizowane, tym większy będzie kapitał końcowy.

Ciekawostka

Ponieważ im częściej kapitalizujemy, tym większe otrzymamy odsetki, więc można się zastanawiać, jak często można kapitalizować odsetki? Okazuje się, że można... nieskończenie często. Taki model oprocentowania nazywa się oprocentowaniem z kapitalizacją ciągłą, a wielkość końcową kapitału po $n$ latach oprocentowania przy rocznej stopie $r$ oblicza się według wzoru

K_{n} = K_{0} e^{r \cdot n}

gdzie $e$ jest stałą matematyczną, nazywaną liczbę Eulera, w przybliżeniu równą $2, 72$ .

Przykład 3

Pan Rafał ulokował $4000 zł$ oszczędności w dwóch bankach. Pierwszy bank zaoferował lokatę z oprocentowaniem $6 %$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek, a drugi bank – lokatę z oprocentowaniem $5, 5 %$ w skali roku i kapitalizacją półroczną. Po trzech latach jego kapitał wzrósł do kwoty $4749, 83 zł$ . Obliczymy jaką kwotę pan Rafał wpłacił do pierwszego, a jaką do drugiego banku? W obliczeniach przyjmiemy dokładność do piątego miejsca po przecinku.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ kwotę wpłaconą do pierwszego banku, a przez $y$ – kwotę, którą pan Rafał wpłacił do drugiego banku. Zauważmy, ze $x + y = 4000$ . Aby obliczyć jak wzrosną oszczędności pana Rafała ulokowane w pierwszym banku zastosujemy wzór na wielkość końcową kapitału, przyjmując, że $K_{0} = x$ , $r = 0, 06$ , $k = 1$ i $n = 3$ . Otrzymujemy:

$K_{3} = x {(1 + 0, 06)}^{3} = x \cdot 1, 06^{3} \approx 1, 19102 x$

Podobnie można obliczyć oszczędności zgromadzone w drugim banku. Tym razem $K_{0} = y$ , $r = 0, 055$ , $k = 2$ i $n = 3$ .

$K_{3} = y {(1 + \frac{0, 055}{2})}^{3 \cdot 2} \approx 1, 17677 y$

Teraz możemy już ułożyć układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 4000 \\ 1, 19102 x + 1, 17677 y = 4749, 83 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 4000 - x \\ 1, 19102 x + 1, 17677 (4000 - x) = 4749, 83 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 4000 - x \\ 1, 19102 x + 4707, 08 - 1, 17677 x = 4749, 83 | - 4707, 08 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 4000 - x \\ 0, 01425 x = 42, 75 | : 0, 01425 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1000 \\ x = 3000 \end{cases}$

Pan Rafał wpłacił $3000 zł$ do pierwszego banku i $1000 zł$ do drugiego banku. Zastanówmy się, czy dobrze zrobił rozdzielając oszczędności i wpłacając je do dwóch banków? Czy korzystniej dla niego byłoby wybrać jeden bank i tam wpłacić całą kwotę $4000 zł$ ? A jeśli tak, to który bank powinien wybrać?

Łatwo można sprawdzić, że korzystniej jest wpłacić całą kwotę do pierwszego banku. Po trzech latach pan Rafał odłożyłby w pierwszym banku kwotę:

$K_{3} = 4000 {(1 + 0, 06)}^{3} \approx 4764, 06 (z ł)$

Gdyby całe oszczędności ulokował w drugim banku, to po trzech latach jego kapitał by wynosił:

$K_{3} = 4000 {(1 + \frac{0, 055}{2})}^{3 \cdot 2} = 4000 \cdot 1, 0275^{6} \approx 4707, 07 (z ł)$

Na lekcjach chemii często pojawiają się pojęcia roztwór i stężenie procentowe roztworu.

Roztwór

Definicja: Roztwór

Roztwór to jednorodna mieszanina dwóch lub więcej substancji. W przypadku mieszaniny dwóch substancji jedną z nich (często jest nią woda) nazywamy rozpuszczalnikiem, a drugą – substancją rozpuszczaną. Stosunek masy substancji rozpuszczanej do masy całego roztworu wyrażony w procentach nazywamy stężeniem procentowym. Jeśli przez $m$ oznaczymy masę całego roztworu, przez $m_{A}$ – masę substancji rozpuszczanej, a przez $m_{R}$ – masę rozpuszczalnika, to

m = m_{A} + m_{R}

a stężenie procentowe

C_{A} = \frac{m_{A}}{m} \cdot 100 %

Zauważmy, że

m_{A} = (C_{A} \cdot m) : 100 %

Przykład 4

Ile kilogramów roztworów solnych o stężeniach odpowiednio $10 %$ i $15 %$ należy zmieszać, aby otrzymać $10 kg$ roztworu solnego o stężeniu $12 %$ ?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ ilość roztworu o stężeniu $10 %$ , a przez $y$ – ilość roztworu o stężeniu $15 %$ . W mieszaniniemieszanina dwóch substancjimieszaninie będzie $0, 1 x$ plus $0, 15 y$ soli, w sumie $1, 2 kg$ (tyle soli zawiera dziesięciokilowy roztwór o stężeniu $12 %$ ). Zapiszmy i rozwiążmy odpowiedni układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 10 | \cdot (- 1) \\ 0, 1 x + 0, 15 y = 1, 2 | \cdot 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - x - y = - 10 \\ x + 1, 5 y = 12 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania stronami otrzymamy: $0, 5 y = 2$ , a stąd $y = 4$ i $x = 6$ .

Więc aby otrzymać $10 kg$ roztworu solnego o stężeniu $12 %$ należy zmieszać $6 kg$ roztworu dziesięcioprocentowego i $4 kg$ roztworu piętnastoprocentowego.

Słownik

oprocentowanie składane

oprocentowanie, w którym po każdym ustalonym okresie odsetki należne za ten okres dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie odsetki są obliczane od kapitału powiększonego o dopisane odsetki; wielkość końcową kapitału $K_{n}$ po $n$ latach oprocentowania składanego przy rocznej stopie procentowej $r$ i częstotliwości kapitalizacji $k$ obliczamy ze wzoru:

K_{n} = K_{0} {(1 + \frac{r}{k})}^{n \cdot k}

gdzie $K_{0}$ oznacza wielkość początkową kapitału

mieszanina dwóch substancji

mieszanina dwóch substancji, w której jedna jest rozpuszczalnikiem o masie $m_{R}$ , a druga substancją rozpuszczaną o masie $m_{A}$ , nazywamy roztworem; roztwór ma masę

m = m_{A} + m_{R}

stężeniem procentowym roztworu nazywamy liczbę

C_{a} = \frac{m_{A}}{m} \cdot 100 %

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik